Ejercicios: Estadística descriptiva unidimensional

En un estudio sobre el uso de redes sociales en un instituto, se han identificado las siguientes variables. Clasifica cada una de ellas como cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua:

1. a) Red social favorita (TikTok, Instagram, Twitter, etc.).
2. b) Número de seguidores en la cuenta principal.
3. c) Tiempo diario (en minutos) de uso del teléfono móvil.
4. d) Marca del dispositivo móvil (Apple, Samsung, Xiaomi, etc.).
5. e) Calificación numérica obtenida en el último examen de Matemáticas.

Un ayuntamiento quiere conocer la opinión de los adolescentes sobre las nuevas pistas de skate de la ciudad. Para ello, selecciona al azar a $200$ jóvenes de entre $14$ y $18$ años que acuden a los centros juveniles de los distintos barrios.

Indica cuál es la población objeto de estudio y cuál es la muestra elegida. ¿Crees que la muestra es representativa si solo se pregunta en los centros juveniles?

Se ha preguntado a un grupo de $20$ estudiantes de 1º de Bachillerato cuántos libros han leído por placer durante el último año. Los datos obtenidos son los siguientes:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5$

Organiza estos datos en una tabla de frecuencias que incluya la frecuencia absoluta ($n_i$), la frecuencia relativa ($f_i$) y la frecuencia absoluta acumulada ($N_i$).

Observa el siguiente gráfico que representa el deporte preferido de un grupo de alumnos de tu curso:

A partir del diagrama de barras:

1. a) ¿Cuál es la moda de esta distribución?
2. b) ¿Cuántos alumnos prefieren el baloncesto o la natación en total?
3. c) Si en total se encuestó a $30$ alumnos, ¿cuántos eligieron la natación (sabiendo que la barra llega a la mitad entre 4 y 8)?

Las notas obtenidas por $7$ amigos en un trabajo de Economía son:

$6,5; \quad 8,0; \quad 4,5; \quad 7,0; \quad 9,5; \quad 6,5; \quad 5,0$

Calcula la media aritmética ($\bar{x}$) y la mediana ($Me$) de las calificaciones.

En una competición de videojuegos, se han registrado los tiempos (en segundos) que tardan los participantes en completar el primer nivel. Al ser una variable continua, los datos se han agrupado en intervalos:

Tiempo (s)	Frecuencia ($n_i$)
$[30, 40)$	$12$
$[40, 50)$	$25$
$[50, 60)$	$18$
$[60, 70)$	$5$

Calcula las marcas de clase ($x_i$) de cada intervalo y determina el tamaño total de la muestra ($N$).

Se ha realizado una encuesta sobre el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. La tabla de frecuencias absolutas acumuladas ($N_i$) es la siguiente:

Nº Hermanos ($x_i$)	$N_i$
$0$	$6$
$1$	$18$
$2$	$26$
$3$	$30$

Responde a las siguientes preguntas razonando tu respuesta:

1. a) ¿Cuántos alumnos son hijos únicos?
2. b) ¿Cuántos alumnos tienen exactamente $2$ hermanos?
3. c) ¿Cuál es el número total de alumnos en la clase?

Un grupo de música quiere saber en qué formato prefieren escuchar sus canciones sus seguidores. Han elaborado un diagrama de sectores con los resultados de $400$ encuestas:

Si el $10 \%$ de los seguidores prefiere el formato físico, el $30 \%$ la descarga digital y el $60 \%$ el streaming:

1. a) Calcula la frecuencia absoluta de seguidores que prefieren cada formato (sabiendo que $N=400$).
2. b) ¿Cuál es la frecuencia relativa ($f_i$) del formato streaming?

La figura muestra el histograma de las notas de un examen de matemáticas puntuado sobre $50$.

1. a) ¿Cuántos alumnos sacaron menos de $20$ puntos?

1. b) ¿Cuál es el intervalo con más alumnos?

1. c) ¿Cuántos alumnos hicieron el examen en total?

La figura muestra las horas de sueño declaradas por los alumnos de una clase.

1. a) Construye la tabla de frecuencias absolutas a partir del gráfico.

1. b) ¿Qué porcentaje de alumnos duerme $8$ horas o más?

1. c) ¿Cuál es la moda de la distribución?

Un grupo de investigadores ha realizado una encuesta a 40 estudiantes de Bachillerato sobre el número de horas semanales que dedican a ver contenido en plataformas de streaming. Los datos recogidos son los siguientes:

$12, 15, 10, 8, 12, 14, 20, 18, 15, 12, 10, 9, 14, 15, 12, 18, 22, 15, 12, 10,$

$14, 16, 12, 15, 18, 12, 10, 14, 15, 12, 16, 14, 12, 15, 10, 18, 12, 14, 15, 12$

1. a) Clasifica la variable estadística estudiada.
2. b) Elabora una tabla de frecuencias que incluya frecuencias absolutas, relativas, acumuladas y relativas acumuladas.
3. c) Representa los datos mediante un diagrama de barras.

Una empresa de telefonía ha medido la duración (en minutos) de 50 llamadas realizadas durante la mañana. Al ser una variable continua, se han agrupado los datos en los siguientes intervalos:

Duración (min)	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$
N.º de llamadas	$12$	$18$	$10$	$7$	$3$

1. a) Calcula la marca de clase de cada intervalo.
2. b) Calcula la media aritmética y la desviación típica de la duración de las llamadas.
3. c) ¿Qué porcentaje de llamadas duran 10 minutos o más?

Se ha realizado un examen de acceso a un ciclo formativo y las notas obtenidas por los aspirantes se resumen en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas:

Nota ($x_i$)	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Frec. Acumulada ($N_i$)	$4$	$10$	$25$	$42$	$56$	$64$	$70$

1. a) ¿Cuántos alumnos realizaron el examen?
2. b) Calcula la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Explica el significado del tercer cuartil en este contexto.
3. c) Calcula el percentil 40 ($P_{40}$) e interprétalo.

Dos jugadores de baloncesto, Alba y Bruno, han anotado las siguientes cantidades de puntos en sus últimos 8 partidos:

• Alba: $18, 22, 15, 20, 25, 14, 19, 23$

• Bruno: $20, 21, 19, 22, 20, 20, 21, 17$

1. a) Calcula la media y el rango de puntos de cada jugador.
2. b) Calcula la desviación típica de ambos.
3. c) Utiliza el coeficiente de variación para determinar cuál de los dos jugadores es más regular en sus anotaciones. Justifica tu respuesta.

A partir del siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa el tiempo de reacción (en milisegundos) de un grupo de personas ante un estímulo visual:

1. a) Identifica los valores correspondientes al mínimo, máximo, $Q_1$, $Q_2$ (mediana) y $Q_3$, sabiendo que la escala es lineal y los extremos de la caja están en $210$ y $290$.
2. b) Calcula el rango intercuartílico e interprétalo.
3. c) ¿Se puede afirmar que el $50\%$ de la población tiene un tiempo de reacción superior a la mediana? Justifica la respuesta.

En una pequeña empresa, el sueldo medio de los 10 empleados es de $1450$ € mensuales con una desviación típica de $120$ €. Debido a los buenos resultados del año, la dirección decide aplicar un aumento lineal a todos los trabajadores consistente en una parte fija de $50$ € y una parte variable del $3\%$ sobre el sueldo base actual ($y_i = 1,03 \cdot x_i + 50$).

1. a) Calcula cuál será el nuevo sueldo medio de la plantilla.
2. b) Calcula la nueva desviación típica.
3. c) ¿Ha variado el coeficiente de variación? Justifica matemáticamente cómo afectan estas transformaciones a la dispersión relativa.

Se ha realizado un estudio sobre el número de hijos en una muestra de familias de un barrio. Algunos datos de la tabla de frecuencias se han perdido:

N.º de hijos ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Frec. absoluta ($n_i$)	$8$	$a$	$12$	$b$	$2$
Frec. relativa ($f_i$)	$0,20$	$0,35$	$c$	$d$	$0,05$

1. a) Halla el tamaño de la muestra ($N$).
2. b) Calcula los valores de $a, b, c$ y $d$ para completar la tabla.
3. c) Determina la moda y la mediana del número de hijos.

Se quiere comparar la homogeneidad de los precios de los menús diarios en dos zonas distintas de una ciudad. Los datos obtenidos (en euros) son:

• Zona A: $12, 13, 12, 15, 14, 12, 16, 11$

• Zona B: $9, 10, 18, 15, 11, 14, 10, 21$

1. a) Calcula la media y la desviación típica de los precios en cada zona.
2. b) ¿En qué zona los precios están más dispersos en términos absolutos (desviación típica)?
3. c) ¿En qué zona son los precios más heterogéneos en términos relativos? Utiliza el coeficiente de variación para comparar ambas distribuciones.

Las edades de los socios de un club de senderismo se agrupan en la tabla: $[10, 20)$: $5$; $[20, 30)$: $12$; $[30, 40)$: $18$; $[40, 50)$: $10$; $[50, 60]$: $5$.

1. a) Construye la tabla completa con marcas de clase y frecuencias acumuladas.

1. b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias.

1. c) Calcula la edad media usando las marcas de clase e indica el intervalo modal y el intervalo donde cae la mediana.

La figura muestra el diagrama de caja y bigotes de los tiempos de reacción de un grupo de pilotos de simulador.

1. a) Lee en el gráfico el mínimo, el máximo, los cuartiles y la mediana, y calcula el rango y el rango intercuartílico.

1. b) ¿Entre qué dos valores se concentra el $50 \%$ central de los datos? ¿Qué porcentaje de datos hay por debajo de $Q_1$?

1. c) A la vista de la posición de la mediana dentro de la caja y de la longitud de los bigotes, ¿la distribución parece simétrica o asimétrica? ¿Hacia dónde?

El consumo eléctrico mensual (en kWh) de $40$ viviendas se agrupa así: $[100, 150)$: $4$; $[150, 200)$: $9$; $[200, 250)$: $14$; $[250, 300)$: $8$; $[300, 350]$: $5$.

1. a) Calcula el consumo medio mensual usando las marcas de clase.

1. b) Indica el intervalo modal y el intervalo mediano, y estima la mediana suponiendo que los datos se reparten uniformemente dentro de su intervalo.

1. c) La compañía eléctrica afirma que «la mitad de las viviendas consume menos de $225$ kWh». ¿Es compatible con los datos? Justifícalo con tu estimación de la mediana.

En una prestigiosa academia de e-sports, el equipo de analistas estudia el tiempo de reacción (en milisegundos) de 50 jugadores profesionales. Al revisar el informe final, se dan cuenta de que una mancha de café ha borrado parte de los registros de la tabla de frecuencias. Solo se conservan los siguientes datos: la media aritmética de la distribución es $\bar{x} = 182$ ms, la desviación típica es $\sigma = 12$ ms y se sabe que el tiempo de reacción sigue una distribución aproximadamente simétrica. Si se decide añadir un nuevo jugador cuyo tiempo de reacción es de $160$ ms, razona matemáticamente cómo variará el coeficiente de variación de la muestra original y determina el valor exacto de la nueva varianza tras la incorporación de este dato.

Un servicio de alquiler de bicicletas urbanas revisa sus costes. El coste de mantenimiento mensual $C$ por bicicleta depende del número de kilómetros recorridos $x$ según la función lineal $C(x) = 0,15x + 40$. En el último mes, el kilometraje medio de su flota de 25 bicicletas fue de $1200$ km con una varianza de $14400$ km$^2$.

1. a) Calcula el coste medio mensual de mantenimiento y su desviación típica.
2. b) Debido a una subida en el precio de los recambios, la empresa decide aplicar un recargo fijo de $10$ € extra a cada bicicleta y, además, el coste variable por kilómetro aumenta un $20\%$. ¿Cuál será el nuevo coeficiente de variación de los costes de mantenimiento?

Se ha realizado un estudio sobre el gasto semanal en ocio de los estudiantes de un instituto. Los datos se presentan agrupados en intervalos de la misma amplitud en la siguiente tabla, pero faltan las frecuencias absolutas de dos intervalos medios ($n_2$ y $n_3$):

Gasto (€)	$x_i$ (Marca de clase)	$n_i$
$[0, 20)$	$10$	$8$
$[20, 40)$	$30$	$n_2$
$[40, 60)$	$50$	$n_3$
$[60, 80)$	$70$	$12$

Sabiendo que el tamaño de la muestra es $N = 60$ y que la media aritmética del gasto es $\bar{x} = 44$ €, calcula los valores de $n_2$ y $n_3$. Una vez completada la tabla, determina el valor exacto de la mediana mediante interpolación lineal.

Un nutricionista analiza el contenido de azúcar (en gramos por cada 100 ml) de dos marcas de refrescos "zero", A y B. Los resultados se resumen en los siguientes diagramas de caja (Box-plot). Observando los gráficos:

1. a) ¿Cuál de las dos marcas presenta una distribución más dispersa en el $50\%$ central de sus datos? Justifica tu respuesta calculando el rango intercuartílico visualmente.
2. b) Si la marca A presenta una media de $0,5$ g y la marca B una media de $0,8$ g, y ambas tienen desviaciones típicas idénticas, ¿cuál de las dos es más "fiable" o constante en su producción? Utiliza el parámetro estadístico adecuado para comparar ambas marcas.

En una competición de tiro con arco, se registran las puntuaciones de dos arqueras, Elena y Sofía, tras 40 lanzamientos. Elena tiene una puntuación media de $8,2$ con una desviación típica de $1,1$. Sofía presenta las siguientes frecuencias acumuladas de sus puntuaciones: el $25\%$ de sus tiros fueron de $7$ puntos o menos, el $50\%$ de $8$ puntos o menos, y el $75\%$ de $9$ puntos o menos.

1. a) Determina razonadamente cuál de las dos arqueras es más regular.
2. b) Si para ganar un torneo se requiere que al menos el $30\%$ de los lanzamientos sean de puntuación $10$, y sabemos que Elena ha obtenido un $10$ en $12$ ocasiones, ¿cumple Elena el requisito? ¿Se puede saber si Sofía lo cumple con los datos de sus cuartiles?

Un ayuntamiento analiza el consumo de agua por hogar mediante un histograma de frecuencias relativas. Debido a la naturaleza de los datos, los intervalos tienen amplitudes diferentes: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 40)$ y $[40, 70)$ metros cúbicos mensuales. Las alturas de los rectángulos del histograma (densidad de frecuencia) son $0,03$; $0,04$; $0,015$ y $0,0033$ respectivamente.

1. a) Calcula la frecuencia relativa de cada intervalo.
2. b) ¿Cuál es el consumo medio por hogar en este municipio?
3. c) Determina el valor del percentil $80$ e interpreta su significado en el contexto del ahorro de agua.

Un inversor analiza la rentabilidad diaria de dos criptoactivos durante un mes ($30$ días). El activo $X$ tiene una media de rentabilidad del $2\%$ y una varianza del $9\%$. El activo $Y$ tiene una rentabilidad diaria que se puede resumir así: $10$ días perdió un $1\%$, $15$ días ganó un $3\%$ y $5$ días ganó un $5\%$.

1. a) Calcula la rentabilidad media y la desviación típica del activo $Y$.
2. b) Utilizando el coeficiente de variación, determina cuál de los dos activos es más volátil (menos predecible).
3. c) Si el inversor decide crear una cartera combinada con el $60\%$ del capital en el activo $X$ y el $40\%$ en el activo $Y$, ¿cuál sería la rentabilidad media esperada de la cartera?

Se dispone de una serie de 10 datos numéricos cuya media es $\bar{x} = 15$ y cuya varianza es $s^2 = 20$. Por un error de transcripción, uno de los datos que era un $12$ se anotó como un $22$.

1. a) Calcula la media real del conjunto de datos tras corregir el error.
2. b) Calcula el valor exacto de la varianza real del conjunto. (Pista: Utiliza la relación entre la varianza y la suma de los cuadrados de los datos, $\sum x_i^2$).

Una cadena de tiendas quiere presumir de ventas y elabora dos gráficos con los mismos datos trimestrales: en el panel A el eje vertical empieza en $0$ y en el panel B está truncado.

1. a) Calcula la variación porcentual real de las ventas entre el primer y el tercer trimestre.

1. b) ¿Qué efecto visual produce el eje truncado del panel B? ¿En qué se diferencia de la impresión que da el panel A?

1. c) ¿Cuál de los dos gráficos usarías en un informe honesto para los accionistas? ¿Y qué versión podría usar un competidor para alarmar al mercado? Justifica ambas respuestas.

Los tiempos de espera (en minutos) de $15$ pacientes en un centro de salud han sido: $5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 42$.

1. a) Calcula la mediana y los cuartiles primero y tercero.

1. b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes correspondiente, indicando los valores usados.

1. c) Aplica la regla de los $1,5$ veces el rango intercuartílico para decidir si hay datos atípicos, e interpreta qué puede representar ese dato en la realidad del centro de salud.

Dos tiendas del mismo barrio registran sus ventas diarias (en euros) durante $40$ días, agrupadas en intervalos:

• Tienda A: $[500, 700)$: $6$ días; $[700, 900)$: $14$ días; $[900, 1.100)$: $12$ días; $[1.100, 1.300)$: $8$ días.

• Tienda B: $[500, 700)$: $14$ días; $[700, 900)$: $4$ días; $[900, 1.100)$: $4$ días; $[1.100, 1.300)$: $18$ días.

1. a) Calcula, usando las marcas de clase, la media diaria de ventas de cada tienda.

1. b) Calcula la desviación típica de cada distribución (con marcas de clase) y su coeficiente de variación.

1. c) Un inversor quiere comprar una de las dos tiendas y le preocupa la estabilidad de los ingresos. ¿Cuál le recomendarías? Justifícalo con los parámetros calculados.