Ejercicios: Optimización y estudio completo de funciones

Sea $f(x) = x^{2} - 4x + 3$.

1. a) Calcula $f'(x)$ y halla el punto donde se anula.

1. b) ¿Ese punto es un máximo o un mínimo? Justifícalo estudiando el signo de $f'$ a ambos lados.

La derivada de una función es $f'(x) = 2x - 6$.

1. a) ¿En qué punto se anula $f'$?

1. b) ¿Dónde es $f$ creciente y dónde decreciente?

1. c) ¿Qué tipo de extremo tiene $f$ y en qué punto?

La figura muestra el beneficio semanal de una heladería en función del precio del helado: la parábola corta al eje de precios en $5\ \text{ €}$ y en $25\ \text{ €}$.

1. a) Usando la simetría de la parábola, ¿qué precio maximiza el beneficio?

1. b) ¿Para qué precios el beneficio es cero? ¿Qué significan esos valores?

1. c) ¿Para qué precios el beneficio es negativo? Interprétalo.

La derivada de una función $f$ se anula en $x = 2$ y en $x = 5$, y su signo viene dado por la tabla:

• En $(-\infty, 2)$: $f'(x) > 0$.

• En $(2, 5)$: $f'(x) < 0$.

• En $(5, +\infty)$: $f'(x) > 0$.

Clasifica los puntos $x = 2$ y $x = 5$ como máximo o mínimo relativo, justificando la respuesta.

Sea $f(x) = x^{3} - 3x$.

1. a) Calcula $f'(x)$.

1. b) ¿En qué puntos se anula la derivada?

1. c) Indica los intervalos donde $f$ es creciente.

El beneficio de una fábrica, en miles de euros, al producir $x$ toneladas semanales es $B(x) = -2x^{2} + 80x - 300$.

1. a) ¿Qué producción semanal maximiza el beneficio?

1. b) ¿Cuál es ese beneficio máximo, en euros?

Razona si es verdadera o falsa la afirmación: «si $f'(3) = 0$, entonces $f$ tiene un máximo o un mínimo relativo en $x = 3$». Si es falsa, da un contraejemplo concreto y explícalo.

Se dispone de $40$ m de valla para cerrar un corral rectangular por sus cuatro lados.

1. a) Si un lado mide $x$, expresa el área del corral en función de $x$.

1. b) ¿Qué dimensiones hacen máxima el área? ¿Qué forma tiene entonces el corral?

Se quieren vallar $100$ m para hacer un huerto rectangular apoyado en una pared, de modo que solo hay que vallar tres lados, como muestra la figura.

1. a) Si $x$ es la longitud de cada lado perpendicular a la pared e $y$ la del lado paralelo, expresa $y$ en función de $x$ y escribe la función área $A(x)$.

1. b) Calcula las dimensiones que hacen máxima el área.

1. c) ¿Cuál es esa área máxima?

De una lámina cuadrada de cartón de $24$ cm de lado se recortan cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas para construir, plegando, una caja sin tapa, como muestra la figura.

1. a) Expresa el volumen de la caja $V(x)$ en función de $x$ e indica su dominio.

1. b) Calcula $V'(x)$ y halla sus puntos críticos, descartando los que no pertenezcan al dominio.

1. c) ¿Qué valor de $x$ hace máximo el volumen? ¿Cuánto vale ese volumen máximo?

Una empresa tiene unos ingresos $I(q) = -0,2q^{2} + 60q$ y unos costes $C(q) = 20q + 800$, en euros, donde $q$ son las unidades producidas y vendidas. La figura muestra ambas curvas.

1. a) Escribe la función beneficio $B(q)$ y calcula su derivada.

1. b) ¿Qué nivel de producción maximiza el beneficio? ¿Cuánto vale ese beneficio máximo?

1. c) Calcula los umbrales de rentabilidad (los valores de $q$ para los que $B(q) = 0$) y relaciónalos con los puntos de corte de la figura.

Estudia y representa la función $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$:

1. a) Cortes con los ejes.

1. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos.

1. c) Curvatura y punto de inflexión.

1. d) Esboza la gráfica.

Estudia la función $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$:

1. a) Dominio y simetría (comprueba que es impar).

1. b) Asíntota horizontal (calcula el límite cuando $x \to +\infty$).

1. c) Extremos relativos y monotonía.

1. d) Con la información anterior, esboza su gráfica completa.

Una empresa de conservas quiere fabricar una caja con base cuadrada y tapa, con un volumen de $1\ \text{dm}^{3}$ ($1.000\ \text{cm}^{3}$), usando la mínima cantidad de cartón.

1. a) Si $x$ es el lado de la base e $y$ la altura, expresa $y$ en función de $x$ usando la condición de volumen.

1. b) Escribe la función superficie total $S(x)$ y calcula su derivada.

1. c) Halla las dimensiones que minimizan la superficie. ¿Qué forma tiene la caja óptima?

La figura muestra la gráfica de una función polinómica con un máximo relativo en $(-1, 4)$ y un mínimo relativo en $(2, -1)$.

1. a) Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y relaciónalos con las zonas sombreadas del eje $X$.

1. b) ¿Cuál es el signo de $f'(x)$ en cada uno de esos intervalos? ¿Cuánto vale $f'$ en $x = -1$ y en $x = 2$?

1. c) ¿Cuáles son el máximo y el mínimo relativos? ¿Son también absolutos? Razona la respuesta mirando las ramas de la gráfica.

Un estudio de mercado estima que el beneficio semanal de una tienda, en euros, al vender $x$ unidades de un producto es $B(x) = -x^{2} + 140x - 3.600$.

1. a) ¿Cuántas unidades debe vender para obtener el beneficio máximo? ¿A cuánto asciende?

1. b) ¿Para qué niveles de venta la tienda pierde dinero?

1. c) Si por motivos de almacén no puede vender más de $50$ unidades, ¿cuál es entonces su mejor decisión? Justifícalo usando la monotonía de $B$.

Realiza el estudio completo de la función $f(x) = x^{3} - 12x$ y represéntala:

1. a) Dominio, cortes con los ejes y simetría.

1. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos.

1. c) Curvatura y punto de inflexión.

1. d) Traza la gráfica con la información obtenida.

Un cine con $400$ localidades vende las entradas a $8\ \text{ €}$ y llena todas las sesiones. El gerente estima que por cada $0,50\ \text{ €}$ que suba el precio perderá $20$ espectadores.

1. a) Si $x$ es el número de subidas de $0,50\ \text{ €}$, escribe la función ingreso $I(x)$.

1. b) ¿Qué precio de entrada maximiza el ingreso? ¿Cuánto vale ese ingreso máximo?

1. c) ¿A partir de qué precio el ingreso sería menor que el actual de sala llena?

1. d) El gerente decide no subir más de $2\ \text{ €}$ para no vaciar la sala. ¿Le conviene subir esos $2\ \text{ €}$? Justifícalo con el modelo.

El coste total de producir $q$ unidades de un producto es $C(q) = q^{2} + 30q + 25$, en euros.

1. a) Escribe la función de coste medio por unidad, $CM(q) = \frac{C(q)}{q}$, para $q > 0$.

1. b) Calcula el valor de $q$ que minimiza el coste medio y comprueba, estudiando el signo de $CM'(q)$, que es un mínimo.

1. c) Calcula el coste marginal $C'(q)$ en ese mismo valor y comprueba que coincide con el coste medio mínimo. ¿Es una casualidad? Investiga qué relación hay entre $CM'(q)$ y $C'(q) - CM(q)$ y enuncia la conclusión general.

Se busca el punto de la parábola $y = x^{2}$ más cercano al punto $P = \left(0, \frac{3}{2}\right)$.

1. a) Expresa el cuadrado de la distancia de un punto genérico $(x, x^{2})$ de la parábola al punto $P$.

1. b) Deriva esa expresión y halla sus puntos críticos.

1. c) Determina qué puntos de la parábola están a distancia mínima de $P$ y calcula esa distancia mínima. ¿Por qué hay dos puntos solución?

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo (ventana de arco). El perímetro total del marco es de $12$ m y se quiere que entre la máxima luz posible, es decir, que el área sea máxima.

1. a) Si $r$ es el radio del semicírculo y $h$ la altura del rectángulo, escribe la relación entre $r$ y $h$ que impone el perímetro.

1. b) Expresa el área total $A(r)$ en función solo de $r$.

1. c) Halla el valor de $r$ que maximiza el área, dejando el resultado en función de $\pi$, y calcula las dimensiones completas de la ventana.

Un alumno resuelve así un problema de optimización: «Hay que repartir $50$ m de cuerda en dos trozos para rodear dos zonas cuadradas de lado $x$ y de lado $y$. El área total es $A = x^{2} + y^{2}$. Como $4x + 4y = 50$, resulta $y = 12,5 - x$, así que $A(x) = x^{2} + (12,5 - x)^{2}$. Derivo: $A'(x) = 4x - 25 = 0$, luego $x = 6,25$. Por tanto, el área máxima es $6,25\ \text{m}^{2}$.»

1. a) Encuentra los dos errores de su conclusión (uno sobre lo que vale $6,25$ y otro sobre si es máximo o mínimo).

1. b) Resuelve correctamente el problema: ¿cómo hay que cortar la cuerda para minimizar el área total? ¿Y para maximizarla? (Piensa qué ocurre en los extremos del dominio de $x$.)

Valora razonadamente si son verdaderas o falsas estas afirmaciones, con ejemplos que lo justifiquen:

1. a) «Toda función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ alcanza en él un valor máximo y un valor mínimo.»

1. b) «Toda función continua en un intervalo abierto $(a, b)$ alcanza en él un valor máximo y un valor mínimo.»

1. c) «Si una función tiene un máximo relativo en $x = c$, ese es también su máximo absoluto en todo su dominio.»

Halla los valores máximo y mínimo absolutos de la función $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$ en el intervalo $[0, 4]$.

1. a) Calcula los puntos críticos dentro del intervalo.

1. b) Evalúa la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

1. c) Concluye: indica el máximo y el mínimo absolutos y en qué puntos se alcanzan. ¿Te sorprende alguno de los resultados? Coméntalo.

La figura muestra la gráfica de una función racional con asíntota vertical $x = 2$ y asíntota horizontal $y = 1$.

1. a) Indica el dominio de la función y calcula, a partir de la gráfica, $\lim_{x \to 2^{-}} f(x)$, $\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

1. b) Estima las coordenadas del máximo relativo marcado con «?» y explica qué condición debe cumplir la derivada en ese punto.

1. c) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada rama y razona por qué la función no tiene extremos en la rama derecha.

1. d) Una compañera afirma que la función podría ser $g(x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$, que tiene las mismas asíntotas. Calcula $g'(x)$, estudia su signo y razona por qué esa función no puede ser la de la gráfica.