Ejercicios: Aplicaciones de la derivada

El número de personas que visitan una nueva exposición de arte contemporáneo durante las primeras 4 horas desde su apertura sigue la función $f(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el tiempo en horas. Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) del número de visitantes entre la hora $t = 1$ y la hora $t = 3$.

Dada la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$, utiliza la definición de derivada en un punto para hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica en $x = 3$.

Halla la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Una heladería ha determinado que sus beneficios mensuales (en cientos de euros) dependen del número de empleados contratados $x$ según la función $B(x) = -x^2 + 10x - 16$. Determina si el beneficio está creciendo o decreciendo cuando la heladería cuenta con 3 empleados.

Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 12x + 2$ en los que la recta tangente es horizontal.

Pista: Una recta tangente es horizontal cuando su pendiente es igual a cero.

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ analizando el signo de su primera derivada.

Un dron despega verticalmente y su altura $h$ (en metros) respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -t^2 + 8t$. Calcula la velocidad instantánea del dron a los 2 segundos de su despegue.

Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = x^2 - 8x + 20$ alcanza su valor mínimo relativo utilizando la derivada.

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función racional $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ en el punto de abscisa $x = 2$. Interpreta el resultado indicando si la función es creciente o decreciente en ese punto basándote en el valor de la pendiente.

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, realiza un estudio de su monotonía. Para ello, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y halla las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos.

Una empresa de venta de fundas personalizadas para móviles ha determinado que sus beneficios diarios, en euros, siguen la función $B(x) = -x^2 + 40x - 300$, donde $x$ representa el número de fundas vendidas.

• ¿Cuántas fundas deben vender para que el beneficio sea máximo?

• ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

• ¿A partir de qué cantidad de fundas vendidas el beneficio empieza a disminuir?

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + b$ tenga un mínimo relativo en el punto $(2, -3)$. Una vez hallados los parámetros, comprueba si la función tiene algún otro extremo relativo.

Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea. Su distancia al punto de control (en metros) viene dada por la función $s(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($0 \le t \le 10$).

• Calcula la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$.

• Determina en qué instantes el dron está parado momentáneamente.

• ¿Cuál es la velocidad del dron a los 5 segundos? ¿Está acelerando o frenando en ese momento?

Determina los puntos de la curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 9x - 5$. Escribe las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

Estudia la curvatura (concavidad y convexidad) y encuentra los puntos de inflexión de la función $f(x) = 3x^4 - 4x^3$. Dibuja un esquema aproximado de la forma de la función basándote únicamente en su segunda derivada.

Se desea cercar un jardín rectangular aprovechando la pared de una casa, de modo que solo sea necesario poner valla en tres de sus lados. Si se dispone de 60 metros de valla, calcula las dimensiones del jardín para que el área encerrada sea la mayor posible.

Dada la función polinómica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, determina los valores de los coeficientes $a, b, c$ y $d$ sabiendo que se cumplen las siguientes condiciones simultáneamente:

• La gráfica de la función pasa por el punto $P(0, 2)$.

• Tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 1$.

• La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = -1$ es paralela a la recta de ecuación $y = 12x - 5$.

• La función presenta un punto de inflexión en $x = 0$.

Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función definida a trozos en todo su dominio. En caso de que existan parámetros, determina los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 2$:

Una vez hallados los parámetros, calcula la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $x = 0$.

Una compañía de autobuses interurbanos ha determinado que el coste total (en euros) de operar su flota durante un día depende de la velocidad media $v$ (en $km/h$) a la que circulan, según la función:

Se pide:

1. Hallar la velocidad media a la que deben circular los autobuses para que el coste de operación sea mínimo.

2. Demostrar, utilizando la segunda derivada, que el valor hallado es efectivamente un mínimo.

3. Si por normativa de tráfico la velocidad media debe estar comprendida en el intervalo $[20, 60] \text{ km/h}$, ¿cuál sería el coste máximo y mínimo en ese intervalo?

Se desea cercar un recinto rectangular destinado a la zona de juegos de una urbanización. El recinto debe tener una superficie de $600 \text{ m}^2$. Uno de los lados del rectángulo linda con un edificio y no necesita valla. El precio de la valla para los dos lados laterales es de $20 \text{ €/m}$, mientras que el lado paralelo al edificio utiliza una valla reforzada que cuesta $60 \text{ €/m}$.

Determina las dimensiones del recinto que minimizan el coste total de la valla y calcula dicho coste mínimo.

La siguiente gráfica representa la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$. A partir de la observación de la gráfica de $f'(x)$, deduce razonadamente para la función original $f(x)$:

1. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

2. Las abscisas donde se encuentran sus máximos y mínimos relativos.

3. Los intervalos de concavidad y convexidad (estudiando el crecimiento de $f'(x)$).

4. Sabiendo que $f(0) = 0$, realiza un esbozo aproximado de la gráfica de $f(x)$.

Un "influencer" ha analizado la repercusión de sus vídeos en una red social. El número de visualizaciones acumuladas $V(t)$ (en miles) de su último vídeo sigue la función:

donde $t$ es el tiempo en días desde la publicación ($0 \le t \le 15$).

1. ¿En qué día el vídeo alcanza el máximo ritmo de crecimiento de visualizaciones? (Nota: Se pide maximizar la velocidad de crecimiento, es decir, la derivada).

2. ¿Qué día se alcanza el número máximo de visualizaciones acumuladas antes de que el vídeo pierda interés?

3. ¿Cuál es la tasa de variación media del número de visualizaciones entre el día 1 y el día 5?

Se considera la función racional $f(x) = \frac{x^2 + kx}{x - 1}$.

1. Calcula el valor de $k$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$.

2. Para ese valor de $k$, estudia si el extremo es un máximo o un mínimo.

3. Halla las ecuaciones de las asíntotas de la función para el valor de $k$ obtenido.

4. Determina los puntos de la curva donde la pendiente de la recta tangente es igual a $0$.

La función de beneficio total de una cooperativa agrícola (en miles de euros) viene dada por $B(x) = -0,5x^2 + 20x - 18$, donde $x$ representa las toneladas de producto vendidas.

1. Calcula la función de beneficio marginal $B'(x)$. ¿Qué representa este concepto en términos económicos?

2. Si la producción actual es de $10$ toneladas, ¿cuánto aumentaría aproximadamente el beneficio si se vendiera una tonelada adicional?

3. Determina el nivel de producción que maximiza el beneficio total.

4. ¿A partir de cuántas toneladas el beneficio marginal empieza a ser negativo? Interpreta el resultado.