Ejercicios: Límites en un punto

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación. Determina, a partir de la misma, el valor de los siguientes límites y el valor de la función en el punto indicado:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, completa la siguiente tabla de valores para aproximar el límite de la función cuando $x$ tiende a $1$. ¿A qué valor parece que se acerca la función?

Un estudio de mercado indica que los beneficios diarios de una nueva cafetería, en euros, siguen la función $B(t) = t^2 + 5t - 10$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su apertura. Calcula el límite de los beneficios cuando el tiempo tiende a $3$ meses ($t \to 3$).

Calcula los siguientes límites realizando la sustitución directa en la expresión de la función:

1. a) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 3x^2 + 4)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{2x + 5}{x - 3}$

1. c) $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$

La velocidad de descarga de un archivo (en MB/s) depende del número de usuarios conectados a la red, $n$, según la función $V(n) = \frac{100}{n + 2}$. Determina a qué valor tiende la velocidad de descarga cuando el número de usuarios se aproxima a $18$.

Dada la función definida a trozos:

Calcula los límites laterales en el punto de ruptura:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

¿Existe el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$? Justifica tu respuesta.

Determina el valor del límite de la función $g(x) = \frac{x - 5}{x^2 + 1}$ en los siguientes puntos:

1. a) $x \to 5$

1. b) $x \to -1$

1. c) $x \to 0$

Representa una función $h(x)$ en un pequeño esbozo que cumpla simultáneamente estas tres condiciones:

1. $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 2$

2. $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 2$

3. $h(3) = 4$

¿Es la función continua en $x = 3$? Explica qué diferencia hay entre el valor del límite y el valor de la función en ese punto.

Un creador de contenido ha observado que el crecimiento de seguidores de su canal durante la primera hora de un directo sigue la función $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$, donde $x$ es el tiempo en minutos. Sin embargo, justo en el minuto $x = 5$, la plataforma sufrió un pequeño error técnico y no registró datos.

Estima el valor al que tienden los seguidores cuando el tiempo se aproxima a $5$ minutos completando la siguiente tabla de valores y calculando el límite:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

La temperatura de un componente electrónico en un proceso de refrigeración viene dada por la siguiente función definida a trozos, donde $t$ es el tiempo en segundos:

$T(t) = \begin{cases} t^2 - 2t + 5 & \text{si } t < 3 \\ \frac{2t + 18}{t} & \text{si } t \ge 3 \end{cases}$

Calcula los límites laterales en el punto de cambio de régimen ($t = 3$) y determina si existe el límite global en dicho punto. Justifica razonadamente si la temperatura experimenta un salto brusco en ese instante.

Calcula el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación mediante la factorización de polinomios:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x^2 - x - 6}$

Una empresa de mensajería utiliza una tarifa que depende del peso del paquete $x$ en kilogramos. La función de coste es:

$C(x) = \begin{cases} 5x + 2 & \text{si } 0 < x \le 2 \\ \sqrt{ax + 12} & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Halla el valor del parámetro $a$ para que el coste no presente una discontinuidad en el punto $x = 2$, es decir, para que exista el límite $\lim_{x \to 2} C(x)$ y este coincida con el valor de la función.

Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del producto por el binomio conjugado para eliminar la raíz del numerador:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x - 4}$

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación y analiza su comportamiento en los puntos indicados:

1. a) Determina los límites laterales en $x = -1$ y comprueba si existe $\lim_{x \to -1} f(x)$.
2. b) Determina los límites laterales en $x = 2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en este punto?

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$, estudia su comportamiento cuando $x$ se acerca a $2$.

Para ello, calcula los límites laterales:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

Explica, basándote en los resultados, si la función tiene una asíntota vertical o una discontinuidad evitable en ese punto.

En un laboratorio de biología, se estudia la concentración de una toxina en un cultivo bacteriano. La concentración $C$ en partes por millón (ppm) respecto a la temperatura $x$ en grados centígrados sigue la función:

$C(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$

Calcula la concentración límite cuando la temperatura tiende a $1^\circ\text{C}$. ¿Está definida la concentración exactamente a esa temperatura? Justifica tu respuesta analizando el dominio y el límite en ese punto.

Dada la función definida a trozos que modela el coste marginal de producción de una empresa tecnológica en función de las unidades $x$ (en miles):

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que existe el límite de la función en el punto de ruptura $x = 2$ y que dicho límite es igual a $3$. Justifica razonadamente si la función es continua en ese punto basándote en los límites laterales calculados.

Calcula el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación mediante el uso del conjugado y la factorización de polinomios:

Explica paso a paso el proceso de simplificación y cómo logras eliminar el factor que anula el denominador.

Observa la siguiente gráfica de la función $g(x)$ y analiza su comportamiento en los puntos críticos indicados:

A partir de la gráfica, determina:

1. $\lim_{x \to -2^-} g(x)$ y $\lim_{x \to -2^+} g(x)$. ¿Existe el límite en $x = -2$?

2. $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} g(x)$. ¿Cuál es el valor de $g(0)$?

3. Describe el tipo de discontinuidad que presenta la función en cada uno de estos dos puntos.

Un estudio sociológico establece que el nivel de satisfacción de un usuario con una red social, $S(t)$, medido de 0 a 100, sigue la siguiente función en relación al tiempo $t$ (en meses) que lleva registrado:

Calcula el límite de satisfacción cuando el tiempo se aproxima a los $2$ meses y a los $3$ meses. Interpreta el resultado obtenido: ¿qué ocurre físicamente con la satisfacción del usuario en esos instantes de tiempo?

Halla el valor de los límites laterales de la siguiente función en el punto $x = 3$:

A partir de tus resultados, razona si existe el límite global en ese punto. ¿Qué diferencia gráfica existe entre aproximarse por la izquierda y por la derecha?

Calcula el valor de $k$ para que el siguiente límite sea un número real (finito) y, una vez hallado $k$, calcula el valor de dicho límite:

Pista: Para que el límite sea finito, el numerador debe anularse en el mismo punto que el denominador.

Se está estudiando la propagación de un rumor en un instituto. El número de alumnos que conocen la noticia después de $h$ horas viene dado por la función:

Calcula e interpreta el significado de los siguientes límites en el contexto del problema:

1. $\lim_{h \to 0^+} N(h)$

2. $\lim_{h \to 4^-} N(h)$

¿Es coherente el modelo matemático para cualquier valor de $h$? Razona tu respuesta basándote en la existencia de asíntotas verticales.

Considera la función racional $R(x) = \frac{x^2 - m}{x^2 - 5x + 6}$.

1. Determina el valor de $m$ para que la función presente una discontinuidad evitable en $x = 2$.

2. Para ese valor de $m$, calcula $\lim_{x \to 2} R(x)$.

3. ¿Qué ocurre con el límite de la función en $x = 3$ para el valor de $m$ hallado anteriormente? Describe el comportamiento de las ramas infinitas.