Ejercicios: Polinomios. Factorización

En el diseño de un nuevo nivel para un videojuego, la energía de un escudo protector sigue la función polinómica $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$, donde $x$ representa el tiempo en segundos desde que se activa. Utiliza el Teorema del Resto para comprobar si el escudo se queda sin energía exactamente a los $x = 3$ segundos.

Simplifica la siguiente expresión extrayendo el factor común más grande posible de los términos del polinomio que representa los ingresos de una pequeña empresa de camisetas personalizadas:

$I(x) = 12x^5 - 18x^4 + 6x^2$

Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables (productos notables). Estas expresiones suelen aparecer al calcular variaciones de áreas en planos arquitectónicos:

1. a) $(2x + 5)^2$
2. b) $(3x - 2)^2$
3. c) $(x + 7)(x - 7)$

Un agricultor tiene una parcela cuadrada y ha decidido ampliarla. El área total de la nueva parcela viene dada por el trinomio $A(x) = x^2 + 12x + 25$. Sin embargo, se da cuenta de que si el área fuera $A(x) = x^2 + 10x + 25$, podría expresarla como el cuadrado de un binomio. Factoriza esta segunda expresión usando identidades notables para hallar la medida del lado del cuadrado.

Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, sabiendo que $x = 1$ es una de sus raíces. Escribe el polinomio como producto de tres factores de primer grado.

Determina el valor del coeficiente desconocido $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 10$ sea divisible por $(x - 5)$. Recuerda que para que sea divisible, el resto de la división debe ser cero.

Se está diseñando una pantalla publicitaria rectangular cuya superficie en metros cuadrados se describe mediante el polinomio $S(x) = x^2 - 16$.

1. a) Factoriza el polinomio utilizando la identidad notable de diferencia de cuadrados.
2. b) Si $x$ debe ser mayor que 4 para que las dimensiones tengan sentido, ¿cuáles serían las expresiones para la base y la altura de la pantalla?

Escribe la expresión de un polinomio mónico (aquel cuyo coeficiente principal es 1) de tercer grado sabiendo que sus raíces son $x = 0$, $x = 2$ y $x = -3$. Expresa el resultado final en forma de producto de factores.

Factoriza completamente el siguiente polinomio descomponiéndolo en el producto del mayor número de factores de grado uno posible:

$P(x) = 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 12x$

Para ello, utiliza la extracción de factor común, la regla de Ruffini y, si es necesario, la resolución de la ecuación de segundo grado resultante.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x + 12$ sea divisible por binomio $(x + 1)$. Una vez hallado el valor de $k$, encuentra las demás raíces del polinomio.

Determina la expresión algebraica de un polinomio $P(x)$ de tercer grado sabiendo que cumple las siguientes condiciones:

• Sus raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 3$.

• El valor numérico del polinomio para $x = 0$ es $12$ ($P(0) = 12$).

Expresa el resultado final de forma desarrollada (como suma de monomios).

Un arquitecto diseña una maqueta de un almacén logístico con forma de prisma rectangular. El volumen de la maqueta viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 7x^2 + 6x$, donde $x$ representa la altura en decímetros.

1. a) Factoriza el polinomio $V(x)$ para obtener las expresiones de las otras dos dimensiones (largo y ancho) en función de $x$.
2. b) Si la altura de la maqueta es de $2$ dm, ¿cuáles son las dimensiones de la base y cuál es el volumen total?

Halla el máximo común divisor (M.C.D.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los siguientes polinomios:

$P(x) = x^3 - 4x$

$Q(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

Una empresa de servicios financieros analiza la evolución de sus beneficios mensuales mediante una función polinómica. Se sabe que los beneficios $B(t)$ (en miles de euros) durante los primeros $6$ meses del año siguen el modelo:

$B(t) = t^3 - 9t^2 + 23t - 15$

Donde $t$ es el tiempo en meses ($t=1$ es enero, $t=2$ es febrero, etc.). Factoriza el polinomio $B(t)$ y determina en qué meses el beneficio de la empresa fue exactamente cero.

Factoriza los siguientes polinomios utilizando las identidades notables (productos notables) y la extracción de factor común:

1. a) $R(x) = 4x^3 - 12x^2 + 9x$
2. b) $S(x) = x^4 - 81$
3. c) $T(x) = 3x^2 + 30x + 75$

Aplica el teorema de las raíces racionales para encontrar todas las raíces reales del polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$. Una vez halladas, escribe su descomposición factorial.

Pista: Recuerda que si un polinomio con coeficientes enteros tiene raíces fraccionarias $p/q$, el numerador $p$ debe ser divisor del término independiente y el denominador $q$ debe ser divisor del coeficiente principal.

Un equipo de expertos en ciberseguridad utiliza polinomios para generar claves de cifrado. La seguridad de una cuenta bancaria depende de los coeficientes del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 37x + 30$. Para que la clave sea válida, el polinomio debe ser divisible por el binomio $(x - 2)$ y, además, el resto de dividir $P(x)$ entre $(x + 1)$ debe ser exactamente $60$.

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la clave sea segura y, posteriormente, realiza la factorización completa del polinomio resultante sobre el conjunto de los números reales.

Una empresa de logística está diseñando un nuevo modelo de caja de cartón plegable para reducir el uso de plásticos. El volumen de la caja, en decímetros cúbicos, viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 13x^2 + 50x - 56$, donde $x$ representa una de las dimensiones principales en decímetros.

Factoriza el polinomio para encontrar las expresiones de las tres dimensiones de la caja (largo, ancho y alto) en función de $x$. Si sabemos que todas las dimensiones deben ser mayores que $1$ dm, determina el rango de valores posibles para la variable $x$.

En un estudio sobre biología de poblaciones, se ha modelado el crecimiento de una colonia de bacterias mediante el polinomio de grado seis $B(t) = t^6 - 9t^3 + 8$, donde $t$ es el tiempo en horas. Los biólogos necesitan saber en qué momentos exactos la población es nula para entender los ciclos de extinción.

Factoriza el polinomio $B(t)$ utilizando un cambio de variable adecuado para convertirlo en un polinomio de segundo grado. Expresa el resultado como producto de factores de primer grado y factores de segundo grado irreducibles en el conjunto de los números reales.

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura sobre el nivel del mar se describe mediante el polinomio $H(x) = x^3 - 12x^2 + kx - 48$. Se ha observado que el dron toca el suelo (altura $H(x) = 0$) en tres puntos diferentes cuyas distancias al origen de coordenadas, $x_1, x_2$ y $x_3$, forman una progresión aritmética (es decir, la diferencia entre términos consecutivos es constante).

Halla el valor de la constante $k$ y utiliza el Teorema del Factor para encontrar las tres distancias en las que el dron aterriza.

Considera un polinomio desconocido $P(x)$ del que solo tenemos información parcial obtenida mediante pruebas de laboratorio informático. Sabemos que al dividir $P(x)$ entre $(x - 3)$, el resto obtenido es $10$. Por otro lado, al dividir el mismo polinomio $P(x)$ entre $(x + 2)$, el resto es $-5$.

Determina, de forma razonada, cuál será el resto de la división del polinomio $P(x)$ entre el producto $(x - 3)(x + 2)$. Pista: Recuerda que el grado del resto siempre es menor que el grado del divisor.

El beneficio neto semanal de una startup de venta de ropa vintage se modela mediante la función $B(x) = -x^3 + 15x^2 - 44x + 30$, donde $x$ es el número de miles de euros invertidos en marketing digital.

Para realizar una auditoría, los gestores necesitan conocer los puntos de equilibrio (donde el beneficio es cero). Sabiendo que para una inversión de $1000$ euros ($x=1$) el beneficio ya se anula, factoriza completamente el polinomio para hallar todos los valores de inversión que producen un beneficio nulo. Interpreta si existen valores de $x$ para los cuales la empresa entra en pérdidas basándote en la factorización.

Factoriza el polinomio $P(x) = 12x^3 + 8x^2 - 13x + 3$ sabiendo que no posee raíces enteras. Deberás aplicar el Teorema de la Raíz Racional para identificar los posibles candidatos de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ es divisor del término independiente y $q$ es divisor del coeficiente principal.

Una vez hallada la primera raíz racional, utiliza la regla de Ruffini y resuelve la ecuación de segundo grado resultante para encontrar las demás raíces y escribir la descomposición factorial completa.

Se desea construir un parque público con una fuente central de base rectangular. El área total destinada a la fuente es $A(x) = 2x^4 - 20x^2 + 18$ metros cuadrados. Los arquitectos necesitan que el área sea positiva para que el diseño sea viable.

Factoriza el polinomio $A(x)$ como producto de cuatro factores de primer grado. Utiliza esta factorización para determinar los intervalos de valores de $x$ (con $x > 0$) para los cuales el área es positiva y, por tanto, la fuente se puede construir.