Ejercicios: Continuidad

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina el valor de los límites indicados. Si el límite no existe o es infinito, especifícalo.

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)$
4. d) $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas y racionales mediante sustitución directa:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 6)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{3x + 1}{x - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 2}{x + 4}$

Un estudio sobre la temperatura de un invernadero automatizado indica que esta sigue la función $T(t) = \frac{20t + 100}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura. ¿A qué temperatura tiende el invernadero cuando pasa mucho tiempo ($t \to +\infty$)? Ilustra el concepto mediante un esquema de la asíntota horizontal.

Dada la función $f(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$, calcula los límites laterales cuando $x$ se aproxima a $4$ para determinar si existe el límite en ese punto:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{x + 3}{x - 4}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \frac{x + 3}{x - 4}$

Analiza la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto de ruptura $x = 2$. Para ello, comprueba si se cumplen las tres condiciones de continuidad:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 7 - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Asocia cada una de las siguientes situaciones gráficas con su tipo de discontinuidad correspondiente: evitable, de salto finito o de salto infinito.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la función $g(x)$ sea continua en todo el conjunto de los números reales:

$g(x) = \begin{cases} kx^2 - 1 & \text{si } x \leq 3 \\ 4x + 5 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una empresa de mensajería cobra $5$ € por envíos de hasta $2$ kg de peso. A partir de $2$ kg, la tarifa cambia y se rige por la función $P(w) = 2w + 1$, donde $w$ es el peso en kg.

1. a) Expresa la función de coste $C(w)$ de forma definida a trozos.
2. b) ¿Es la función de coste continua en el punto $w = 2$? Justifica tu respuesta calculando los límites laterales.

El coste de mantenimiento anual de un servidor que aloja una red social depende del número de terabytes ($x$) de datos procesados, según la función:

$$C(x) = \frac{12x^2 + 500x + 1000}{0,5x^2 + 10x}$$

Donde $C(x)$ se expresa en euros. Los ingenieros quieren saber cuál será el coste medio de mantenimiento por terabyte cuando el volumen de datos procesados sea extremadamente grande. Calcula el límite de la función cuando $x \to +\infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.

Una entidad financiera ofrece una cuenta de ahorro cuya rentabilidad viene dada por la expresión $M(n) = \left(1 + \frac{0,04}{n}\right)^{2n}$, donde $n$ representa el número de veces que se liquidan los intereses al año. Un estudiante de economía quiere investigar qué ocurre con el capital final si la capitalización fuera instantánea, es decir, si el número de liquidaciones tendiera a infinito.

Calcula el valor de $\lim_{n \to \infty} M(n)$ utilizando la relación con el número $e$.

Se está diseñando el perfil de una rampa para una pista de skate. El diseño combina una sección curva (parabólica) con una sección recta para asegurar una transición suave. La altura $h$ en metros respecto a la distancia horizontal $x$ viene dada por:

$$h(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{4} + 1 & \text{si } x \le 2 \\ ax + b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Sabiendo que para que la rampa no sea peligrosa la función debe ser continua en $x = 2$ y que la pendiente de la recta debe ser $1$, determina los valores de $a$ y $b$.

Dada la siguiente gráfica de una función $f(x)$, analiza su comportamiento en los puntos indicados calculando sus límites laterales y determinando si existe el límite global. Clasifica también el tipo de discontinuidad que presenta en cada caso:

1. En $x = -2$

2. En $x = 1$

3. En $x = 3$

Un cohete de fuegos artificiales asciende durante las fiestas del pueblo. Su altura en metros $H$ tras $t$ segundos de vuelo viene definida por la función:

$$H(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$$

1. Calcula el valor de la altura cuando $t$ se aproxima a $4$ segundos.

2. ¿Está definida la altura en el instante exacto $t = 4$? Justifica si la función es continua en ese punto.

3. Si no es continua, redefine la función para que el vuelo sea "suave" (continuo) en ese instante.

Calcula el valor de los siguientes límites resolviendo las indeterminaciones que aparezcan:

1. a) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$

1. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$

En un estudio sobre el crecimiento de una población de linces en Doñana, los biólogos han modelizado el número de ejemplares mediante la función:

$$P(t) = \frac{250t + 120}{0,5t + 2}$$

donde $t$ es el tiempo en años desde el inicio del estudio.

1. ¿Cuántos linces había al comienzo del estudio ($t=0$)?

2. ¿A qué valor tiende la población de linces a largo plazo? Calcula el límite cuando $t \to +\infty$.

3. Halla las ecuaciones de las asíntotas de esta función.

Determina el valor de los parámetros $k$ y $m$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio ($\mathbb{R}$):

$$f(x) = \begin{cases} kx - 2 & \text{si } x < -1 \\ x^2 + x & \text{si } -1 \le x < 2 \\ m & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

Una vez hallados los valores, explica qué condiciones se han tenido que cumplir en los puntos de ruptura $x = -1$ y $x = 2$ para garantizar la continuidad.

Se está estudiando la evolución de los beneficios de una fintech durante sus primeros años de existencia. La función que modela el beneficio acumulado $B(t)$ (en millones de euros) en función del tiempo $t$ (en años) viene dada por la siguiente expresión:

$$B(t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{at^2 + bt}{t^2 + 1} & \text{si } 0 \le t < 2 \\ \displaystyle \frac{t-2}{\sqrt{t+7}-3} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que el beneficio sea una función continua en $t = 2$, sabiendo que en el primer año ($t = 1$) el beneficio de la empresa fue de exactamente $2$ millones de euros.

Dada la función $f(x) = \displaystyle \frac{2x^3 - 5x^2 - 4x + 3}{x^2 - x - 6}$, realiza un estudio exhaustivo de sus asíntotas. Para ello debes:

1. Hallar las asíntotas verticales y estudiar el comportamiento de la función a ambos lados de las mismas mediante límites laterales.

2. Comprobar si existe asíntota horizontal u oblicua.

3. Determinar la posición relativa de la curva respecto a la asíntota no vertical hallada.

Un analista financiero utiliza un modelo matemático para predecir el valor de una cartera de inversión agresiva. La rentabilidad $R(x)$ depende de un índice de mercado $x$, pero el modelo presenta una discontinuidad en un valor crítico:

$$R(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{|x-3|}{x-3} + kx & \text{si } x < 3 \\ \displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

1. Calcula el valor de $k$ para que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $3$.

2. Una vez hallado $k$, ¿es la función continua en $x = 3$? Justifica tu respuesta analizando los tipos de discontinuidad.

En un laboratorio de sociología digital, se ha observado que el número de usuarios (en miles) que comparten una noticia falsa sigue el modelo $U(t) = \left( \displaystyle \frac{3t^2 + 5}{3t^2 - 2} \right)^{2t^2+1}$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la publicación.

Determina el número de usuarios al que tenderá la noticia "a largo plazo" (cuando el tiempo tiende a infinito). Explica razonadamente el tipo de indeterminación que aparece y el proceso para resolverla.

Halla el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$$f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text{si } x < 1 \\ a \cdot \ln(x) + b & \text{si } 1 \le x \le e \\ \displaystyle \frac{x-e}{x^2 - e^2} & \text{si } x > e \end{cases}$$

Nota: Recuerda que $\ln(e) = 1$ y presta atención a las indeterminaciones en los puntos de ruptura.

Considera la función racional $g(x) = \displaystyle \frac{x^2 + mx + 1}{x^2 - 4}$.

1. ¿Para qué valores de $m$ la función tiene una discontinuidad evitable en $x = 2$ o $x = -2$?

2. Para $m = -2$, clasifica todas las discontinuidades de la función y halla sus asíntotas.

3. Dibuja un esquema de las ramas infinitas para el caso $m = -2$.

Un fondo de inversión garantiza unos gastos de gestión mensuales calculados por la función $G(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, donde $x$ representa el capital invertido en miles de euros.

1. Calcula el límite de los gastos cuando la inversión $x$ crece indefinidamente.

2. Si un cliente invierte una cantidad muy pequeña (tendiendo a cero por la derecha), ¿a qué valor tienden sus gastos de gestión?

3. Interpreta los resultados desde el punto de vista de la eficiencia de la inversión para grandes capitales.

Dada la función $h(x) = \displaystyle \frac{x^2 - kx + 4}{x^3 - 4x}$, determina el valor de $k$ sabiendo que la función presenta una discontinuidad evitable. Tras hallar $k$:

1. Identifica el punto donde la discontinuidad es evitable.

2. Calcula los límites laterales en los restantes puntos donde la función no es continua.

3. Determina todas las asíntotas de la función resultante.