Ejercicios: Ramas infinitas en funciones exponenciales y logarítmicas

Una colonia de moho crece en una placa de Petri de un laboratorio escolar. El área que cubre, en $cm^2$, sigue el modelo de una función exponencial dependiente del tiempo $t$ en días: $M(t) = 2 \cdot 1,5^t$.

a) ¿Hacia qué valor tiende el área cubierta por el moho si la colonia sigue creciendo de forma indefinida? Expresa este hecho utilizando la notación de límites.

b) Observa la gráfica de la función y describe el tipo de rama infinita que presenta cuando $t \to +\infty$.

La intensidad de la señal de Wi-Fi de una cafetería, medida en decibelios (dB), disminuye a medida que nos alejamos de la antena según la función $I(d) = 60 \cdot e^{-0,1d}$, donde $d$ es la distancia en metros.

a) Calcula el límite de la intensidad cuando la distancia $d$ tiende a $+\infty$.

b) ¿Qué significa el resultado obtenido en el contexto del problema? ¿Existe alguna asíntota horizontal?

Dada la función logarítmica $f(x) = \ln(x - 4)$, se pide:

a) Hallar el dominio de definición de la función.

b) Estudiar el comportamiento de la función cuando $x$ se aproxima a $4$ por la derecha ($x \to 4^+$) y determinar si existe una asíntota vertical.

Una empresa de logística estima que el coste de mantenimiento de su flota de camiones, en euros, sigue el modelo $C(x) = 1500 + \log(x + 10)$, donde $x$ es el número de kilómetros recorridos.

Analiza la rama infinita de la función cuando el kilometraje aumenta indefinidamente ($x \to +\infty$). ¿El coste de mantenimiento tiene un límite máximo o crece sin cota?

Una aplicación móvil de aprendizaje de idiomas está ganando usuarios de forma acelerada. El número de usuarios activos, en miles, se modela con la función exponencial $U(t) = 5 \cdot 1,2^t$, donde $t$ es el tiempo en meses desde el lanzamiento.

a) Calcula el límite de $U(t)$ cuando $t \to +\infty$ y explica qué tipo de rama infinita presenta la función (¿tiene asíntota horizontal en ese extremo?).

b) Estudia qué ocurre cuando $t \to -\infty$. ¿Tiene la función alguna asíntota horizontal en ese sentido? Indica su ecuación.

c) Esboza en tu cuaderno la gráfica de la función señalando las ramas infinitas en ambos extremos.

Halla las asíntotas horizontales, si existen, de las siguientes funciones estudiando sus límites en el infinito:

a) $f(x) = 5^{x} + 2$

b) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 3$

Nota: Recuerda estudiar tanto el límite cuando $x \to +\infty$ como cuando $x \to -\infty$.

Asocia cada una de las siguientes expresiones de límites con la característica gráfica correspondiente de una función logarítmica $f(x) = \log_a(x)$ con $a > 1$:

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$

2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

A) La función presenta una rama parabólica de crecimiento lento.

B) La función tiene una asíntota vertical en el eje de ordenadas.

Calcula los siguientes límites de funciones elementales:

a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_{10}(x^2 + 1)$

b) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{x+2}$

c) $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln(x)}$

Dada la gráfica de la función $f(x)$, que combina un comportamiento racional con uno exponencial, identifica los valores de los límites indicados y describe las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.

Calcula razonadamente a partir de la observación:

1. $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

2. $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

3. $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

Un estudio de mercado estima que el número de suscriptores de una nueva plataforma de streaming, en miles de personas, sigue la función $S(t) = \frac{120}{1 + 4 \cdot e^{-0,1t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

Determina el límite de suscriptores que tendrá la plataforma "a largo plazo", es decir, cuando $t \to +\infty$. ¿Cómo se denomina este comportamiento desde el punto de vista de las ramas infinitas de la función?

Estudia las asíntotas y el comportamiento en las ramas infinitas de la función logarítmica:

$$f(x) = \ln(x^2 - 16)$$

Para ello:

1. Halla el dominio de definición de la función.

2. Calcula los límites laterales en los extremos de los intervalos del dominio.

3. Determina si existe alguna asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.

Analiza el comportamiento de la función $g(x) = 2 + \frac{\ln(x)}{x}$ cuando la variable independiente crece indefinidamente ($x \to +\infty$).

Pista: Recuerda que la función logarítmica crece mucho más lentamente que cualquier función polinómica, por lo que $\frac{\ln(x)}{x} \to 0$ cuando $x \to +\infty$.

Explica si la función tiene alguna asíntota horizontal y represéntala esquemáticamente en un eje de coordenadas.

Considera la función definida a trozos:

$$h(x) = \begin{cases} 2^x & \text{si } x \le 1 \\ \log_{10}(x) + k & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. Calcula el valor de $k$ para que la función sea continua en $x = 1$.

2. Una vez hallado $k$, estudia los límites de la función en el infinito: $\lim_{x \to -\infty} h(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} h(x)$.

Dada la función $f(x) = e^{1/(x-3)}$, calcula los siguientes límites laterales:

1. $\lim_{x \to 3^-} f(x)$

2. $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

A la vista de los resultados, indica si existe una asíntota vertical en $x = 3$ y describe el comportamiento de la función a cada lado del punto.

En un laboratorio de química, la temperatura de una reacción (en $^\circ C$) viene dada por la función $T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

1. ¿Cuál es la temperatura inicial de la reacción?

2. ¿A qué temperatura se estabilizará la mezcla si dejamos pasar mucho tiempo? Calcula $\lim_{t \to +\infty} T(t)$.

Determina todas las asíntotas de la función:

$$f(x) = \frac{x \cdot \ln(x)}{x-1}$$

Calcula para ello los límites necesarios cuando $x \to 1^+$ (extremo del dominio por anulación del denominador) y cuando $x \to +\infty$. ¿Presenta esta función alguna rama parabólica o asíntota horizontal?

El impacto de una campaña de marketing digital para una nueva aplicación móvil se mide por el número de usuarios activos diarios, $U(t)$, en miles, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento. El modelo viene dado por la siguiente función:

$$U(t) = \frac{120}{2 + 8e^{-0,15t}}$$

Analiza el comportamiento de la comunidad de usuarios a largo plazo calculando $\lim_{t \to +\infty} U(t)$ e interpreta el significado de la asíntota horizontal encontrada. ¿Qué ocurriría con el límite si el coeficiente del exponente fuera positivo ($0,15t$)? Justifica tu respuesta.

Estudia todas las ramas infinitas (asíntotas verticales, horizontales y oblicuas) de la función logarítmica compuesta definida por:

$$f(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 9}{x + 1}\right)$$

Ten en cuenta que primero debes determinar el dominio de la función, ya que el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo. Describe el comportamiento de la función en los bordes de su dominio mediante límites laterales.

En un debate de clase sobre órdenes de crecimiento, un estudiante afirma que, como el numerador de la función $g(x) = \frac{x}{e^x}$ tiende a infinito cuando $x \to +\infty$, la función $g(x)$ tampoco puede tener límite finito en el infinito.

Demuestra mediante el cálculo de $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$ si el estudiante tiene razón o no, comparando el orden de crecimiento de la función exponencial frente al de la función lineal. ¿Presenta $g(x)$ alguna asíntota horizontal? Indica su ecuación.

Calcula el valor del siguiente límite, el cual da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ relacionada con el número $e$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2\ln(x) + 5}{2\ln(x) - 1}\right)^{\ln(x)}$$

Pista: Realiza un cambio de variable $u = \ln(x)$ para simplificar la expresión antes de aplicar la fórmula del número $e$.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio y presente una asíntota horizontal en $y = 4$ cuando $x \to +\infty$:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + 10}{x - 2} & \text{si } x < 0 \\ b \cdot e^x + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Explica detalladamente los pasos seguidos, analizando primero el límite en el infinito y luego la continuidad en el punto de ruptura.

Dada la función racional con potencias exponenciales:

$$h(x) = \frac{3^x - 3^{-x}}{3^x + 3^{-x}}$$

Calcula sus asíntotas horizontales hallando los límites $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} h(x)$. Ten mucho cuidado con el comportamiento de $3^x$ y $3^{-x}$ dependiendo de si $x$ tiende a más o menos infinito.

Un canal de contenidos educativos obtiene unos ingresos mensuales por publicidad (en cientos de euros) que siguen la función $R(x) = 50 \cdot \ln(x+1) - 0,5x$, donde $x$ representa los meses transcurridos desde su lanzamiento.

1. a) Calcula $\lim_{x \to +\infty} R(x)$ comparando los órdenes de magnitud del crecimiento logarítmico frente al crecimiento lineal.
2. b) ¿Es este un buen modelo para representar los ingresos del canal a largo plazo? Justifica tu respuesta basándote en la rama infinita obtenida.

Analiza la existencia de límites y asíntotas verticales en la función $f(x) = \frac{1}{\ln(x^2 - 3)}$.

Especialmente, estudia qué ocurre en los valores de $x$ que hacen que el denominador sea cero. Determina los límites laterales en esos puntos y describe si la función se aproxima a $+\infty$ o $-\infty$. ¿Existen intervalos donde la función no esté definida? Justifícalo.