Ejercicios: Probabilidad condicionada

En una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta al azar. Consideramos los sucesos $A$: "sacar un rey" y $B$: "sacar una figura" (sota, caballo o rey). Calcula la probabilidad de que la carta sea un rey sabiendo que ha salido una figura, es decir, determina $P(A|B)$.

Se ha realizado una encuesta a 100 estudiantes de 1º de Bachillerato sobre su preferencia entre dos ámbitos de estudio. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

Si elegimos un estudiante al azar y resulta ser una chica, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera Letras? Calcula $P(L|M)$.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que la probabilidad de su intersección es $P(A \cap B) = 0,12$ y que la probabilidad del suceso $B$ es $P(B) = 0,4$. Calcula la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$.

Una urna contiene 5 bolas azules y 3 bolas rojas. Extraemos dos bolas de forma consecutiva con reemplazamiento (devolvemos la primera bola a la urna antes de sacar la segunda).

1. a) Representa el experimento mediante un diagrama de árbol.
2. b) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera fue azul. ¿Son sucesos dependientes o independientes?

En un grupo de amigos, el $60\%$ utiliza Spotify ($S$), el $40\%$ utiliza Netflix ($N$) y el $20\%$ utiliza ambas plataformas. Si elegimos a una persona que sabemos que utiliza Netflix, ¿cuál es la probabilidad de que también utilice Spotify?

Un lanzador de dardos profesional acierta en el centro de la diana el $80\%$ de las veces. Si realiza dos lanzamientos independientes, calcula la probabilidad de que:

1. a) Acierte el segundo lanzamiento sabiendo que ha acertado el primero.
2. b) Acierte los dos lanzamientos seguidos.

En un centro de idiomas, el $30\%$ de los alumnos estudia francés ($F$). De estos, el $60\%$ son alumnos de bachillerato ($B$). Si seleccionamos un alumno al azar de la lista del centro, ¿cuál es la probabilidad de que estudie francés y sea de bachillerato? Ayúdate de la fórmula de la probabilidad condicionada: $P(F \cap B) = P(F) \cdot P(B|F)$.

Extraemos dos cartas de una baraja española sin devolución. Calcula la probabilidad de que la segunda carta sea un as, sabiendo que la primera carta extraída fue el as de oros.

En un instituto de Madrid se ha realizado un estudio sobre los hábitos de ocio de $100$ alumnos de 1.º de Bachillerato. Los datos se han recogido en la siguiente tabla de contingencia, clasificando a los estudiantes por su género y su red social preferida (Instagram o TikTok):

Si elegimos un alumno al azar, calcula las siguientes probabilidades utilizando la notación de probabilidad condicionada:

1. a) Que prefiera TikTok, sabiendo que es una chica.
2. b) Que sea un chico, dado que su red social preferida es Instagram.
3. c) ¿Son los sucesos "ser chico" ($H$) y "preferir Instagram" ($I$) independientes? Justifica tu respuesta comparando $P(I/H)$ con $P(I)$.

Una caja de herramientas contiene $12$ bombillas LED, de las cuales $4$ están defectuosas. Si extraemos dos bombillas de la caja de forma consecutiva y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) Que la segunda bombilla sea defectuosa, sabiendo que la primera extraída funcionaba correctamente.
2. b) Que ambas bombillas estén defectuosas.
3. c) Que al menos una de las dos bombillas funcione correctamente.

En una liga de E-sports, un equipo tiene una probabilidad de ganar el partido del $70\%$ si juega en su servidor local ($L$), pero esta probabilidad baja al $40\%$ si juega en un servidor externo ($E$). Se sabe que el $60\%$ de los partidos los juega como local.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol.
2. b) Si el equipo ha ganado el último partido, ¿cuál es la probabilidad de que haya jugado en su servidor local?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad total de que el equipo gane un partido cualquiera?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ y $P(A \cup B) = 0,85$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) Halla la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$.
3. c) Determina si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles y si son independientes.

Un estudio médico indica que la probabilidad de que una persona de una determinada población tenga una alergia primaveral es de $0,15$. Se ha desarrollado un test para detectarla, pero no es perfecto:

• Si una persona tiene alergia, el test da positivo en el $95\%$ de los casos.

• Si una persona no tiene alergia, el test da positivo (falso positivo) en el $4\%$ de los casos.

Si se elige una persona al azar y el test da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga alergia?

En una academia de idiomas, el $40\%$ de los alumnos estudia francés ($F$), el $30\%$ estudia alemán ($G$) y el resto estudia italiano ($I$). Se sabe que el porcentaje de alumnos que aprueba el examen final es del $60\%$ en francés, el $50\%$ en alemán y el $80\%$ en italiano.

1. a) Si elegimos un alumno que ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que estudie alemán?
2. b) Si elegimos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya aprobado el examen?

Se lanzan dos dados cúbicos equilibrados con las caras numeradas del $1$ al $6$. Consideramos los siguientes sucesos:

• $S$: "La suma de los puntos obtenidos es igual a $7$".

• $A$: "En el primer dado ha salido un número par".

Calcula:

1. a) El espacio muestral de la suma de los puntos y la probabilidad del suceso $S$.
2. b) La probabilidad de que la suma sea $7$ sabiendo que en el primer dado ha salido un número par, $P(S/A)$.
3. c) ¿Influye el hecho de que el primer dado sea par en la probabilidad de que la suma sea $7$? Justifica si los sucesos son dependientes o independientes.

En una plataforma de streaming, el $20\%$ de los usuarios prefiere películas de terror, el $50\%$ prefiere comedias y el $30\%$ prefiere dramas. El departamento de análisis de datos ha observado que la probabilidad de que un usuario termine de ver una película completa depende del género:

• Terror: $0,6$

• Comedia: $0,8$

• Drama: $0,7$

Si seleccionamos un usuario al azar y vemos que ha dejado una película a medias (no la ha terminado), ¿cuál es la probabilidad de que la película fuera de terror?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que se conocen las siguientes probabilidades:

• $P(A^C \cup B^C) = 0,8$

• $P(A^C | B) = 0,5$

• $P(A \cup B) = 0,75$

Calcula, justificando cada paso mediante las propiedades de la probabilidad:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A)$
4. d) Determina razonadamente si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

En un laboratorio de ciberseguridad, un algoritmo de inteligencia artificial analiza correos electrónicos para detectar phishing. Se sabe que:

• El $5\%$ de los correos que recibe la empresa son intentos de estafa (phishing).

• Si un correo es phishing, el algoritmo lo identifica correctamente como "sospechoso" en el $98\%$ de los casos.

• Si un correo es legítimo, el algoritmo se equivoca y lo marca como "sospechoso" en el $3\%$ de las ocasiones (falso positivo).

Si un empleado recibe una alerta de "correo sospechoso" en su bandeja de entrada:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad real de que el correo sea efectivamente un intento de phishing?
2. b) Si el algoritmo indica que el correo es "seguro", ¿cuál es la probabilidad de que se trate de un error y realmente sea phishing?

Disponemos de dos urnas con la siguiente composición:

• Urna A: 4 bolas rojas y 6 bolas azules.

• Urna B: 7 bolas rojas y 3 bolas azules.

El experimento consiste en lanzar un dado equilibrado de seis caras. Si sale un número primo, extraemos una bola de la Urna A y la introducimos en la Urna B sin mirar su color; a continuación, extraemos una bola de la Urna B. Si sale un número no primo, extraemos directamente una bola de la Urna B.

Calcula la probabilidad de que la bola final extraída de la Urna B sea roja.

Una plataforma de streaming utiliza tres servidores ($S_1, S_2, S_3$) para distribuir su contenido. El $40\%$ del tráfico se gestiona desde $S_1$, el $35\%$ desde $S_2$ y el resto desde $S_3$. Debido a la carga de red, se producen micro-cortes en la reproducción con las siguientes probabilidades:

• En el servidor $S_1$, la probabilidad de micro-corte es del $2\%$.

• En el servidor $S_2$, la probabilidad de micro-corte es del $5\%$.

• En el servidor $S_3$, la probabilidad de micro-corte es del $8\%$.

1. a) Si un usuario está viendo una serie, ¿cuál es la probabilidad de que experimente un micro-corte?
2. b) Si un usuario llama al servicio técnico informando de un micro-corte, ¿cuál es la probabilidad de que su conexión esté siendo servida por el servidor $S_3$?

En una competición de E-sports, un jugador de League of Legends tiene una probabilidad de victoria del $70\%$ si elige a su personaje favorito (Main). Si no lo elige, su probabilidad de victoria baja al $45\%$. El sistema de emparejamiento permite que el jugador consiga a su personaje favorito el $60\%$ de las veces.

1. a) Calcula la probabilidad de que el jugador gane su próxima partida.
2. b) Sabiendo que el jugador ha perdido la partida, ¿cuál es la probabilidad de que no haya podido jugar con su personaje favorito?
3. c) ¿Son independientes los sucesos "ganar la partida" y "jugar con el personaje favorito"? Justifica tu respuesta comparando probabilidades.

Se realiza un estudio sobre las actividades de los alumnos en un instituto de Madrid. Los datos muestran que:

• El $80\%$ de los alumnos estudia un segundo idioma ($I$).

• El $60\%$ de los alumnos participa en algún equipo deportivo del instituto ($D$).

• El $30\%$ de los que estudian un segundo idioma no participan en ningún equipo deportivo.

Elegimos un alumno al azar. Calcula:

1. a) La probabilidad de que haga ambas actividades.
2. b) Sabiendo que participa en un equipo deportivo, la probabilidad de que también estudie un segundo idioma.
3. c) La probabilidad de que no haga ninguna de las dos actividades.

Una empresa de logística tiene dos rutas para entregar pedidos en el centro de la ciudad. La ruta A es utilizada el $70\%$ de las veces y la ruta B el $30\%$ restante.

• Debido al tráfico, en la ruta A el repartidor llega tarde el $15\%$ de los días.

• En la ruta B, el repartidor llega tarde el $25\%$ de los días.

Un día determinado, el gerente observa que un pedido ha llegado tarde. El repartidor afirma: "Si hubiera ido por la ruta A, la probabilidad de llegar a tiempo habría sido mayor que la probabilidad de haber venido hoy por la ruta A habiendo llegado tarde". Demuestra matemáticamente si la afirmación del repartidor es verdadera o falsa calculando ambas probabilidades.

En un examen de opción múltiple, un estudiante conoce la respuesta correcta a una pregunta con probabilidad $p$ y la adivina al azar con probabilidad $1-p$. Cada pregunta tiene $k$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta.

1. a) Demuestra que la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente a la pregunta es $\frac{1 + (k-1)p}{k}$.
2. b) Sabiendo que el estudiante ha contestado correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que realmente conociera la respuesta y no la haya adivinado al azar? Expresa el resultado en función de $p$ y $k$.
3. c) Si una pregunta tiene 4 opciones ($k=4$) y el estudiante tiene una probabilidad del $50\%$ de conocer la respuesta ($p=0,5$), calcula el valor numérico del apartado anterior e interprétalo.