Ejercicios: Función lineal; inversa; raíz; a trozos; valor absoluto

Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece una suscripción mensual que consiste en una cuota fija de $12€$ al mes más un coste adicional de $0,50€$ por cada hora de juego en la "nube".

1. a) Escribe la expresión algebraica de la función $f(x)$ que relaciona el coste mensual con el número de horas jugadas $x$.
2. b) Indica cuál es la pendiente ($m$) y la ordenada en el origen ($n$) de esta función.
3. c) ¿Cuánto pagará un estudiante que haya jugado $20$ horas en un mes?

Calcula la función inversa de la siguiente función lineal, que representa la conversión de una moneda virtual en un juego a euros:

$f(x) = \dfrac{x - 100}{50}$

Sigue los pasos aprendidos en clase:

1. Sustituye $f(x)$ por $y$.

2. Despeja la variable $x$ en función de $y$.

3. Intercambia las variables para obtener $f^{-1}(x)$.

El diseño de una nueva rampa para un parque de skate sigue la forma de una función raíz cuadrada. Para que la estructura sea estable, el ingeniero debe calcular su dominio de definición.

Halla el dominio de la función:

$f(x) = \sqrt{2x - 8}$

Recuerda que para las funciones con raíces de índice par, el radicando debe ser mayor o igual a cero.

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$, realiza las siguientes tareas:

1. a) Completa la tabla de valores para $x = \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.
2. b) Indica cuáles son las asíntotas de la función.
3. c) Explica razonadamente por qué el valor $x = 0$ no pertenece al dominio de esta función.

Un joven emprendedor vende camisetas personalizadas por internet. Ha decidido aplicar un descuento por volumen de compra, definiendo el precio total mediante la siguiente función a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 15x & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 12x + 15 & \text{si } x > 5 \end{cases}$

Donde $x$ es el número de camisetas compradas.

1. a) ¿Cuánto costará comprar $4$ camisetas?
2. b) ¿Cuál es el precio de un pedido de $10$ camisetas?
3. c) ¿Es la función continua en el punto de ruptura $x = 5$? Justifica tu respuesta calculando el valor de la función en ese punto por ambos tramos.

Representa gráficamente la función de valor absoluto $f(x) = |x + 2|$.

Para ello:

1. Identifica el vértice de la función (el valor de $x$ que hace que el interior sea cero).

2. Crea una tabla de valores con dos puntos a la izquierda y dos a la derecha del vértice.

3. Dibuja la gráfica resultante en unos ejes cartesianos.

Dadas las funciones $f(x) = 2x - 3$ y $g(x) = x^2 + 1$, calcula las siguientes composiciones de funciones:

1. a) $(g \circ f)(x)$ [Recuerda que esto es $g(f(x))$]
2. b) $(f \circ g)(x)$ [Recuerda que esto es $f(g(x))$]
3. c) Evalúa el resultado de $(g \circ f)(2)$.

Observa la siguiente gráfica que muestra la relación entre la temperatura de un invernadero y la hora del día.

1. a) Determina el dominio y el recorrido de la función basándote en la imagen.
2. b) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
3. c) ¿A qué hora se alcanza la temperatura máxima y cuál es dicho valor?

Un servicio municipal de alquiler de patinetes eléctricos quiere modelar sus costes. El coste total diario de operación $C(x)$ (en euros) depende de los kilómetros recorridos en conjunto por la flota $x$ y sigue una función lineal. Se sabe que un día que los patinetes recorrieron $20$ km el coste fue de $15$ €, y otro día con $50$ km recorridos el coste ascendió a $30$ €.

1. a) Determina la expresión analítica de la función $C(x)$.
2. b) Identifica y explica el significado de la pendiente y de la ordenada en el origen en el contexto del problema.
3. c) Si el presupuesto máximo diario es de $50$ €, ¿cuántos kilómetros pueden recorrer como máximo?

El ayuntamiento de una localidad ha establecido una nueva tarifa para el consumo de agua orientada al ahorro. El coste mensual $f(x)$ en euros por $x$ metros cúbicos consumidos se define mediante la siguiente función a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} 0,8x + 12 & \text{si } 0 \leq x \le 15 \\ 1,2x + k & \text{si } x > 15 \end{cases}$$

1. a) Halla el valor de $k$ para que la tarifa sea continua en el punto de cambio de tramo (para que no haya saltos bruscos en la factura).
2. b) Representa gráficamente la función resultante.
3. c) ¿Cuánto pagará una familia que consume $22$ $m^3$ al mes?

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Calcula su dominio de definición.
2. b) Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
3. c) Determina la función inversa $f^{-1}(x)$.
4. d) Comprueba que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Un dron de vigilancia forestal analiza el terreno siguiendo una trayectoria cuya altura respecto al suelo viene dada por la función $h(x) = \sqrt{2x + 8}$, donde $x$ es la distancia horizontal desde la base de operaciones en kilómetros y $h(x)$ es la altura en hectómetros.

1. a) Determina el dominio de definición de la función en este contexto.
2. b) Calcula la tasa de variación media (TVM) de la altura en el intervalo $[0, 4]$.
3. c) ¿A qué distancia de la base el dron alcanza una altura de $4$ hectómetros?

Representa gráficamente la función $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Para ello, sigue estos pasos:

1. a) Representa la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ hallando su vértice y puntos de corte con el eje $OX$.
2. b) Aplica la definición de valor absoluto para expresar $f(x)$ como una función definida a trozos.
3. c) Indica los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

En un laboratorio de química, la concentración de un reactivo en una solución (en mg/L) en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función de proporcionalidad inversa:

$$C(t) = \dfrac{40}{t + 2}$$

1. a) ¿Cuál es la concentración en el instante inicial $t=0$?
2. b) Representa la función para valores de $t \ge 0$.
3. c) ¿Es posible que la concentración llegue a ser de $0$ mg/L? Justifica tu respuesta analizando la asíntota horizontal de la función.
4. d) ¿En qué momento la concentración es de exactamente $5$ mg/L?

Calcula el dominio de las siguientes funciones y clasifica sus posibles puntos de discontinuidad:

1. a) $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$
2. b) $h(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

Una plataforma de venta online de videojuegos ofrece un descuento que depende del gasto total $x$ realizado. La función que describe el importe final a pagar $G(x)$ tras aplicar el descuento es:

$$G(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 30 \\ 0,8x + 6 & \text{si } x \ge 30 \end{cases}$$

1. a) Estudia si la función es continua en $x = 30$. ¿Qué significa este resultado para el comprador?
2. b) Representa la función gráficamente.
3. c) Si un usuario ha pagado $54$ €, ¿cuál era el precio original de su compra antes del descuento?

Un taller de impresión 3D ha determinado que el coste de producción mensual (en miles de euros) viene dado por la función $C(x)$, donde $x$ representa el número de lotes producidos. Por razones logísticas, la estructura de costes cambia al superar los 10 lotes:

$$C(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 20 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ \sqrt{bx + 100} + 40 & \text{si } x > 10 \end{cases}$$

Se pide:

1. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función de costes sea continua en todo su dominio, sabiendo que si no se produce nada el coste es de 20.000 € y que si se producen 10 lotes el coste es de 120.000 €.

2. Una vez hallados $a$ y $b$, analiza si existe algún nivel de producción en el segundo tramo para el cual el coste se estabilice en un valor fijo.

Estudia analíticamente el dominio de definición de la siguiente función que combina radicales y fracciones algebraicas:

$$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 4}}$$

Para ello, deberás resolver la inecuación racional resultante y expresar el dominio final utilizando la notación de intervalos. Justifica si los extremos de los intervalos deben estar incluidos o excluidos basándote en la definición de la función.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 3}$:

1. Halla su función inversa $f^{-1}(x)$.

2. Demuestra analíticamente que la composición $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

3. Representa ambas funciones en el mismo plano cartesiano y dibuja la recta de simetría $y = x$. Indica las coordenadas de los puntos donde la función y su inversa coinciden (puntos invariantes).

Una aplicación de gestión de carteras de inversión utiliza una función para modelar el riesgo en función del tiempo de exposición $t$ (en meses). La función de riesgo acumulado es:

$$R(t) = |t^2 - 6t + 5|$$

Se solicita:

1. Expresa la función $R(t)$ como una función definida a trozos sin usar valores absolutos.

2. Esboza su gráfica e identifica los momentos en los que el riesgo es nulo.

3. Determina el intervalo de tiempo, dentro de los primeros 6 meses, en el que el riesgo es estrictamente creciente.

Halla la expresión analítica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$. Para ello:

1. Divide la recta real en los intervalos definidos por las raíces de los argumentos de los valores absolutos.

2. Redacta la función resultante como una función definida a trozos.

3. Represéntala gráficamente. ¿Qué nombre recibe este tipo de gráfica en el ámbito de las matemáticas? ¿Cuál es su valor mínimo absoluto?

En un estudio de mercado, se han analizado los precios de un producto en tres momentos distintos:

• En el mes 1, el precio era de 10 €.

• En el mes 3, el precio subió a 18 €.

• En el mes 5, el precio se situó en 22 €.

Se pide:

1. Utiliza la interpolación cuadrática (método de Newton o sistema de ecuaciones) para hallar la función $P(t)$ que mejor se ajusta a estos datos.

2. Estima mediante extrapolación el precio esperado para el mes 7.

3. Discute si este modelo es razonable a largo plazo analizando el vértice de la parábola obtenida.

Las funciones de oferta ($O$) y demanda ($D$) de un modelo de auriculares inalámbricos vienen dadas por las siguientes expresiones, donde $p$ es el precio en euros:

$$O(p) = \frac{1}{2}p - 10$$ $$D(p) = \frac{800}{p}$$

1. Determina el punto de equilibrio del mercado (precio y cantidad de unidades).

2. Si el gobierno impone un precio máximo de 30 €, ¿se producirá un exceso de oferta o un exceso de demanda? Calcula dicha diferencia.

3. Representa gráficamente ambas funciones en el primer cuadrante identificando las asíntotas de la función de demanda.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x + 1}$, se pide:

1. Hallar su función inversa $f^{-1}(x)$, especificando claramente el dominio y el recorrido de ambas.

2. Considera ahora una nueva función $g(x) = f(x - 3) + 2$. Explica detalladamente qué transformaciones geométricas (traslaciones horizontales y verticales) se han aplicado a la función raíz original para obtener $g(x)$.

3. Escribe la expresión analítica de $g(x)$ y calcula su punto de corte con el eje de ordenadas, si existe.