Ejercicios: Estadística descriptiva bidimensional

En el estudio de las relaciones entre dos variables, es fundamental distinguir si existe una dependencia exacta o una relación estadística. Indica en cuáles de los siguientes casos la relación es funcional (existe una fórmula exacta) y en cuáles es estadística (existe una tendencia pero con variabilidad):

• a) El número de litros de gasolina repostados en una gasolinera y el coste total a pagar.

• b) La nota obtenida en un examen de Matemáticas y el número de horas que el alumno ha dedicado a estudiar esa semana.

• c) El tiempo que permanece encendida una bombilla de bajo consumo y el gasto energético registrado por el contador.

• d) La estatura de una persona y el número de calzado que utiliza.

• e) La temperatura máxima diaria en una ciudad y el número de helados vendidos en un quiosco de esa misma ciudad.

Se ha realizado una encuesta a 10 estudiantes de 1º de Bachillerato sobre el número de horas semanales que dedican a realizar deporte ($X$) y su frecuencia cardíaca en reposo ($Y$). Los resultados se han representado en la siguiente nube de puntos:

Observando el gráfico, responde a las siguientes cuestiones:

• a) ¿La correlación entre las variables es positiva o negativa? Explica qué significa esto en el contexto del problema.

• b) ¿Crees que la correlación es fuerte o débil? Justifica tu respuesta basándote en la proximidad de los puntos a una posible línea recta.

Un grupo de 20 adolescentes ha sido clasificado según su hábito de lectura (Lector frecuente / No lector) y su preferencia por el formato de libros (Papel / Digital). Los datos obtenidos son:

• 8 son lectores frecuentes y prefieren el formato papel.

• 4 son lectores frecuentes y prefieren el formato digital.

• 2 no son lectores pero prefieren el formato papel.

• 6 no son lectores y prefieren el formato digital.

Organiza esta información en una tabla de frecuencias conjuntas (tabla de contingencia), incluyendo los totales marginales en las filas y columnas.

A partir de la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de dispositivo principal usado para estudiar y el curso del alumno (4º ESO o 1º Bachillerato), responde a las preguntas planteadas:

Curso / Dispositivo	Tablet	Portátil	Móvil	Total
4º ESO	12	15	8	35
1º Bachillerato	10	25	5	40
Total	22	40	13	75

• a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta conjunta de los alumnos que están en 1º de Bachillerato y usan principalmente el portátil?

• b) Determina la frecuencia marginal de los alumnos que usan Tablet.

• c) ¿Cuántos alumnos en total han participado en el estudio?

• d) ¿Qué porcentaje de los alumnos totales son de 4º de ESO?

Asocia cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, con la gráfica que mejor lo represente:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

Se ha obtenido la recta de regresión que relaciona el tiempo de uso diario de una red social en minutos ($X$) con el nivel de batería consumido en porcentaje ($Y$). La ecuación de la recta es:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estima el porcentaje de batería consumido si un usuario utiliza la red social durante $120$ minutos.

• b) Si el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,92$, ¿crees que la estimación anterior es fiable? Justifica tu respuesta.

Dadas las siguientes parejas de variables, indica si esperas encontrar una correlación positiva, negativa o nula:

• a) El número de kilómetros recorridos por un coche y la cantidad de combustible que queda en el depósito.

• b) La nota media de Bachillerato y el número de horas que se pasa un alumno jugando a videojuegos.

• c) La edad de una persona y su número de DNI.

• d) Los ingresos mensuales de una persona y la cantidad de dinero que ahorra al mes.

• e) La velocidad media de un atleta en una carrera y el tiempo que tarda en completarla.

Se dispone de una variable bidimensional $(X, Y)$ donde $X$ representa la temperatura exterior en $^\circ\text{C}$ e $Y$ el consumo eléctrico de un centro comercial en $kW$. Sabemos que el centro medio de la distribución es el punto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ tiene una pendiente de $b = 15$:

• a) Escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ utilizando la forma punto-pendiente: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) ¿Cuál sería el consumo esperado para una temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Un analista de redes sociales ha recopilado datos sobre el número de vídeos cortos publicados por un grupo de creadores de contenido ($X$) y el número de nuevos seguidores obtenidos en una semana ($Y$). La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

A partir del gráfico:

1. Indica si existe correlación entre ambas variables y, en caso afirmativo, determina su signo y su fuerza aproximada.

2. ¿Se trata de una relación funcional o estadística? Justifica tu respuesta.

3. Estima razonadamente cuál de los siguientes valores podría corresponder al coeficiente de correlación lineal de Pearson $r$: $-0,92$; $0,15$; $0,94$ o $1$.

Una empresa de mensajería estudia la relación entre el peso de los paquetes en kg ($X$) y el coste del envío en euros ($Y$). Se han analizado 5 envíos con los siguientes resultados:

Peso $X$ (kg)	1	2	3	5	9
Coste $Y$ (€)	5	7	8	12	18

Calcula:

1. El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Las desviaciones típicas marginales $\sigma_x$ y $\sigma_y$.

Se ha realizado un estudio sobre la relación entre el tiempo que un estudiante de 1º de Bachillerato dedica a jugar a videojuegos diariamente en horas ($X$) y su capacidad de reacción medida en milisegundos en un test específico ($Y$). Los parámetros obtenidos son:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ y la covarianza $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Interpreta el resultado obtenido en función del contexto del problema. ¿Qué ocurre con la capacidad de reacción a medida que aumentan las horas de juego?

Una plataforma de streaming analiza la relación entre la temperatura exterior media en grados Celsius ($X$) y el número de horas que sus usuarios pasan viendo series en un fin de semana ($Y$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ obtenida es:

$y = -0,45x + 18,2$

1. Si un fin de semana la temperatura media es de $8 ^\circ C$, ¿cuántas horas se estima que pasará un usuario viendo series?

2. Si el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$, ¿qué fiabilidad tiene la predicción anterior? Explica el significado de este valor.

La siguiente tabla muestra las notas obtenidas por 6 alumnos en un examen de Matemáticas ($X$) y en uno de Economía ($Y$):

Matemáticas ($X$)	4	6	5	8	9	7
Economía ($Y$)	5	5	6	7	8	8

1. Halla la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Obtén la ecuación de la recta de regresión de Economía ($Y$) sobre Matemáticas ($X$).

3. ¿Qué nota se esperaría en Economía para un alumno que ha sacado un $10$ en Matemáticas?

En un estudio sobre hábitos saludables, se mide la distancia recorrida en bicicleta a la semana en km ($X$) y el gasto en mantenimiento de la bicicleta en euros ($Y$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,12x + 15$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,85$.

1. Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

   • a) Existe una dependencia funcional entre los km recorridos y el gasto.

   • b) La relación entre las variables es directa.

   • c) Si un ciclista no recorre ningún km ($x=0$), el modelo estima un gasto de $15$ €.

2. Si el gasto medio anual es de $\bar{y} = 33$ €, ¿cuál es la media de km recorridos semanalmente $\bar{x}$?

Un club de baloncesto quiere predecir el número de puntos anotados por sus jugadores ($Y$) en función de los minutos jugados ($X$). Tras analizar a los jugadores, se obtienen los siguientes datos:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Número de jugadores analizados: $n = 10$.

1. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Si un jugador juega $25$ minutos, realiza una estimación de los puntos que anotará utilizando la recta de regresión correspondiente.

Se investiga si el precio de un modelo de teléfono móvil de segunda mano ($Y$, en euros) depende de su antigüedad ($X$, en meses). Los datos de 100 teléfonos muestran que:

$\bar{x} = 18$ meses; $\bar{y} = 450$ €; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 80$ y $r = -0,88$.

1. Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Halla la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

3. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente de la recta en este contexto?

4. Estima el precio de un teléfono que tiene un año y medio de antigüedad. ¿Es muy fiable esta estimación? ¿Por qué?

En un estudio sobre el rendimiento de una nueva placa solar, se han determinado las dos rectas de regresión que relacionan la intensidad lumínica captada ($X$, en cientos de lux) y la energía eléctrica generada ($Y$, en vatios). Las ecuaciones obtenidas son:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,84x + 12,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,95y - 7,4$

Calcula, justificando cada paso:

1. a) El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$) e interpreta su signo y su fuerza.
3. c) ¿Qué porcentaje de la varianza de la energía generada queda explicada por la intensidad lumínica a través del modelo lineal?

Un equipo de analistas de datos de una conocida red de microblogging estudia la relación entre el número de palabras de un post ($X$) y el número de "me gusta" recibidos ($Y$). Tras analizar una muestra aleatoria, se conocen los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 45$ palabras

$\sigma_x = 12$

$S_{xy} = 156$

Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 1,083x + 11,25$

Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,64$, determina:

1. a) La desviación típica de la variable $Y$.
2. b) La ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
3. c) Si un post tiene un número de "me gusta" que es el doble de la media $\bar{y}$, ¿cuál sería la predicción para su número de palabras?

Se analiza la relación entre el tiempo de estudio semanal ($X$, en horas) y la nota media ($Y$) de un grupo de estudiantes. Se sabe que la covarianza es $S_{xy} = 4,5$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,75$. Si a todos los estudiantes se les premia con 1 punto extra en su nota media y, además, deciden estudiar el doble de horas la semana siguiente:

1. a) Demuestra matemáticamente cómo varían la nueva covarianza $S'_{xy}$ y el nuevo coeficiente de correlación $r'$.
2. b) ¿Cambiaría la fiabilidad de las predicciones del modelo lineal tras estos cambios? Justifica la respuesta basándote en las propiedades de los parámetros bidimensionales.

En una competición de e-sports, se mide la edad de los jugadores ($X$) y su tiempo de reacción ante un estímulo visual ($Y$, en milisegundos). La nube de puntos sugiere una relación lineal inversa. Se dispone de la siguiente información simplificada:

$\sum x_i = 200$, $\sum y_i = 2500$, $\sum x_i^2 = 4150$, $\sum y_i^2 = 628000$, $\sum x_i y_i = 49200$ (para $n = 10$ jugadores).

1. a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
2. b) Un jugador de 32 años (fuera del rango de la muestra original que era de 18 a 25 años) entra en el estudio. Si su tiempo de reacción fuera de 280 ms, ¿cómo afectaría este nuevo punto a la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$? Razona tu respuesta sin necesidad de recalcular todo.

Dada la siguiente tabla de frecuencias conjuntas de las variables $X$ (número de hijos) e $Y$ (número de habitaciones en la vivienda):

X \ Y	1	2	3
0	5	2	0
1	1	6	3
2	0	2	6

1. a) Calcula las distribuciones marginales de $X$ e $Y$.
2. b) Determina la media y la varianza de la variable $Y$ condicionada a que $X = 1$.
3. c) Calcula la covarianza $S_{xy}$ y dictamina si las variables son independientes o presentan algún tipo de asociación.

Un estudio sociológico relaciona el índice de digitalización de un hogar ($X$, escala 1-10) con el ahorro anual ($Y$, en miles de euros). Se conoce que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -1,2x + 15$ y que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$.

1. a) Si la varianza de los índices de digitalización es $\sigma_x^2 = 4$, ¿cuál es la varianza de la variable ahorro $\sigma_y^2$?
2. b) Si un hogar tiene un índice de digitalización de 8, estima su ahorro anual y calcula el error típico de la estimación (desviación típica residual), definida como $\sigma_{res} = \sigma_y \sqrt{1 - R^2}$.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son $4x - 5y + 12 = 0$ y $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifica cuál de ellas es la de $Y$ sobre $X$ y cuál la de $X$ sobre $Y$. Justifica tu respuesta utilizando el hecho de que el producto de sus pendientes debe ser igual a $r^2$ y que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.
3. c) Determina los valores medios $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Se investiga la relación entre la altitud de una localidad ($X$, en metros) y la presión atmosférica ($Y$, en mb). Los datos de 5 localidades muestran una correlación casi perfecta ($r = -0,99$). Las desviaciones típicas son $\sigma_x = 400$ y $\sigma_y = 45$.

Si la presión media es de $950$ mb a una altitud media de $600$ metros:

1. a) Halla la ecuación de la recta de regresión para predecir la presión en función de la altitud.
2. b) ¿A qué altitud se esperaría una presión de $1013$ mb? Evalúa la fiabilidad de esta respuesta considerando si se trata de una interpolación o extrapolación.
3. c) Si se descubriera que los medidores de altitud tenían un error sistemático y todas las altitudes reales son $50$ metros superiores a las registradas, ¿cómo afectaría esto a la pendiente de la recta de regresión?