Ejercicios: Parámetros y recta de regresión

Una nutricionista estudia la relación entre los gramos de azúcar ($X$) y las kilocalorías ($Y$) de cinco tipos de barritas energéticas. Ha obtenido los siguientes parámetros marginales:

• Media de azúcar: $\bar{x} = 12$ g

• Media de energía: $\bar{y} = 210$ kcal

• Desviaciones típicas: $\sigma_x = 3$ g y $\sigma_y = 25$ kcal

• Covarianza: $\sigma_{xy} = 60$

Calcula el coeficiente de correlación lineal ($r$) e interpreta si existe una relación fuerte entre ambas variables.

En un estudio sobre el rendimiento físico, se mide el número de pulsaciones en reposo ($X$) y el tiempo en segundos que se tarda en recuperar el ritmo normal tras un esfuerzo ($Y$). Se sabe que la suma de los productos de las variables es $\sum x_i y_i = 15200$, el número de individuos es $n = 10$, y las medias son $\bar{x} = 70$ y $\bar{y} = 20$.

Utiliza la fórmula simplificada $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x} \bar{y}$ para calcular la covarianza. ¿Qué indica el signo del resultado sobre la relación entre las pulsaciones y el tiempo de recuperación?

Si el coeficiente de determinación de una distribución bidimensional es $R^2 = 0,81$, calcula el valor del coeficiente de correlación $r$ (suponiendo que la relación es directa) y explica qué porcentaje de la variación de la variable $Y$ queda explicada por la variable $X$.

El "centro de gravedad" de una distribución bidimensional es el punto formado por las medias de ambas variables, denotado como $(\bar{x}, \bar{y})$. Un grupo de amigos ha anotado el tiempo que pasan en redes sociales al día ($X$, en minutos) y las horas que duermen cada noche ($Y$, en horas):

$(45, 9), (60, 8,5), (90, 8), (120, 7), (150, 6,5)$

Calcula las coordenadas del centro de gravedad de esta distribución.

Observa la siguiente nube de puntos que representa la relación entre la inversión en publicidad de 8 pequeñas empresas y sus beneficios mensuales (ambos en miles de euros).

1. a) Justifica, sin realizar cálculos, si el signo de la covarianza será positivo o negativo.
2. b) Elige razonadamente cuál de los siguientes valores podría ser el coeficiente de correlación de Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
3. c) ¿Qué ocurriría con el valor de $r$ si decidiéramos expresar los datos en euros en lugar de en miles de euros?

Una filmoteca online quiere comprobar si existe relación entre el número de entregas de una saga cinematográfica ($X$) y la valoración media de los espectadores (sobre 10 puntos, $Y$). Se dispone de los siguientes parámetros tras analizar 50 sagas:

$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$

1. a) Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.
2. b) Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema: ¿tienden las sagas más largas a tener mejores o peores valoraciones?

En un entrenamiento de baloncesto, se registra la distancia a canasta en metros ($X$) y el número de canastas encestadas de cada 10 intentos ($Y$) para un grupo de jugadores. Los datos resumen son:

$\bar{x} = 4,5 \text{ m} \quad \sigma_x = 1,2 \text{ m}$

$\bar{y} = 6 \text{ aciertos} \quad \sigma_y = 1,8 \text{ aciertos}$

$\sigma_{xy} = -1,944$

1. a) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson e interpreta su fuerza y sentido.
2. b) Calcula el coeficiente de determinación $r^2$ y explica qué porcentaje de la variación de los aciertos queda explicado por la distancia a la canasta.

Se ha estudiado la relación entre el gasto semanal en alimentación de una familia ($X$) y sus ingresos semanales ($Y$), ambos en euros. Se han obtenido los siguientes datos:

$\bar{x} = 180, \quad \sigma_x^2 = 900, \quad \bar{y} = 600, \quad \sigma_y^2 = 2500, \quad \sigma_{xy} = 1200$

1. a) Halla la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
2. b) Si una familia gasta 250 € en alimentación, ¿cuáles serían sus ingresos estimados según el modelo?
3. c) ¿Es fiable esta predicción? Justifica tu respuesta calculando el coeficiente de correlación.

Un agricultor observa que la producción de su cosecha de naranjas depende de las horas de sol recibidas durante la etapa de maduración. Las rectas de regresión obtenidas de datos históricos son:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 4$

1. a) Determina el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson a partir de las pendientes de las dos rectas de regresión.

Se analiza la relación entre el precio de un billete de avión ($X$) y la antelación con la que se compra en días ($Y$). Se sabe que la correlación es $r = -0,82$.

Si las desviaciones típicas son $\sigma_x = 45 \text{ €}$ y $\sigma_y = 12 \text{ días}$, y las medias son $\bar{x} = 150 \text{ €}$ y $\bar{y} = 25 \text{ días}$:

1. a) Calcula la covarianza de la distribución.
2. b) Calcula la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ para estimar el precio del billete en función de los días de antelación.
3. c) ¿Qué precio se estimaría para un billete comprado con 40 días de antelación?

Se ha realizado una encuesta sobre el número de hijos ($X$) y el número de dormitorios de la vivienda ($Y$) en un bloque de pisos. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de frecuencias conjuntas (tabla de doble entrada):

1. Obtén las distribuciones marginales de $X$ e $Y$.

2. Calcula la media marginal de hijos ($\bar{x}$) y la media marginal de dormitorios ($\bar{y}$).

3. ¿Existe dependencia entre ambas variables? Razona tu respuesta observando las frecuencias de la tabla.

Las dos rectas de regresión de una variable bidimensional son:

• Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12,4$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,72y + 5,1$

Sabiendo que la varianza de la variable $X$ es $s_x^2 = 16$, calcula:

1. El coeficiente de correlación de Pearson $r$.

2. La covarianza $s_{xy}$ de la distribución.

3. Las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.

Una aplicación de música en streaming analiza la relación entre la edad de sus usuarios ($X$) y el número de artistas diferentes que escuchan al mes ($Y$). Se conocen los siguientes sumatorios para una muestra de $n = 10$ usuarios:

1. Calcula el coeficiente de correlación de Pearson.

2. Determina el coeficiente de determinación $R^2$ e interpreta su significado: ¿qué porcentaje de la variación del número de artistas escuchados queda explicado por la edad del usuario?

En un estudio sobre el mercado inmobiliario en una ciudad costera, se han obtenido las ecuaciones de las dos rectas de regresión que relacionan el precio de venta de los apartamentos, $Y$ (en cientos de miles de euros), con su superficie, $X$ (en metros cuadrados):

• Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,012x + 0,5$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 65y - 20$

Determina razonadamente:

1. a) El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, e interpreta su signo y su fuerza.
3. c) Si un apartamento tiene una superficie de $120$ $m^2$, ¿cuál sería su precio estimado? ¿Es esta estimación fiable? Justifica tu respuesta utilizando el coeficiente de determinación.

En una academia de idiomas se ha observado la relación entre las horas semanales de estudio personal ($X$) y la puntuación en el examen final ($Y$) de un grupo de alumnos. La tabla de frecuencias conjuntas es la siguiente, donde se han perdido tres valores ($a, b, c$):

1. a) Calcula los valores de $a, b$ y $c$.
2. b) Determina la distribución marginal de la variable $Y$ y calcula su media y su varianza.
3. c) Calcula la media de la puntuación en el examen ($Y$) condicionada a que los alumnos estudian $5$ horas semanales ($X=5$).

Un sociólogo estudia la relación entre la edad de emancipación de los jóvenes ($X$) y el nivel de renta per cápita de su región ($Y$). Al representar la nube de puntos, observa que el centro de gravedad es $G(28, 1400)$. Una de las rectas de regresión es $y = -50x + 2800$. Sabiendo que la varianza de la edad es $s_x^2 = 9$ y la varianza de la renta es $s_y^2 = 360.000$:

1. a) Calcula la covarianza $s_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal.
2. b) Obtén la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
3. c) Determina el ángulo que forman ambas rectas de regresión. ¿Qué relación tiene este ángulo con la intensidad de la correlación?

Dos variables $X$ e $Y$ tienen desviaciones típicas marginales $s_x = 4$ y $s_y = 6$. Se sabe que las dos rectas de regresión son perpendiculares entre sí.

1. a) ¿Cuál es el valor de la covarianza $s_{xy}$ y del coeficiente de correlación $r$?
2. b) ¿Qué implica este resultado para la capacidad predictiva del modelo lineal?
3. c) Si añadiéramos un nuevo punto $(x, y)$ a la distribución que coincidiera exactamente con el centro de gravedad, ¿cambiaría el valor del coeficiente de correlación? Razona la respuesta.

Dada una distribución bidimensional, se ha comprobado que las desviaciones típicas de ambas variables son iguales ($s_x = s_y$).

1. a) Demuestra algebraicamente que, en este caso, el coeficiente de correlación lineal coincide con la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
2. b) Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,6x + 2$, ¿cuál es el coeficiente de determinación?
3. c) ¿Cuál sería la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ en estas condiciones?

Dadas las rectas de regresión $y = -2x + 10$ y $x = -0,4y + 4$, razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, demostrándolo mediante el cálculo de los parámetros correspondientes:

1. a) La correlación entre las variables es positiva porque ambas pendientes tienen el mismo signo.
2. b) El centro de gravedad de la distribución es el punto $(3, 4)$.
3. c) Las variables tienen una dependencia funcional perfecta.
4. d) La varianza de $Y$ es mayor que la varianza de $X$.

Las estaturas de una muestra de parejas (hombre, mujer) se han organizado en la siguiente tabla de doble entrada (datos en cm):

Utilizando las marcas de clase:

1. a) Calcula la covarianza de la distribución.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson.
3. c) ¿Existe una relación fuerte entre las estaturas de los miembros de la pareja en esta muestra?

Se ha realizado un examen de recuperación de Matemáticas. Se observa que la relación entre las notas del primer examen ($X$) y las del segundo ($Y$) sigue una tendencia lineal. Se sabe que:

• $\bar{x} = 4$; $\bar{y} = 6$

• Las dos rectas de regresión se cortan formando un ángulo muy pequeño, y se ha calculado que el producto de sus pendientes es $0,81$.

• Ambas pendientes son positivas.

1. a) Halla el coeficiente de correlación de Pearson e indica qué porcentaje de la nota del segundo examen se explica por la nota del primero.
2. b) Si la desviación típica de $X$ es la mitad que la de $Y$, obtén la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
3. c) Si un alumno sacó un $2$ en el primer examen, ¿qué nota se le estima para el segundo?

En un estudio sobre el rendimiento de los patinetes eléctricos se analiza la temperatura ambiente ($X$, en $^\circ C$) y la autonomía real conseguida ($Y$, en km). Se conocen los siguientes datos:

• La varianza de la temperatura es $s_x^2 = 16$.

• La recta de regresión de la autonomía sobre la temperatura es $y = -0,85x + 42$.

• El coeficiente de determinación es $R^2 = 0,7225$.

Calcula:

1. a) La covarianza entre la temperatura y la autonomía.
2. b) La desviación típica de la autonomía, $s_y$.
3. c) ¿Qué ocurriría con el coeficiente de correlación si decidiéramos medir la temperatura en grados Fahrenheit utilizando la transformación $F = 1,8X + 32$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de la correlación.

Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de agilidad mental ($Y$). La covarianza es $12,5$. Al duplicar el número de libros leídos de todos los encuestados y sumar 5 puntos a todos en el test de agilidad mental, se pide:

1. a) Razona qué ocurre con la nueva covarianza $\sigma'_{xy}$.
2. b) Si el coeficiente de correlación original era $r = 0,75$, ¿cuál será el nuevo coeficiente $r'$ tras los cambios? Justifica tu respuesta analíticamente.
3. c) ¿Cambiará la fiabilidad de las predicciones tras estas modificaciones de los datos?