Ejercicios: Nubes de puntos y correlación

Observa los siguientes diagramas de dispersión representados a continuación. Identifica en cada caso si la correlación es positiva, negativa o nula.

Asocia cada una de las siguientes parejas de variables con el tipo de nube de puntos que esperarías obtener (creciente, decreciente o sin forma definida):

1. a) El número de kilómetros recorridos por un coche y el combustible que queda en su depósito.
2. b) La estatura de un grupo de adolescentes y su nota en el examen de Lengua.
3. c) Las horas de entrenamiento de un atleta y su marca personal en una carrera de 100 metros lisos.
4. d) La temperatura exterior en verano y el consumo de energía de los aparatos de aire acondicionado.

Una aplicación de música ha analizado los datos de 8 usuarios para ver la relación entre su edad ($X$, en años) y el número de canciones distintas que escuchan al mes ($Y$). La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

A la vista de la gráfica, ¿podemos decir que la correlación es fuerte o débil? Justifica si el número de canciones escuchadas tiende a aumentar o a disminuir conforme aumenta la edad según esta muestra.

Explica razonadamente por qué los siguientes datos no podrían representarse correctamente mediante una nube de puntos en el contexto de la estadística bidimensional:

Alumno	Color de ojos	Deporte favorito
Marta	Azul	Baloncesto
Jorge	Marrón	Fútbol
Elena	Verde	Tenis

Se ha medido el peso ($X$) y la altura ($Y$) de los jugadores de un equipo de baloncesto. La nube de puntos muestra una forma muy alargada y estrecha que sigue una dirección ascendente.

¿Qué nos indica que la nube sea "estrecha" respecto a la intensidad de la correlación? ¿Cómo llamaríamos a la relación entre el peso y la altura en este caso (directa o inversa)?

Se sospecha que existe una relación entre el número de faltas de asistencia a clase ($X$) y la nota final del trimestre ($Y$). Se han representado los datos de una clase en el siguiente diagrama:

En el gráfico aparece un punto de color blanco suave con el borde naranja que se separa claramente de la tendencia general del grupo. ¿Cómo se denomina a este tipo de puntos en estadística y qué podría significar en este contexto real?

Indica si las siguientes afirmaciones sobre las nubes de puntos son verdaderas o falsas:

1. a) Si todos los puntos de la nube están exactamente sobre una línea recta creciente, la correlación es perfecta y positiva ($r = 1$).
2. b) Una nube de puntos con forma circular indica una correlación muy fuerte.
3. c) En una nube de puntos, la variable independiente se representa siempre en el eje de ordenadas ($Y$).
4. d) El diagrama de dispersión permite visualizar rápidamente si existe alguna relación entre dos variables numéricas.

Comparamos dos nubes de puntos representadas en los siguientes gráficos. Ambas muestran una relación directa entre las variables.

1. a) ¿En cuál de los dos gráficos los puntos están más próximos a una posible recta de regresión?
2. b) ¿Cuál de los dos tendrá un coeficiente de correlación $r$ más cercano a $1$?
3. c) Si en el gráfico A el valor de $r$ es $0,98$, ¿qué valor razonable (entre $0$ y $1$) podrías asignar al gráfico B?

El coeficiente de correlación de Pearson, $r$, es una medida adimensional que oscila en un rango determinado. De los siguientes valores, indica cuáles no son posibles para un coeficiente de correlación y explica por qué:

1. a) $r = 0,85$
2. b) $r = -1,2$
3. c) $r = 2,5$
4. d) $r = -0,4$
5. e) $r = 0$

La covarianza $\sigma_{xy}$ nos informa sobre el sentido de la variación conjunta de dos variables. Sin realizar todos los cálculos complejos, observa los siguientes datos que relacionan la temperatura de un refresco ($X$, en $^\circ C$) y el tiempo que lleva fuera de la nevera ($Y$, en minutos):

Tiempo ($Y$)	5	10	15	20	25
Temperatura ($X$)	6	9	13	18	22

1. a) ¿A medida que aumenta el tiempo, la temperatura tiende a aumentar o a disminuir?
2. b) Justifica, según tu respuesta anterior, si la covarianza será positiva, negativa o nula.

Observa el siguiente diagrama de dispersión que representa la relación entre las horas de entrenamiento semanal ($X$) y los puntos anotados en una temporada por un grupo de jugadores de baloncesto ($Y$).

Basándote en la forma de la nube de puntos, responde:

1. a) ¿Es una relación directa o inversa?
2. b) ¿Cómo calificarías la fuerza de la correlación: fuerte o débil?
3. c) ¿Qué signo esperas que tenga la covarianza $\sigma_{xy}$ para estos datos?

La dirección de la relación entre dos variables nos indica cómo varía una cuando cambia la otra. Determina si existe una correlación positiva, correlación negativa o si las variables están incorrelacionadas en los siguientes casos:

1. a) El número de faltas de asistencia a clase y la calificación final del curso.
2. b) La talla de calzado de una persona y su nota media en Matemáticas.
3. c) La temperatura exterior en verano y el consumo de energía de los aparatos de aire acondicionado.
4. d) Los años de antigüedad de un teléfono móvil y su precio de reventa en el mercado de segunda mano.

En estadística, es fundamental distinguir entre una relación que se puede calcular con una fórmula exacta y otra que solo muestra una tendencia. Indica si la relación entre las siguientes parejas de variables es funcional o estadística (correlación):

1. a) El número de horas que un estudiante de 1º de Bachillerato pasa jugando a videojuegos y su nota en el examen de Economía.
2. b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.
3. c) Los litros de gasolina que se echan en un coche y el importe total a pagar en la gasolinera.
4. d) La estatura de un adolescente y su peso corporal.

Un grupo de investigadores quiere estudiar si existe relación entre el tiempo semanal que los adolescentes dedican a las pantallas de ocio (televisión, móvil o consola) y su rendimiento académico. Para ello, han seleccionado una muestra de 8 estudiantes y han recogido los siguientes datos:

Horas de pantalla ($X$)	12	18	5	22	10	15	8	25
Nota media ($Y$)	$7,5$	$6,2$	$8,8$	$5,5$	$8,0$	$6,8$	$8,2$	$4,8$

1. a) Representa la nube de puntos asociada a esta distribución bidimensional.
2. b) A la vista del gráfico, ¿qué tipo de correlación parece existir entre ambas variables (directa o inversa)? Justifica si crees que la relación es fuerte o débil.

Un influencer analiza la relación entre el número de horas que dedica a editar un vídeo ($X$) y el número de "likes" que recibe en las primeras 24 horas ($Y$, en miles). Tras publicar 10 vídeos, obtiene una nube de puntos muy estrecha y ascendente, excepto por un vídeo que, tras solo 1 hora de edición, consiguió un número masivo de "likes" debido a un reto viral.

1. a) ¿Cómo se denomina técnicamente a ese punto que se aleja de la tendencia general de la nube?
2. b) Si el influencer decide eliminar ese dato especial de su estudio, ¿qué ocurriría con el valor absoluto del coeficiente de correlación $r$? ¿Aumentaría o disminuiría? Justifica tu respuesta.
3. c) ¿La relación entre las variables pasaría a ser más o menos lineal tras eliminar dicho punto?

La siguiente tabla muestra la distancia recorrida ($X$, en km) y el tiempo empleado ($Y$, en min) por un ciclista en sus salidas de entrenamiento:

Distancia ($X$)	10	15	20	25	30	35
Tiempo ($Y$)	22	35	42	58	70	82

1. a) Dibuja la nube de puntos.
2. b) Traza a mano alzada la recta que mejor se ajuste a los puntos (recta de regresión).
3. c) Utilizando la recta que has dibujado, estima cuánto tiempo tardaría el ciclista en recorrer 45 km. ¿Crees que esta estimación es fiable?

Se ha realizado un estudio sobre la relación entre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$) en un grupo de alumnos. La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

1. a) Indica si existe una dependencia funcional o una dependencia estadística. Explica la diferencia entre ambos conceptos usando este ejemplo.
2. b) Clasifica la correlación según su signo y su intensidad (fuerte, moderada o débil).
3. c) ¿Podríamos afirmar que "leer más libros causa necesariamente sacar mejor nota"? Razona la diferencia entre correlación y causalidad.

Dadas las siguientes parejas de variables, indica para cuáles de ellas tendría sentido construir una nube de puntos para analizar su relación. Justifica tu decisión en cada caso:

1. El nombre de los alumnos de clase y su estatura.

2. El número de horas de estudio y la calificación en un examen.

3. El color de ojos y el género de una persona.

4. El precio de un coche de segunda mano y sus kilómetros recorridos.

Un grupo de investigadores analiza la relación entre el tiempo semanal dedicado a videojuegos de estrategia (variable $X$, en horas) y la puntuación obtenida en un test de razonamiento lógico (variable $Y$, de 0 a 100). Los datos de 10 adolescentes muestran una correlación lineal positiva muy fuerte, a excepción de un individuo que dedica 25 horas semanales y obtiene solo 10 puntos en el test.

Basándote en la representación gráfica:

1. Explica razonadamente cómo afecta el punto $P$ al valor del coeficiente de correlación de Pearson $r$ y a la pendiente de la futura recta de regresión.

2. Si elimináramos el punto $P$, ¿podríamos afirmar que existe una relación de causalidad entre jugar a videojuegos y el razonamiento lógico? Justifica tu respuesta analizando la naturaleza de las variables.

Se estudia la relación entre la inversión en publicidad en redes sociales ($X$, en miles de euros) y el número de nuevos suscriptores ($Y$, en cientos) para dos aplicaciones móviles distintas, "App A" y "App B". Las nubes de puntos resultantes muestran que ambas tienen una media de inversión de $\bar{x} = 5$ y una media de suscriptores de $\bar{y} = 12$. Sin embargo, la App A presenta una nube muy dispersa en forma circular, mientras que la App B presenta una nube muy estrecha y alargada con pendiente negativa.

1. Realiza un esbozo de ambas nubes de puntos en un mismo sistema de ejes, diferenciándolas por colores o símbolos.

2. Compara los coeficientes de correlación $r_A$ y $r_B$. ¿En qué caso es más fiable realizar una predicción del número de suscriptores basándose en la inversión?

3. ¿Qué significaría, en el contexto del marketing, que la App B tenga una pendiente negativa?

Un biólogo mide la altura de una especie de planta exótica ($Y$, en cm) en función de la cantidad de fertilizante nitrogenado aplicado ($X$, en mg). Observa que, al principio, la altura aumenta rápidamente con el fertilizante, pero a partir de cierta cantidad, la planta se satura y la altura se estabiliza o incluso decrece ligeramente debido a la toxicidad.

1. Analiza la nube de puntos y determina si un modelo de regresión lineal sería adecuado para describir esta relación en todo el dominio de $X$.

2. Si el biólogo calcula el coeficiente de correlación de Pearson para todos los datos y obtiene un valor cercano a $0$, ¿significa esto que las variables son independientes? Justifica la respuesta basándote en la forma de la nube.

Dadas las siguientes cuatro nubes de puntos asociadas a diferentes fenómenos sociales, asigna razonadamente a cada una uno de estos coeficientes de correlación: $r_1 = 0,95$, $r_2 = -0,80$, $r_3 = 0,05$ y $r_4 = -0,10$.

Argumenta tu elección basándote en la dispersión respecto a una posible recta y el sentido de la inclinación de los puntos.

En un estudio sobre demografía urbana, se representan en el eje $X$ la densidad de población (hab/$km^2$) y en el eje $Y$ el precio medio del alquiler ($€/m^2$). La nube de puntos obtenida presenta una estructura muy peculiar: dos grupos de puntos claramente diferenciados ("clústeres"). El grupo 1 corresponde a barrios periféricos y el grupo 2 a barrios del centro histórico.

1. Si dentro de cada grupo por separado la correlación es positiva y fuerte, pero al considerar todos los puntos juntos la nube parece no tener tendencia clara, ¿qué problemas encontraríamos al intentar calcular un único coeficiente de correlación de Pearson para toda la ciudad?

2. Explica cómo la existencia de variables cualitativas ocultas (como el tipo de barrio) puede "engañar" a la interpretación de una nube de puntos bidimensional.

Se ha obtenido la siguiente nube de puntos que relaciona el consumo de energía eléctrica mensual de un hogar ($X$, en kWh) con la temperatura media exterior ese mes ($Y$, en $^\circ C$).

1. Describe la relación entre las variables. ¿Es una relación lineal en todo su recorrido?

2. Justifica por qué el coeficiente de determinación $R^2$ para un ajuste lineal sería muy bajo a pesar de que existe una relación evidente entre las variables.

3. Propón una forma de dividir el estudio de esta nube de puntos para poder aplicar técnicas de regresión lineal de manera efectiva.

Un psicólogo deportivo estudia la relación entre el nivel de activación pre-partido (ansiedad, variable $X$) y el rendimiento en tiros libres de jugadores de baloncesto (porcentaje de acierto, variable $Y$). La literatura sugiere que existe un "nivel óptimo" de activación: si es muy bajo, el jugador está apático; si es muy alto, está bloqueado.

1. Dibuja una nube de puntos hipotética que refleje esta situación (conocida como la ley de Yerkes-Dodson).

2. Si un analista de datos calculara la covarianza $s_{xy}$ de esta nube y obtuviera un valor cercano a cero, ¿sería correcto concluir que el nivel de ansiedad no influye en el rendimiento? Justifica tu respuesta analizando la geometría de la nube de puntos que has dibujado.

Considera una nube de puntos con una correlación lineal positiva muy fuerte ($r = 0,98$). Supongamos que transformamos todos los valores de la variable $X$ mediante la operación $X' = X + 50$ y todos los valores de la variable $Y$ mediante $Y' = 3 \cdot Y$.

1. Describe qué cambios experimentaría la nube de puntos en el plano (traslación, deformación, cambio de escala).

2. Razona, sin realizar cálculos, si el nuevo coeficiente de correlación $r'$ será mayor, menor o igual al original $r$.

3. ¿Cambiaría la fiabilidad de las predicciones si usáramos la nueva nube de puntos transformada? Explica por qué.