Ejercicios: Función de probabilidad y función de distribución discretas

Determina razonadamente si la siguiente tabla puede representar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$. Para ello, comprueba que se cumplen las propiedades fundamentales de las probabilidades:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0,25$	$0,40$	$0,15$	$0,20$

Una plataforma de streaming analiza el número de series que un usuario ve a la semana. Se define la variable aleatoria discreta $X$ como el "número de series completadas". Su función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,1$	$k$	$0,3$	$0,2$

Halla el valor de la constante $k$ para que la distribución esté bien definida y calcula la probabilidad de que un usuario vea al menos 2 series a la semana, es decir, $P(X \ge 2)$.

Se lanzan dos monedas equilibradas al aire. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de caras obtenidas".

1. a) Escribe el espacio muestral del experimento.
2. b) Elabora la tabla de la función de probabilidad de $X$.
3. c) Representa gráficamente la distribución mediante un diagrama de barras.

Dada la siguiente función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$, calcula las probabilidades que se piden a continuación:

$x_i$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$p_i$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$0,15$	$0,10$

1. a) $P(X < 30)$
2. b) $P(X \le 30)$
3. c) $P(20 < X \le 40)$

En una urna hay 5 bolas numeradas: tres de ellas con el número $1$ y dos de ellas con el número $2$. Se extrae una bola al azar y se anota su valor.

1. a) Define la variable aleatoria $X$ y su recorrido (posibles valores).
2. b) Construye la tabla de la función de probabilidad.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea mayor que $1$?

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene dada por:

$P(X=x) = \frac{x}{10}$ para $x \in \{1, 2, 3, 4\}$

1. a) Escribe la tabla de valores de la función de probabilidad.
2. b) Comprueba que la suma de todas las probabilidades es igual a $1$.
3. c) Calcula $P(X \ge 3)$.

Se ha realizado una encuesta en un instituto sobre el número de hermanos de los alumnos de 1º de Bachillerato. A partir de los datos, se ha definido la variable $X$ = "número de hermanos". La tabla de frecuencias relativas (probabilidades estimadas) es la siguiente:

Hermanos ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,12$	$0,54$	$0,24$	$0,10$

Representa esta información mediante un diagrama de barras y calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga menos de 2 hermanos.

Explica por qué la siguiente función no puede ser la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$:

$P(X=x_i) = \{0,2; 0,3; -0,1; 0,6\}$

Justifica tu respuesta mencionando qué propiedad de la probabilidad se está incumpliendo en este caso.

En un taller especializado en reparación de dispositivos móviles, se ha realizado un estudio sobre el número de terminales que un técnico es capaz de reparar completamente en una jornada de ocho horas. Sea $X$ la variable aleatoria que expresa dicho número. La función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla, aunque falta un dato por completar:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$k$	$0,05$

1. a) Calcula el valor de $k$ para que la tabla represente una distribución de probabilidad legítima.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico repare al menos dos dispositivos en una jornada?
3. c) Si el taller recibe un bono de productividad los días en los que se reparan más de 2 terminales, ¿qué probabilidad hay de recibir dicho bono?

Una asociación juvenil organiza un sorteo para financiar un viaje de fin de curso. Se venden papeletas a $2$ euros. El premio es una tarjeta regalo de Amazon valorada en $50$ euros. Se han emitido $200$ papeletas. Sea $X$ la variable aleatoria que define la ganancia neta de un estudiante que compra una sola papeleta (teniendo en cuenta el coste de la misma).

1. a) Define el espacio muestral de los posibles valores de $X$.
2. b) Determina la función de probabilidad de $X$.
3. c) Calcula la esperanza matemática $E[X]$ e interpreta el resultado obtenido. ¿Es un juego justo para el comprador?

Se lanza un dado de seis caras trucado, de tal forma que la probabilidad de obtener un número par es el doble que la de obtener un número impar. Si todos los números pares tienen la misma probabilidad entre sí, y lo mismo ocurre con los impares:

1. a) Determina la función de probabilidad de la variable aleatoria $X$ = "resultado obtenido al lanzar el dado".
2. b) Calcula la probabilidad de obtener un valor menor o igual a $3$.
3. c) Calcula la media o valor esperado de esta distribución.

Una empresa de mensajería analiza el número de paquetes que llegan dañados en cada furgoneta de reparto. Tras un largo periodo de observación, han definido la siguiente función de probabilidad para la variable $X$ = "número de paquetes dañados por trayecto":

$P(X=x) = \frac{x+1}{15}$ para $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$

1. a) Comprueba que efectivamente se trata de una función de probabilidad.
2. b) Calcula la probabilidad de que en un trayecto lleguen, como máximo, $2$ paquetes dañados.
3. c) Halla la media y la desviación típica de la distribución.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de distribución acumulada $F(x)$ se presenta a continuación:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0,9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

1. a) A partir de $F(x)$, obtén la función de probabilidad $P(X=x_i)$ para cada valor de la variable.
2. b) Calcula la probabilidad $P(2 \le X < 4)$.
3. c) Representa gráficamente la función de probabilidad mediante un diagrama de barras.

En una aplicación de idiomas, los usuarios pueden ganar entre $0$ y $3$ insignias diarias según su constancia. Se sabe que la probabilidad de ganar $x$ insignias es proporcional al valor de $x+1$ para los valores posibles de la variable.

1. a) Escribe la tabla de la distribución de probabilidad determinando la constante de proporcionalidad necesaria.
2. b) ¿Cuál es el número medio de insignias que gana un usuario al día?
3. c) Calcula la varianza de la distribución.

Un restaurante analiza el número de reservas para grupos de más de 10 personas que recibe los sábados por la noche. La variable $X$ sigue la distribución de probabilidad:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0,4$	$0,3$	$0,2$	$0,1$

1. a) Si el restaurante tiene una ganancia de $50$ euros por cada grupo que asiste, pero tiene unos costes fijos de preparación de $30$ euros independientemente de cuántos grupos vayan, define una nueva variable $Y$ que represente el beneficio neto del sábado.
2. b) Calcula la esperanza de $Y$.
3. c) Calcula la desviación típica de $X$.

Se dispone de una urna con $3$ bolas blancas y $2$ bolas rojas. Se extraen dos bolas sucesivamente y sin devolución. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas extraídas.

1. a) Describe el espacio muestral del experimento y los valores que puede tomar $X$.
2. b) Calcula la función de probabilidad de $X$.
3. c) Determina la probabilidad de que al menos una de las bolas extraídas sea roja.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene definida en la siguiente tabla, donde $a$ y $b$ son dos números reales desconocidos:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,1$	$a$	$b$	$0,2$

Sabiendo que la esperanza matemática de la distribución es $E[X] = 2,85$, determina los valores de $a$ y $b$. Posteriormente, calcula la desviación típica $\sigma$ de la variable e indica qué porcentaje de la probabilidad total se encuentra en el intervalo $[E[X] - \sigma, E[X] + \sigma]$.

Una empresa de logística organiza un torneo de dardos para sus empleados. La probabilidad de acertar en la zona roja es $k$, en la zona azul es $2k$ y en la zona blanca es $3k$. Si un jugador lanza dos dardos de forma independiente, definimos la variable aleatoria $X$ como "el número de veces que el dardo impacta en la zona roja".

1. Halla el valor de $k$ para que la distribución de probabilidad sea válida (asume que el dardo siempre impacta en alguna de las tres zonas).

2. Obtén la función de probabilidad de $X$.

3. Calcula el número esperado de impactos en la zona roja si el empleado realizara $50$ series de dos lanzamientos cada una.

La función de distribución acumulada $F(x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por la siguiente gráfica:

A partir de la gráfica, construye la tabla de la función de probabilidad $P(X=x_i)$ y calcula la varianza $V[X]$. Explica razonadamente el significado de $P(0,5 < X \le 2)$.

Un creador de contenido en redes sociales analiza el número de "desuscripciones" diarias en su canal. Ha comprobado que la función de probabilidad de la variable $X$ (número de bajas) responde a la fórmula $P(X = x) = \frac{k \cdot x}{2^x}$ para $x \in \{1, 2, 3\}$.

1. Halla el valor exacto de la constante $k$.

2. Calcula la probabilidad de que en un día haya al menos 2 bajas.

3. El creador estima que cada baja le supone una pérdida de $5$ euros en ingresos publicitarios, pero ganar un nuevo suscriptor le reporta $8$ euros. Si cada día gana exactamente $3$ suscriptores nuevos, calcula la ganancia media esperada por día.

En una urna hay $10$ bolas numeradas del $1$ al $10$. Se extraen dos bolas simultáneamente (sin repetición). Sea $X$ la variable aleatoria que asigna a cada extracción el valor absoluto de la diferencia de los números obtenidos.

1. Indica cuál es el espacio muestral del experimento y los valores que puede tomar la variable $X$.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea máxima?

3. Sin construir la tabla completa, razona si es más probable que $X=1$ o que $X=9$. Calcula ambas probabilidades.

Dos jugadores, Alba y Bruno, lanzan un dado de seis caras. Si sale un número primo, Alba gana tantos euros como indique el dado. Si sale un número compuesto, Bruno gana el doble de lo que indique el dado en euros. Si sale el número $1$, nadie gana nada.

1. Define la variable aleatoria $G$ como la ganancia neta de Alba en un lanzamiento (considerando que lo que gana Bruno es una pérdida para Alba). Escribe su función de probabilidad.

2. Calcula la esperanza matemática de $G$. ¿A quién favorece el juego a largo plazo?

3. ¿Qué cantidad debería pagar Bruno a Alba cada vez que salga un número compuesto para que el juego fuera equitativo ($E[G]=0$)?

Se tiene una variable aleatoria discreta $X$ con la siguiente función de probabilidad:

$P(X=0) = p$

$P(X=1) = q$

$P(X=2) = 0,2$

Si sabemos que la esperanza es $E[X] = 0,8$ y que la varianza es $V[X] = 0,56$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de $p$ y $q$. Verifica que la suma de las probabilidades es igual a la unidad.

Un examen de oposición consta de $4$ temas elegidos al azar de un total de $10$. Un opositor se ha preparado solo $6$ temas. Definimos la variable aleatoria $X$ como "el número de temas que el opositor domina de los $4$ elegidos".

1. Calcula la probabilidad de que el opositor no domine ninguno de los temas elegidos.

2. Determina la probabilidad de que domine exactamente $2$ temas.

3. Halla la esperanza matemática de la variable $X$ e interpreta el resultado en el contexto del examen. ¿Es probable que el opositor apruebe si necesita conocer al menos $3$ temas?