Ejercicios: Definiciones y propiedades

El club de teatro de un instituto decide sortear tres entradas para su estreno entre el público asistente. Para ello, utiliza un bombo con bolas numeradas del $1$ al $20$. Se considera el experimento aleatorio de extraer una bola y anotar su número.

Define los siguientes elementos:

1. a) El espacio muestral $E$.
2. b) El suceso $A$: "obtener un número que sea múltiplo de $5$".
3. c) El suceso $B$: "obtener un número primo mayor que $10$".
4. d) El suceso $C$: "obtener un número menor que $4$".

Escribe todos los sucesos elementales que forman cada uno de los conjuntos anteriores.

En una urna hay $12$ bolas de colores: $5$ son rojas, $4$ son azules y $3$ son amarillas. Extraemos una bola al azar y observamos su color. Utilizando la Regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) $P(R)$: "la bola sea roja".
2. b) $P(A \cup M)$: "la bola sea azul o amarilla".
3. c) $P(\bar{R})$: "la bola no sea roja".
4. d) $P(V)$: "la bola sea verde".

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa los sucesos $A$ y $B$ dentro de un espacio muestral $E$. Los números representan la cantidad de sucesos elementales en cada región.

Si el experimento consiste en elegir un punto al azar dentro del rectángulo $E$, calcula:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(A \cup B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (que no esté ni en $A$ ni en $B$).

Una aplicación de música ha analizado las preferencias de un grupo de jóvenes. Se sabe que la probabilidad de que a un usuario le guste el Trap es $P(T) = 0,65$, la probabilidad de que le guste el Pop es $P(P) = 0,40$ y la probabilidad de que le gusten ambos géneros es $P(T \cap P) = 0,15$.

Calcula la probabilidad de que, al elegir un usuario al azar:

1. a) Le guste el Trap o el Pop.
2. b) No le guste el Trap.
3. c) Le guste el Trap pero no el Pop ($P(T - P)$).

Indica razonadamente si las siguientes asignaciones de probabilidad para un espacio muestral $E = \{x_1, x_2, x_3\}$ son válidas según los axiomas de Kolmogorov:

1. a) $P(x_1) = 0,4; \quad P(x_2) = 0,3; \quad P(x_3) = 0,3$
2. b) $P(x_1) = 0,7; \quad P(x_2) = -0,1; \quad P(x_3) = 0,4$
3. c) $P(x_1) = 0,5; \quad P(x_2) = 0,5; \quad P(x_3) = 0,2$
4. d) $P(x_1) = 1; \quad P(x_2) = 0; \quad P(x_3) = 0$

Lanzamos un dado de seis caras numeradas del $1$ al $6$. Consideramos los sucesos:

• $A = \{2, 4, 6\}$ (salir par)

• $B = \{1, 2, 3\}$ (salir menor o igual que $3$)

• $C = \{5\}$ (salir el cinco)

Determina si las siguientes parejas de sucesos son compatibles o incompatibles:

1. a) $A$ y $B$
2. b) $A$ y $C$
3. c) $B$ y $C$

Justifica tu respuesta comprobando si la intersección de cada pareja es el conjunto vacío $\emptyset$.

En un instituto, el $25\%$ de los alumnos de 1º de Bachillerato están apuntados a clases de guitarra, y el $15\%$ están apuntados a clases de piano. Si sabemos que no hay ningún alumno que estudie ambos instrumentos a la vez:

1. a) ¿Cómo se llaman este tipo de sucesos en probabilidad?
2. b) Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie guitarra o piano.
3. c) Calcula la probabilidad de que un alumno no estudie ninguno de estos dos instrumentos.

Se extrae una carta de una baraja española de $40$ naipes. Calcula la probabilidad de obtener:

1. a) Un rey.
2. b) Una carta de copas.
3. c) El as de oros.
4. d) Una figura (sota, caballo o rey).
5. e) Una carta que no sea un as.

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ de los suscriptores ha visto la última temporada de una serie de ciencia ficción ($S$), el $40\ \%$ ha visto un documental sobre naturaleza ($D$) y el $25\ \%$ ha visto ambos contenidos. Si seleccionamos un usuario al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que haya visto la serie o el documental.

b) Que no haya visto ni la serie ni el documental.

c) Que haya visto la serie pero no el documental.

Se ha realizado una encuesta a los alumnos de un instituto sobre el uso de redes sociales. Se sabe que la probabilidad de que un alumno use Instagram ($I$) es $P(I) = 0,82$ y la probabilidad de que use TikTok ($T$) es $P(T) = 0,55$. Si la probabilidad de que no use ninguna de las dos es $P(\bar{I} \cap \bar{T}) = 0,10$, utiliza las Leyes de Morgan para calcular:

a) La probabilidad de que use al menos una de las dos redes sociales.

b) La probabilidad de que use ambas simultáneamente.

c) ¿Son los sucesos "usar Instagram" y "usar TikTok" incompatibles? Razona la respuesta.

En una academia de idiomas, los alumnos se dividen según el nivel que cursan y el idioma elegido. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

	Inglés ($A$)	Francés ($B$)	TOTAL
Nivel B1 ($M$)	$45$		$75$
Nivel B2 ($N$)		$20$
TOTAL	$100$

a) Completa los datos que faltan en la tabla.

b) Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de que estudie Francés o sea del nivel B2.

c) Sabiendo que el alumno elegido es del nivel B1, ¿cuál es la probabilidad de que estudie Inglés?

Un equipo de e-sports participa en un torneo con dos fases eliminatorias independientes. La probabilidad de superar la primera fase es $0,7$ y la de superar la segunda es $0,6$. Representa la situación mediante un diagrama de árbol y calcula:

a) La probabilidad de que el equipo gane ambas fases.

b) La probabilidad de que sea eliminado en alguna de las dos fases.

c) La probabilidad de que supere exactamente una de las dos fases.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio de los que se conocen sus probabilidades: $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,7$.

a) Calcula $P(A \cap B)$.

b) Determina si $A$ y $B$ son sucesos independientes.

c) Calcula la probabilidad del suceso unión de los contrarios, es decir, $P(\bar{A} \cup \bar{B})$.

En un centro de salud juvenil, el $30\ \%$ de los pacientes acude por motivos nutricionales ($N$), el $50\ \%$ por salud mental ($S$) y el $20\ \%$ por revisiones rutinarias ($R$). Se sabe que el $10\ \%$ de los que acuden por nutrición, el $20\ \%$ por salud mental y el $5\ \%$ por revisiones son mayores de 18 años ($M$).

a) Calcula la probabilidad de que un paciente elegido al azar sea mayor de 18 años.

b) Si elegimos un paciente y resulta ser mayor de 18 años, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido por motivos de salud mental?

Una caja contiene 10 auriculares inalámbricos, de los cuales 3 son defectuosos. Si extraemos dos auriculares de forma consecutiva y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que:

a) Los dos auriculares funcionen correctamente.

b) Al menos uno de los auriculares sea defectuoso.

c) El segundo auricular sea defectuoso sabiendo que el primero no lo era.

En un sorteo benéfico organizado por alumnos para el viaje de fin de curso, se venden papeletas numeradas del $000$ al $999$. Consideramos los sucesos:

$A =$ "El número termina en cifra par (0, 2, 4, 6, 8)".

$B =$ "El número es múltiplo de 25".

a) Calcula $P(A)$ y $P(B)$ aplicando la Regla de Laplace.

b) ¿Son $A$ y $B$ sucesos compatibles o incompatibles? Justifica tu respuesta encontrando el suceso $A \cap B$.

c) Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en par o sea múltiplo de 25.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ asociados a un mismo experimento aleatorio, sabemos que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Además, se conoce que $P(A) = 0,5$ y que la probabilidad de que ocurra $A$ pero no ocurra $B$ es $P(A - B) = 0,3$.

Calcula de forma razonada, utilizando las propiedades de la probabilidad y las leyes de Morgan:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(B)$
4. d) $P(\bar{A} \cup \bar{B})$

En un prestigioso torneo de e-Sports, se debe elegir un comité de control de dopaje digital formado por 4 miembros. El grupo de candidatos está compuesto por 8 analistas de datos y 6 expertos en ciberseguridad. Si la selección se realiza de forma aleatoria, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) El comité está formado exclusivamente por expertos en ciberseguridad.
2. b) En el comité hay, al menos, un representante de cada perfil.
3. c) El número de analistas de datos es estrictamente superior al de expertos en ciberseguridad.

Un estudio sobre las aficiones de los jóvenes de 16 años revela que el $70\%$ practica algún deporte, el $55\%$ toca algún instrumento musical y el $45\%$ va al cine con regularidad. Además, se sabe que el $30\%$ practica deporte y toca un instrumento, el $25\%$ practica deporte y va al cine, y el $20\%$ toca un instrumento y va al cine. Solo un $10\%$ de los jóvenes realiza las tres actividades simultáneamente.

Si seleccionamos un joven al azar, calcula y explica la probabilidad de que:

1. a) Realice alguna de las tres actividades.
2. b) No realice ninguna de estas actividades.
3. c) Realice únicamente una de las tres actividades.

Demuestra razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, aportando un contraejemplo numérico en caso de que sean falsas:

1. a) Si dos sucesos $A$ y $B$ son incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), entonces deben ser obligatoriamente dependientes.
2. b) Si $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, entonces los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
3. c) Si $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,5$, entonces los sucesos $A$ y $B$ no pueden ser incompatibles.

En un centro educativo, el $65\%$ de los estudiantes practica fútbol ($F$) y el $50\%$ practica baloncesto ($B$). Sabiendo que la probabilidad de que un alumno no practique ninguno de los dos deportes es $P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 0,15$:

1. a) Determina si los sucesos $F$ y $B$ son independientes.
2. b) Si el club de ajedrez ($A$) es un suceso tal que $A \subset F$ y $P(A) = 0,2$, calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar practique fútbol pero no ajedrez.
3. c) Calcula $P(\bar{F} \cup \bar{B})$ e interpreta su significado en el contexto del problema.

Un sistema informático de seguridad tiene tres capas de protección independientes ($C_1, C_2, C_3$). La probabilidad de que un atacante logre vulnerar la primera capa es de $0,15$; la probabilidad de vulnerar la segunda es de $0,10$ y la de la tercera es de $0,05$. El sistema solo se considera comprometido si el atacante logra superar las tres capas.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema sea comprometido?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el atacante supere al menos una capa de protección?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el atacante supere exactamente dos de las tres capas?

Se lanza un dado de seis caras que ha sido trucado de tal forma que las caras pares tienen todas la misma probabilidad de salir, y las caras impares también tienen la misma probabilidad entre ellas. Sin embargo, se sabe que la probabilidad de obtener un número par es el triple que la de obtener un número impar.

1. a) Determina la probabilidad de cada una de las seis caras del dado.
2. b) Si se lanza el dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea un número primo?
3. c) Calcula la probabilidad de obtener al menos un número mayor que 4 en tres lanzamientos consecutivos.

En un laboratorio biológico se están analizando muestras de ADN. Se ha observado que en un experimento con 5 muestras independientes, la probabilidad de que al menos una muestra presente una mutación específica es de $0,67232$.

1. a) Calcula la probabilidad de que una muestra individual elegida al azar presente dicha mutación (suponiendo que es la misma para todas las muestras).
2. b) Si se analizan 3 muestras, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos presenten la mutación?
3. c) ¿Cuántas muestras habría que analizar, como mínimo, para que la probabilidad de encontrar al menos una mutación sea superior a $0,95$?