Ejercicios: Función de densidad y función de distribución continuas

Se define la función de densidad de una variable aleatoria continua $X$ que representa el tiempo de espera (en minutos) para que empiece una partida en un servidor de videojuegos:

$f(x) = \begin{cases} k & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

Determina el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad válida y representa gráficamente la función.

La duración de la batería de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos sigue una distribución uniforme entre las 4 y las 10 horas. Su función de densidad es constante en ese intervalo: $f(x) = \frac{1}{6}$. Calcula la probabilidad de que la batería dure entre 5 y 8 horas, interpretándola como el área de un rectángulo.

Dada una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para hallar los siguientes valores de forma directa:

• a) $P(Z \le 0,45)$

• b) $P(Z \le 1,2)$

• c) $P(Z \le 2,38)$

En una variable $Z \sim N(0, 1)$, aplica las propiedades de la curva normal (simetría y área total) para calcular las siguientes probabilidades:

• a) $P(Z > 1,52)$

• b) $P(Z < -0,84)$

• c) $P(Z \ge -1,15)$

Calcula la probabilidad de que la variable normal estándar $Z$ tome un valor comprendido en el intervalo $(0,62 \le Z \le 1,96)$. Recuerda que para calcular el área de un intervalo debes restar las áreas acumuladas: $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$.

Las puntuaciones de un examen de nivel de inglés para estudiantes de Bachillerato siguen una distribución normal de media $\mu = 75$ y desviación típica $\sigma = 8$. Tipifica los siguientes valores de la variable $X$ para encontrar su valor correspondiente en $Z$:

• a) Una puntuación de $83$.

• b) Una puntuación de $67$.

• c) Una puntuación de $75$.

El peso de las bolsas de patatas fritas producidas por una máquina sigue una distribución $N(150, 5)$ gramos. Calcula la probabilidad de que una bolsa elegida al azar pese menos de $160$ gramos. Para ello, tipifica primero la variable y busca el resultado en la tabla.

Utiliza la tabla de la distribución $N(0, 1)$ en sentido inverso para encontrar el valor de la constante $k$ en los siguientes casos:

• a) $P(Z \le k) = 0,8413$

• b) $P(Z \le k) = 0,9750$

• c) $P(Z \le k) = 0,5000$

Dada la siguiente función de densidad de una variable aleatoria continua $X$, que representa el tiempo de espera en minutos en la cola de una atracción de una feria hasta poder subir:

Calcula el valor de la constante $k$ para que el área bajo la función sea igual a $1$ y halla gráficamente la probabilidad de que un visitante espere menos de $2$ minutos.

Se está estudiando el tiempo de reacción, en segundos, de un grupo de adolescentes ante un estímulo visual en un videojuego. La función de densidad de esta variable continua viene dada por la siguiente expresión:

$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

Determina:

1. a) El valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad válida.
2. b) La probabilidad de que un jugador elegido al azar tenga un tiempo de reacción superior a $1,5$ segundos.
3. c) La probabilidad de que el tiempo de reacción esté comprendido exactamente entre $0,5$ y $1$ segundo.

El tiempo de espera, en minutos, hasta que se descarga una actualización en una consola sigue una distribución continua cuya función de densidad tiene forma de trapecio. La función está definida entre $0$ y $10$ minutos. Entre los minutos $0$ y $4$, la función es constante con un valor $h$, y entre los minutos $4$ y $10$ decrece linealmente hasta llegar a $0$.

1. a) Calcula el valor de $h$ para que sea una función de densidad.
2. b) Calcula la probabilidad de que la actualización tarde en descargarse menos de $6$ minutos.
3. c) Si un usuario lleva esperando más de $4$ minutos, ¿qué probabilidad hay de que la descarga finalice antes del minuto $8$?

Dada una variable aleatoria $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utiliza las propiedades de simetría y el área total para calcular las siguientes probabilidades:

1. a) $P(Z < 1,42)$
2. b) $P(Z > -0,75)$
3. c) $P(1,12 < Z < 2,05)$
4. d) $P(-1,5 < Z < 1,5)$
5. e) Halla el valor de $k$ tal que $P(Z < k) = 0,8830$

La estatura de los alumnos de 1º de Bachillerato de una ciudad sigue una distribución normal con una media de $170$ cm y una desviación típica de $8$ cm.

1. a) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre $162$ y $178$ cm?
2. b) Si una selección deportiva exige una estatura mínima de $154$ cm, ¿qué probabilidad hay de que un alumno elegido al azar no cumpla ese requisito?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno mida más de $180$ cm?

Las puntuaciones obtenidas por los alumnos de un centro en el examen de acceso a la universidad (EBAU) siguen una distribución normal $N(6,8 ; 1,2)$.

1. a) Si para acceder a una carrera muy demandada se exige una puntuación superior a $8,5$, ¿qué porcentaje de alumnos del centro tendría opción a entrar?
2. b) El centro decide otorgar una mención de honor al $5 \%$ de los alumnos con mejores notas. ¿A partir de qué puntuación se recibe dicha mención?
3. c) ¿Qué probabilidad hay de que un alumno tenga una nota inferior a $5$?

Una empresa de mensajería ha analizado el peso de los paquetes que envía diariamente. Se ha comprobado que el peso sigue una distribución normal. Sabemos que el $15,87 \%$ de los paquetes pesan menos de $2$ kg y que el $2,28 \%$ de los paquetes pesan más de $8$ kg.

1. a) Determina la media y la desviación típica del peso de los paquetes.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese entre $3$ y $6$ kg?

En un estudio sobre el gasto mensual en ocio de los jóvenes de una ciudad, se ha determinado que sigue una distribución normal con media $80$ € y desviación típica $15$ €.

1. a) Calcula el intervalo centrado en la media que comprende al $95 \%$ de los jóvenes.
2. b) Si seleccionamos a un joven al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su gasto mensual no se aleje de la media más de $10$ €?
3. c) Si en la ciudad hay $5.000$ jóvenes, ¿cuántos de ellos se estima que gastan más de $110$ € al mes?

Un agricultor clasifica las naranjas de su cosecha por su diámetro. El diámetro sigue una distribución normal $N(8 ; 0,6)$ en centímetros.

1. a) Las naranjas con un diámetro inferior a $7$ cm se destinan a la fabricación de zumo. ¿Qué probabilidad tiene una naranja de acabar en la fábrica de zumo?
2. b) Las naranjas "Extra" son aquellas cuyo diámetro está entre $8,5$ y $9,5$ cm. ¿Qué porcentaje de la cosecha se etiqueta como "Extra"?
3. c) Si el agricultor quiere separar el $10 \%$ de las naranjas más grandes para una exportación de lujo, ¿cuál debe ser el diámetro mínimo de estas naranjas?

Sea $f(x)$ una función definida a trozos de la siguiente forma:

$f(x) = \begin{cases} k \cdot x & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k \cdot (4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

Determina, de forma razonada, el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad de una variable aleatoria continua $X$. Una vez hallado $k$, calcula la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido en el intervalo $[1, 3]$ y represéntalo gráficamente.

El tiempo de uso diario de una aplicación de mapas en el móvil de los repartidores de una ciudad sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87 \%$ de los repartidores la utiliza menos de $40$ minutos al día, mientras que el $2,28 \%$ la utiliza más de $80$ minutos. Calcula los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de esta distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que un repartidor elegido al azar use la aplicación entre $50$ y $70$ minutos?

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos afirma que el $4 \%$ de sus pantallas táctiles presentan algún micro-defecto de fábrica. Si un centro educativo adquiere un lote de $250$ pantallas para sus aulas, calcula la probabilidad de que:

1. a) Haya exactamente $12$ pantallas defectuosas.
2. b) Haya entre $8$ y $15$ pantallas defectuosas (ambos inclusive).

Nota: Justifica si es posible realizar una aproximación de la distribución binomial a la normal y aplica la corrección de continuidad de Yates.

En un certamen de jóvenes talentos musicales, las puntuaciones siguen una distribución normal de media $72$ puntos. Se sabe que para obtener una "Mención de Honor" se requiere una puntuación tal que solo el $10 \%$ de los participantes la alcance. Si la puntuación mínima para recibir dicha mención es de $84,8$ puntos, ¿cuál es la desviación típica de las puntuaciones? Si se presentan $500$ participantes, ¿cuántos se espera que tengan una puntuación inferior a $60$ puntos?

La duración de las bombillas LED de un modelo sigue una distribución normal con una media de $30$ mil horas. Si se conoce que la probabilidad de que una bombilla dure más de $34$ mil horas es la misma que la probabilidad de que dure menos de $26$ mil horas, y ambas valen $0,1587$, calcula la varianza de la distribución. Si un ayuntamiento necesita que las farolas de un parque funcionen durante $33$ mil horas sin sustitución, ¿qué probabilidad tiene de que una bombilla se funda antes de alcanzar ese tiempo?

Se ha comprobado que el peso de los paquetes de café de $500$ gramos que salen de una envasadora sigue una distribución normal $N(505, 10)$. El control de calidad rechaza aquellos paquetes que pesen menos de $490$ gramos o más de $525$ gramos.

1. a) ¿Qué porcentaje de paquetes es rechazado por la fábrica?
2. b) Si el encargado decide ajustar la máquina para que el peso medio sea $\mu$, pero manteniendo la desviación típica $\sigma = 10$, ¿qué valor debería tener $\mu$ para que el riesgo de que un paquete pese menos de $500$ gramos sea solo del $2,5 \%$?

Dada la función de densidad $f(x) = \frac{1}{8}(x-1)$ definida para el intervalo $x \in [1, 5]$ y $f(x)=0$ en el resto:

1. a) Comprueba que el área total bajo la curva es efectivamente $1$.
2. b) Halla un valor $M$ (mediana) tal que $P(X \le M) = 0,5$.
3. c) Calcula la probabilidad condicionada $P(X > 4 | X > 2)$.

En una plataforma de streaming, el tiempo que los usuarios ven una serie antes de abandonarla sigue una distribución normal. Se sabe que el tiempo medio es de $45$ minutos. Si el $25 \%$ de los usuarios ven más de $60$ minutos, calcula la desviación típica. Determina el intervalo simétrico respecto a la media $(45 - d, 45 + d)$ que contenga al $95 \%$ de los tiempos de visualización de los usuarios.