Ejercicios: Concepto

Imagina que estás analizando el crecimiento de una nueva cuenta de una red social. El número de seguidores en miles, tras $x$ semanas, viene dado por la función $f(x)$. Para entender qué ocurre cerca de la tercera semana, hemos obtenido los siguientes valores:

$x$	2,9	2,99	2,999	...	3,001	3,01	3,1
$f(x)$	5,81	5,98	5,998	...	6,002	6,02	6,19

Observando la tabla, estima de forma intuitiva el valor del siguiente límite:

$$\lim_{x \to 3} f(x)$$

Dada la siguiente gráfica de una función $f(x)$, determina el valor de los límites laterales en el punto de ruptura $x = 2$:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) ¿Existe el límite global $\lim_{x \to 2} f(x)$? Justifica tu respuesta.

Observa la gráfica de la función $g(x)$ y analiza qué ocurre cuando la variable independiente $x$ toma valores cada vez más grandes. ¿A qué valor parece aproximarse la función "a largo plazo"?

Expresa tu conclusión utilizando la notación de límites: $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.

Considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 5 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

Calcula los límites laterales en $x = 1$ sustituyendo directamente en la expresión correspondiente:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$
3. c) A la vista de los resultados, ¿es la función continua en $x = 1$?

En ocasiones, el valor de una función en un punto no coincide con el valor al que se aproxima la función cerca de ese punto. Observa la siguiente gráfica y determina:

1. a) El valor de la función en el punto: $f(3)$
2. b) El valor del límite: $\lim_{x \to 3} f(x)$

Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas y constantes utilizando las propiedades básicas (sustitución directa):

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} (3x + 4)$
3. c) $\lim_{x \to 5} (7)$

Se está estudiando la temperatura de un componente electrónico que se calienta al encenderse. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) respecto al tiempo $t$ (en segundos) sigue la función $T(t) = \frac{80t}{t+2}$.

Calcula el valor de la temperatura cuando el tiempo se hace "infinito" (es decir, la temperatura de estabilización):

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{80t}{t+2}$$

Observa la gráfica de la función $h(x)$ y describe el comportamiento de la función cuando $x$ se acerca a $x = 0$ por la derecha. ¿Cómo expresarías este resultado usando la notación de límites?

Un nuevo videojuego de estrategia estima que el número de usuarios activos, medido en miles, sigue la función $U(t) = \frac{20t + 50}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

1. a) Completa la siguiente tabla de valores para observar la tendencia del número de usuarios a medida que pasan los meses:

$t$	10	100	1.000	10.000
$U(t)$

1. b) Utiliza los resultados de la tabla para estimar el valor del $\lim_{t \to +\infty} U(t)$.

1. c) ¿Qué significa el resultado obtenido en el contexto del problema? ¿Llegará el juego a quedarse sin usuarios?

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación y determina, si existen, los valores de los límites indicados. Si algún límite no existe, justifica brevemente por qué basándote en los límites laterales.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Dada la siguiente función definida a trozos, determina el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la función en el punto de ruptura $x = 3$.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx + 2 & \text{si } x < 3 \\ \frac{x+9}{x-1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Una atracción de feria muy popular abre sus puertas al público. El número de personas por minuto que se acumulan en la entrada durante los primeros instantes se modela mediante la función $P(t) = \frac{100}{t^2 - 8t + 16}$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

1. a) Analiza qué sucede con la afluencia de visitantes cuando el tiempo se aproxima a $t = 4$ minutos calculando los límites laterales $\lim_{t \to 4^-} P(t)$ y $\lim_{t \to 4^+} P(t)$.

1. b) ¿Es posible que la atracción siga admitiendo visitantes a ese ritmo después del minuto 4? Justifica tu respuesta basándote en el concepto de límite infinito.

Considera la función $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

1. a) Intenta calcular $g(3)$. ¿Qué ocurre?

1. b) Elabora una tabla de valores para $x$ muy cercanos a 3 por la izquierda ($2,9; 2,99; 2,999$) y por la derecha ($3,1; 3,01; 3,001$).

1. c) A la vista de los resultados, ¿cuál es el valor del $\lim_{x \to 3} g(x)$?

1. d) Representa gráficamente la situación resaltando qué sucede exactamente en el punto $x = 3$.

En un laboratorio de biología, se estudia la población de una colonia de bacterias tras aplicar un antibiótico. La población (en millones) viene dada por $P(t) = 5 + e^{-0,2t}$.

1. a) ¿Cuál es la población inicial de la colonia ($t = 0$)?

1. b) Calcula el límite de la población cuando el tiempo tiende a infinito: $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

1. c) Dibuja un esquema de la gráfica de la función basándote en los puntos calculados y sus asíntotas.

Se dice que el límite de una función en un punto es el valor al que se acercan las imágenes, independientemente de si la función está definida o no en ese punto. Explica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. a) Si existe $f(a)$, entonces siempre existe $\lim_{x \to a} f(x)$.
2. b) Si existe $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y existe $f(a)$, entonces necesariamente $f(a) = L$.
3. c) Para que exista el límite en un punto, los límites laterales deben ser iguales y finitos.

El coste total (en euros) de producir $x$ unidades de un producto viene dado por la función $C(x) = 15x + 2000$. La función de coste medio es $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$.

1. a) Escribe la expresión de la función $\bar{C}(x)$.

1. b) Calcula $\lim_{x \to 0^+} \bar{C}(x)$ e interpreta el resultado. ¿Qué ocurre si fabricamos muy pocas unidades?

1. c) Calcula $\lim_{x \to +\infty} \bar{C}(x)$. ¿A qué valor tiende el coste de fabricación por unidad cuando la producción es masiva?

Utiliza la definición formal de límite de una función en un punto para demostrar de forma rigurosa que:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$$

Para ello, dado un valor de $\epsilon > 0$, encuentra una expresión para $\delta$ en función de $\epsilon$ tal que se cumpla la implicación de la definición. Explica paso a paso el razonamiento algebraico realizado.

Observa la siguiente gráfica que representa la evolución de los beneficios de una startup tecnológica (en miles de euros) en función del tiempo $t$ (en meses). Determina razonadamente, a partir de la observación de las tendencias, los valores de los siguientes límites y explica su significado en el contexto del problema:

1. a) $\lim_{t \to 2^{-}} f(t)$ y $\lim_{t \to 2^{+}} f(t)$
2. b) $\lim_{t \to 4} f(t)$
3. c) $\lim_{t \to +\infty} f(t)$

Calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ tenga límite en los puntos de ruptura $x = -1$ y $x = 3$. Una vez hallados, indica si la función es continua en dichos puntos.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax & \text{si } x < -1 \\ b & \text{si } x = -1 \\ \frac{a - x}{2} & \text{si } -1 < x < 3 \\ \sqrt{x+1} - a & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

En un estudio de mercado, se ha determinado que el precio de un artículo de coleccionista (en euros) sigue la función $P(t) = \frac{150t + 200}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en años desde su lanzamiento.

1. a) Analiza la tendencia del precio a muy largo plazo calculando el límite cuando $t \to +\infty$.
2. b) Si el modelo cambiara tras una crisis en el año $t=10$ a $P(t) = \frac{k \cdot t^2}{2t^2 - 50}$, ¿qué valor debería tener $k$ para que el precio no experimentara un salto brusco (es decir, para que existiera el límite en $t=10$)?

Considera las funciones $f(x) = \frac{1}{x-3}$ y $g(x) = x^2 - 9$. Estudia el comportamiento del límite de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ cuando $x$ tiende a $2$ y cuando $x$ tiende a $\sqrt{12}$.

Justifica si los límites son finitos o infinitos analizando las tendencias laterales en cada caso.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - kx + 6}{x^2 - 9}$:

1. a) Halla el valor de $k$ para que la función presente una discontinuidad evitable en $x = 3$.
2. b) Para ese valor de $k$, calcula el valor del límite $\lim_{x \to 3} f(x)$.
3. c) ¿Qué ocurre con el límite de la función en $x = -3$ para ese mismo valor de $k$? Justifica la existencia de una asíntota vertical calculando los límites laterales.

Un biólogo observa que la población de una colonia de insectos en un laboratorio (en cientos de individuos) se comporta según la función $N(t)$, donde $t$ es el tiempo en semanas:

$$N(t) = \frac{2t^2 - 8}{t^2 - 5t + 6}$$

1. a) El biólogo nota que algo extraño sucede cerca de la segunda semana. Calcula $\lim_{t \to 2} N(t)$ e interpreta si la población desaparece, se estabiliza o crece indefinidamente en ese instante.
2. b) Determina la población inicial de la colonia ($t=0$) y la población a la que tenderá la colonia si las condiciones se mantienen constantes indefinidamente.

Dibuja un esquema gráfico aproximado de una función $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones de límites. Posteriormente, propón una posible expresión algebraica (a trozos o racional) para dicha función.

1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$

2. $\lim_{x \to -2^{-}} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to -2^{+}} f(x) = -\infty$

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, pero $f(0) = 1$

4. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (rama parabólica)