Ejercicios: Distribuciones de probabilidad continua

Se sabe que el tiempo que tarda el autobús escolar en completar su ruta matinal sigue una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad es constante en el intervalo $[80, 120]$ minutos, y vale $0$ en cualquier otro punto.

1. a) Determina el valor de la función de densidad en dicho intervalo para que sea válida.
2. b) Calcula la probabilidad de que el autobús tarde menos de 90 minutos en completar la ruta.
3. c) Representa gráficamente la función de densidad.

Observa las siguientes dos curvas correspondientes a distribuciones normales. Ambas representan el peso de dos razas distintas de gatos domésticos.

1. a) ¿Tienen ambas distribuciones la misma media $\mu$? Justifica tu respuesta observando la posición del máximo.
2. b) ¿Cuál de las dos distribuciones tiene una desviación típica $\sigma$ mayor? Explica cómo influye este parámetro en la forma de la "campana".

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, obtén las siguientes probabilidades directas:

1. a) $P(Z < 1,25)$
2. b) $P(Z \leq 0,47)$
3. c) $P(Z < 2,03)$

Explica brevemente qué representa el valor obtenido en el apartado (a) respecto al área total bajo la curva de Gauss.

En una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, calcula las siguientes probabilidades utilizando las propiedades de simetría y el suceso contrario:

1. a) $P(Z > 1,12)$
2. b) $P(Z < -0,54)$
3. c) $P(Z \geq -1,96)$

Dibuja una campana de Gauss para el apartado (b) sombreando el área que estás calculando.

La puntuación en un popular test de agilidad mental para adolescentes sigue una distribución normal $X \sim N(100, 15)$.

1. a) Tipifica el valor $X = 115$ y explica qué significa el resultado obtenido (a cuántas desviaciones típicas de la media se encuentra).
2. b) Tipifica el valor $X = 80$. ¿Qué indica el signo negativo en este caso?

La duración de la batería de unos auriculares inalámbricos de gama media sigue una distribución normal con una media de 6 horas y una desviación típica de 0,5 horas ($X \sim N(6; 0,5)$).

Calcula la probabilidad de que, al elegir unos auriculares al azar, la batería dure menos de 7 horas. (Recuerda tipificar primero la variable para poder usar la tabla).

Calcula el área encerrada en los siguientes intervalos para una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$:

1. a) $P(0,5 < Z < 1,5)$
2. b) $P(-1,2 < Z < 1,2)$

Representa gráficamente el intervalo del apartado (b) indicando por qué el área es simétrica respecto al eje vertical.

Busca en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ el valor de la abscisa $k$ en los siguientes casos (problema inverso):

1. a) $P(Z < k) = 0,8413$
2. b) $P(Z < k) = 0,9750$
3. c) $P(Z < k) = 0,5000$

¿Qué ocurre con el valor de $k$ a medida que la probabilidad se acerca a 1? Justifica tu respuesta observando la forma de la campana en sus extremos.

Se está estudiando el tiempo que tarda un grupo de jóvenes en desconectar por completo después de apagar el móvil antes de dormir. La función de densidad de esta variable aleatoria continua, $x$, expresada en minutos, viene dada por la siguiente gráfica:

Calcula razonadamente:

1. a) El valor de la ordenada máxima $k$ para que sea una función de densidad válida.
2. b) La probabilidad de que un joven tarde entre 15 y 20 minutos en desconectar.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde exactamente 22 minutos?

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, calcula las siguientes probabilidades:

1. a) $P(Z < 1,48)$
2. b) $P(Z > 0,72)$
3. c) $P(Z < -1,15)$
4. d) $P(-0,5 < Z < 1,2)$

Además, halla el valor de la constante positiva $a$ tal que $P(-a < Z < a) = 0,90$.

Dos amigos, Lucía y Marco, juegan en diferentes equipos de e-Sports. La puntuación de Lucía en el juego "Galaxy Quest" sigue una distribución $N(1200, 15)$, mientras que la de Marco en "Pixel Arena" sigue una distribución $N(850, 10)$.

En la última partida, Lucía obtuvo 1235 puntos y Marco obtuvo 875 puntos. Utiliza la tipificación de variables para determinar cuál de los dos obtuvo un resultado más meritorio en comparación con su grupo.

La estatura de los alumnos de 1º de Bachillerato de un instituto sigue una distribución normal de media $172$ cm y desviación típica $8$ cm. Si elegimos un alumno al azar, halla la probabilidad de que:

1. a) Mida más de $185$ cm.
2. b) Mida menos de $160$ cm.
3. c) Su estatura esté comprendida entre $165$ y $180$ cm.

Una empresa que fabrica mochilas escolares ha comprobado que el peso que soportan antes de que fallen las costuras sigue una distribución normal con una media de $24$ kg y una desviación típica de $3,5$ kg.

1. a) ¿Qué porcentaje de mochilas soportan un peso entre $20$ y $28$ kg?
2. b) Si la empresa fabrica un lote de $5000$ mochilas, ¿cuántas se espera que fallen antes de los $18$ kg?

En una plataforma de streaming de música, el tiempo que los usuarios escuchan una lista de reproducción "Top 50" sigue una distribución $N(45, 12)$ minutos. La plataforma decide enviar una encuesta de satisfacción al $15\%$ de los usuarios que más tiempo pasan escuchando dicha lista. ¿A partir de cuántos minutos de escucha recibirá un usuario la encuesta?

El peso de las tabletas de chocolate producidas por una fábrica sigue una distribución normal de media $200$ gramos. El control de calidad rechaza aquellas tabletas que pesan menos de $195$ gramos. Sabiendo que el $3\%$ de las tabletas son rechazadas, calcula el valor de la desviación típica de esta producción.

Se considera la función de probabilidad continua definida por tramos de una variable aleatoria $X$, que representa el tiempo (en horas) que un grupo de adolescentes dedica al estudio de matemáticas en un fin de semana:

$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k(4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

1. a) Determina razonadamente el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad.
2. b) Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie entre 1,5 y 3 horas.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie exactamente 2 horas? Justifica tu respuesta basándote en la naturaleza de la variable.

La latencia (ping) en un popular videojuego online sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras realizar miles de mediciones, los desarrolladores han observado que el $15,87\%$ de las partidas tienen una latencia superior a $110$ ms, mientras que el $6,68\%$ de las partidas presentan una latencia inferior a $75$ ms.

1. a) Calcula los parámetros $\mu$ (media) y $\sigma$ (desviación típica) de esta distribución.
2. b) Si un jugador considera que una partida es "injugable" cuando la latencia supera los $125$ ms, ¿qué porcentaje de partidas entrarán en esta categoría?

Una empresa tecnológica fabrica sensores de precisión para drones. El margen de error en la medición de altura de estos sensores sigue una distribución normal con una media de $0$ cm y una desviación típica de $1,5$ cm. Por motivos de seguridad, la empresa descarta todos los sensores cuyo error absoluto sea superior a un valor crítico $k$.

1. a) Si se sabe que el $10\%$ de la producción total es descartada, calcula el valor de dicho margen de error $k$.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un sensor aceptado (no descartado), su error sea positivo?

Una aplicación de streaming de música ha lanzado un nuevo algoritmo de recomendación. Se estima que la probabilidad de que a un usuario le guste una canción recomendada es del $65\%$. Si en un día el algoritmo recomienda canciones a un grupo de $400$ usuarios:

1. a) Justifica si es posible aproximar la distribución del número de usuarios a los que les gusta la recomendación mediante una distribución normal.
2. b) Utilizando la aproximación adecuada (con corrección de continuidad), calcula la probabilidad de que la recomendación sea exitosa para un número de usuarios comprendido entre $250$ y $275$ (ambos inclusive).

En una prestigiosa escuela de diseño, la nota final de los aspirantes sigue una distribución normal. Se sabe que la nota media es de $6,8$ y que el $33\%$ de los alumnos obtiene una nota superior a $7,5$.

1. a) Halla la desviación típica de las notas.
2. b) Si para obtener una beca de excelencia se requiere estar en el $5\%$ superior de las notas, ¿cuál es la nota mínima necesaria para conseguir dicha beca?

El peso de las botellas de plástico reciclado recogidas en un centro de sostenibilidad sigue una distribución $N(120, 15)$ gramos. El centro clasifica las botellas en tres categorías: "Ligeras" (el $20\%$ que menos pesa), "Estándar" (el $60\%$ central) y "Pesadas" (el $20\%$ que más pesa).

1. a) Determina los pesos que delimitan cada una de las tres categorías.
2. b) Si elegimos $5$ botellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente $3$ de ellas sean clasificadas como "Estándar"?

Se están comparando dos modelos de patinetes eléctricos. El modelo A tiene una autonomía media de $40$ km con una desviación típica de $4$ km. El modelo B tiene una autonomía media de $42$ km con una desviación típica de $8$ km. Ambas autonomías siguen distribuciones normales.

1. a) Si un usuario necesita realizar un trayecto de $48$ km sin recargar, ¿qué modelo le ofrece mayor seguridad (mayor probabilidad de éxito)? Justifica los cálculos.
2. b) ¿Para qué distancia la probabilidad de que ambos modelos fallen es la misma?

Una empresa de logística analiza el tiempo de entrega de sus paquetes locales. El tiempo de entrega sigue una distribución normal con una desviación típica de $12$ minutos. Se sabe que el $75\%$ de los paquetes se entregan en menos de $50$ minutos.

1. a) Calcula el tiempo medio de entrega.
2. b) La empresa garantiza un reembolso del envío si el paquete tarda más de una hora ($60$ minutos) en llegar. Si en un mes se envían $5000$ paquetes, ¿cuántos reembolsos se estima que tendrá que realizar la empresa?
3. c) Si la empresa quiere reducir el número de reembolsos a la mitad mejorando la logística pero manteniendo la misma media, ¿cuál debería ser la nueva desviación típica?