Ejercicios: Tasa de variación media y análisis marginal

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = x^{2}$ en el intervalo $[1, 3]$.

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = 2x + 1$ en los intervalos $[0, 4]$ y $[-2, 5]$. ¿Qué observas? ¿A qué se debe?

La tasa de variación media de la población de un pueblo entre 2010 y 2020 ha sido de $1.200$ habitantes por año. Explica con tus palabras qué significa ese dato y calcula cuánto creció la población en esa década.

La figura muestra la distancia recorrida por un ciclista en función del tiempo.

1. a) Lee en la gráfica la distancia recorrida en la primera hora y calcula su velocidad media en esa hora.

1. b) Calcula su velocidad media entre la hora $1$ y la hora $3$.

1. c) ¿En qué tramo fue más rápido? Relaciónalo con la inclinación de la curva.

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = x^{2} - 2x$ en el intervalo $[0, 2]$ y explica por qué el resultado es $0$ aunque la función no sea constante en ese intervalo.

Escribe, usando la definición de derivada como límite, la expresión de $f'(2)$ para la función $f(x) = x^{2} + 1$ (no hace falta resolver el límite).

Calcula, aplicando la definición con límites, la derivada de $f(x) = 3x - 2$ en $x = 1$. ¿Depende el resultado del punto elegido? ¿Por qué?

Sin hacer cálculos, contesta razonadamente:

1. a) Si $\text{TVM}[a, b] < 0$, ¿la función ha subido o ha bajado en conjunto entre $a$ y $b$?

1. b) ¿Puede ser negativa la tasa de variación media en un intervalo y, a la vez, ser $f(b) > f(a)$? Justifícalo.

La figura muestra la gráfica de una función y la recta secante que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 8)$.

1. a) Lee en la figura las variaciones $\Delta x$ y $\Delta y$ y calcula $\text{TVM}[1, 4]$.

1. b) ¿Qué relación hay entre esa tasa y la pendiente de la recta secante dibujada?

1. c) Escribe la ecuación de la recta secante que pasa por $A$ y $B$.

La figura ilustra cómo las rectas secantes por un punto fijo $P$ se acercan a la recta tangente cuando el segundo punto se aproxima a $P$.

Sea $f(x) = x^{2} + 1$ y $P = (2, 5)$.

1. a) Completa la tabla de $\text{TVM}[2, 2 + h]$ para $h = 1$, $h = 0,5$, $h = 0,1$ y $h = 0,01$.

1. b) ¿A qué número se acercan las tasas? ¿Qué representa ese número respecto a la recta tangente en $P$?

1. c) Escribe la ecuación de la recta tangente en $P$.

La gráfica muestra la temperatura de una ciudad a lo largo de un día.

1. a) Lee los valores aproximados de temperatura a las $6$ y a las $10$ horas y calcula la tasa de variación media en ese intervalo, en °C/h.

1. b) Haz lo mismo para el intervalo de $18$ a $22$ horas.

1. c) Compara los dos resultados: ¿qué indican sus signos sobre lo que ocurría con la temperatura en cada franja?

Una empresa que fabrica mochilas tiene una función de coste total $C(q) = 0,02q^{2} + 10q + 800$, en euros, donde $q$ es el número de mochilas producidas al mes. La figura muestra la curva de coste y la tangente en $q = 60$.

1. a) Calcula el coste real de producir la mochila número $61$: $C(61) - C(60)$.

1. b) Calcula el coste marginal $C'(60)$ como aproximación del coste de esa unidad adicional.

1. c) Compara ambos valores y explica por qué los economistas usan la derivada como «coste marginal».

Un paracaidista salta desde un globo y, antes de abrir el paracaídas, la distancia caída sigue aproximadamente el modelo $e(t) = 2t^{2} + t$, en metros, con $t$ en segundos.

1. a) Calcula su velocidad media entre los segundos $1$ y $3$.

1. b) Calcula su velocidad instantánea en el segundo $2$.

1. c) ¿En qué momento la velocidad instantánea coincide con la velocidad media del intervalo $[1, 3]$? Calcúlalo y comenta el resultado.

Sea $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. a) Calcula $\text{TVM}[1, 2]$.

1. b) Calcula $\text{TVM}[1, 1 + h]$ en función de $h$ y simplifica la expresión.

1. c) ¿A qué valor tiende la expresión anterior cuando $h \to 0$? ¿Qué significa ese valor?

La cotización de una acción al cierre de cada día de una semana ha sido: lunes $10,40\ \text{ €}$; martes $10,12\ \text{ €}$; miércoles $10,35\ \text{ €}$; jueves $10,80\ \text{ €}$; viernes $10,55\ \text{ €}$.

1. a) Calcula la variación diaria (absoluta y porcentual) de cada jornada, redondeando a las centésimas.

1. b) Calcula la variación total de la semana y la tasa de variación media diaria, en euros por día.

1. c) Un titular afirma: «la acción ha subido de media un $0,4 \%$ diario». Comprueba si es cierto usando la variación porcentual media y comenta qué medida —absoluta o porcentual— informa mejor al inversor.

Halla el valor del parámetro $a$ para que la tasa de variación media de $f(x) = x^{2} + ax$ en el intervalo $[0, 2]$ sea igual a $5$. Comprueba el resultado.

La figura muestra, en el panel A, la gráfica de una función polinómica con un máximo relativo en $x = 1$ y un mínimo relativo en $x = 3$; el panel B contiene solo los ejes, listos para dibujar.

1. a) Indica los intervalos donde $f'(x)$ es positiva y donde es negativa, razonándolo a partir del crecimiento de $f$.

1. b) ¿En qué puntos se anula $f'$?

1. c) Esboza en el panel B la gráfica de $f'$, explicando la forma que has dibujado y por qué corta al eje $X$ donde lo hace.

Un taller fabrica $q$ bicicletas al mes con unos ingresos $I(q) = 50q - 0,1q^{2}$ y unos costes $C(q) = 20q + 1.000$, en miles de euros.

1. a) Calcula el ingreso marginal $I'(q)$ y evalúalo en $q = 100$. ¿Qué significa su valor?

1. b) Calcula el beneficio marginal $B'(q)$, donde $B(q) = I(q) - C(q)$, y halla para qué valor de $q$ se anula.

1. c) Explica, usando el signo del beneficio marginal antes y después de ese valor, por qué corresponde al beneficio máximo.

1. a) Demuestra que la tasa de variación media de una función lineal $f(x) = mx + n$ en cualquier intervalo $[a, b]$ es constante e igual a su pendiente $m$.

1. b) Demuestra que para $f(x) = x^{2}$ se verifica $\text{TVM}[a, a + h] = 2a + h$, y deduce, haciendo $h \to 0$, que $f'(a) = 2a$.

La posición de un ciclista en una recta viene dada por $e(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t$, en metros, con $t$ en segundos y $0 \leq t \leq 4$.

1. a) Calcula su velocidad media en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de cada una?

1. b) Calcula la velocidad instantánea $v(t) = e'(t)$.

1. c) ¿En qué instantes del trayecto la velocidad instantánea es nula? Describe qué hace el ciclista en esos momentos.

Un alumno calcula la derivada de $f(x) = x^{2}$ en $x = 2$ escribiendo:

«$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2) + h - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$»

1. a) Explica el error que ha cometido al aplicar la definición.

1. b) Escribe el cálculo correcto y halla el valor verdadero de $f'(2)$.

1. c) Comprueba el resultado calculando $\text{TVM}[2, 2 + h]$ para $h = 0,1$ y para $h = 0,01$, y comenta a qué valor se acercan.

La población de una especie protegida en un parque nacional sigue el modelo $P(t) = 12.000 \cdot 1,02^{t}$, con $t$ en años.

1. a) Calcula la tasa de variación media de la población en el intervalo $[0, 5]$, en individuos por año, redondeada a las unidades.

1. b) Calcula la tasa de variación media relativa (porcentual) anual en ese intervalo y comprueba que coincide con el $2 \%$.

1. c) Demuestra que en cualquier modelo exponencial $P(t) = P_0 \cdot a^{t}$ la tasa de variación relativa anual es constante, mientras que la absoluta crece con el tiempo. ¿Qué implica esto para las previsiones?

1. a) Calcula, aplicando la definición con límites, la derivada de $f(x) = x^{2} + x$ en el punto $x = 1$.

1. b) Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(1, f(1))$.

1. c) Comprueba gráficamente el resultado: representa la parábola y la tangente en los alrededores de $x = 1$ y verifica que la recta «roza» la curva sin cortarla en ese punto.

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones, demostrándolas o dando un contraejemplo:

1. a) «Si $f$ es una función par (simétrica respecto del eje $Y$), entonces $\text{TVM}[-a, a] = 0$ para todo $a$ de su dominio.»

1. b) «Si $\text{TVM}[a, b] = 0$, entonces la función es constante en $[a, b]$.»

1. c) «Si $\text{TVM}[a, b] > 0$, entonces $f$ es creciente en todo el intervalo $[a, b]$.»