Ejercicios: Monomios

Para entender cómo funcionan las expresiones matemáticas en economía, es fundamental identificar sus componentes. Completa la información solicitada para los siguientes monomios:

1. a) $7x^3$

1. b) $-x^2y$

1. c) $\frac{3}{5}ab^4$

Para cada uno de ellos, indica el coeficiente, la parte literal y el grado.

En el diseño de interfaces de usuario, a veces se usan variables para definir el tamaño de los elementos. Para que podamos sumar o restar dos elementos, sus monomios deben ser semejantes.

Determina cuáles de las siguientes parejas de monomios son semejantes entre sí:

1. a) $5x^2y$ y $-2x^2y$

1. b) $3ab^2$ y $3a^2b$

1. c) $-x$ y $\frac{1}{2}x$

1. d) $4z^3$ y $4z^2$

Simplifica las siguientes expresiones agrupando los monomios que sean semejantes, tal como harías al calcular el balance total de ingresos y gastos de una pequeña tienda:

1. a) $3x^2 + 5x^2 - 2x^2$

1. b) $7ab - 3ab + ab$

1. c) $4x^3 - 5x + 2x^3 + 9x$

Un arquitecto está diseñando un ventanal rectangular para una oficina de un banco. Las dimensiones del ventanal vienen dadas en función de una variable $x$ como se muestra en la imagen. Escribe el monomio que representa el área del ventanal.

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios. Recuerda que para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

1. a) $(4x^2) \cdot (3x^5)$

1. b) $(-2a^3b) \cdot (5ab^2)$

1. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^2y)$

Divide los siguientes monomios y simplifica el resultado. Ten en cuenta que para dividir monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las potencias de la misma base:

1. a) $\frac{12x^7}{3x^2}$

1. b) $\frac{-20a^4b^3}{5a^2b}$

1. c) $\frac{8x^3y^2}{2x^3y}$

En una empresa de diseño de envases, se están proyectando cajas de cartón con forma de prisma rectangular. El largo de la base mide el triple que el ancho ($x$) y la altura de la caja es la mitad del ancho.

1. Expresa mediante un monomio en la variable $x$ el perímetro de la base de la caja.

2. Expresa mediante un monomio el volumen total de la caja. Indica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio obtenido.

Simplifica las siguientes expresiones operando con monomios y reduce el resultado a su forma más sencilla:

1. a) $\displaystyle \frac{(15x^3y^2) \cdot (-2xy^4)}{6x^2y^3}$

1. b) $\displaystyle -3a^2b \cdot \left(\frac{1}{3}ab^3\right) + \frac{10a^3b^4}{2}$

Un analista financiero modeliza los beneficios de una startup tecnológica mediante el monomio $B(x, y) = 0,45x^2y$, donde $x$ representa el número de usuarios activos (en miles) e $y$ el gasto medio por usuario en marketing (en euros).

1. Calcula el valor numérico del beneficio si la empresa tiene $20.000$ usuarios ($x=20$) y el gasto en marketing es de $10$ € por usuario ($y=10$).

2. Si el número de usuarios se duplica y el gasto en marketing se reduce a la mitad, ¿qué ocurre con el beneficio total? Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de los monomios.

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando razonadamente tu respuesta mediante ejemplos o contraejemplos:

1. a) La suma de dos monomios de grado 3 es siempre otro monomio de grado 3.
2. b) El grado del monomio resultante de multiplicar un monomio de grado $n$ por otro de grado $m$ es $n + m$.
3. c) Al dividir dos monomios con la misma parte literal, el resultado es siempre un número real (grado 0).

En una parcela rectangular destinada a huertos urbanos, se quiere instalar un sistema de riego automático. La parcela principal tiene dimensiones $5x$ de largo por $3y$ de ancho. En su interior, se reserva un espacio cuadrado de lado $2x$ para un cobertizo de herramientas que no necesita riego.

1. Halla el monomio que representa el área total de la parcela.

2. Halla el monomio que representa el área que debe ser cubierta por el sistema de riego.

3. Calcula el área de riego si $x = 4$ metros e $y = 6$ metros.

Dados los monomios $M = \frac{2}{3}x^2y^3$, $N = \frac{1}{2}x^2y^3$ y $P = -\frac{5}{6}x^2y^3$:

1. Realiza la operación $M - N + P$ y simplifica el coeficiente resultante.

2. Multiplica el resultado anterior por el monomio $Q = 12xy$. Indica el grado final de la expresión obtenida.

Un equipo de economistas estudia la eficiencia de una planta solar. La energía producida al día (en kWh) viene dada por el monomio $E(s, t) = \frac{3}{4}s \cdot t^2$, donde $s$ es la superficie de paneles en metros cuadrados y $t$ es el tiempo de exposición solar efectiva en horas.

1. Si disponemos de una superficie $s = 8x^2$ y el tiempo de exposición es $t = 2x$, sustituye estos valores en la fórmula y obtén un único monomio en función de $x$.

2. Indica el grado relativo respecto a la variable $x$ del monomio resultante.

Encuentra el error en el siguiente proceso de simplificación realizado por un alumno y escribe la resolución correcta paso a paso:

Expresión original: $\displaystyle \frac{8x^5 + 4x^5}{2x^2}$

Paso 1 del alumno: $\displaystyle \frac{12x^{10}}{2x^2}$

Paso 2 del alumno: $\displaystyle 6x^5$

Explica qué propiedad de las potencias o de los monomios ha aplicado incorrectamente el alumno en cada paso.

En un centro de datos para inteligencia artificial, el volumen de aire necesario para refrigerar un rack de servidores se modela mediante el producto de tres dimensiones críticas. La altura es un monomio $A(x, y) = \frac{3}{4}x^2y$, la anchura es $B(x, y) = \frac{8}{9}xy^3$ y la profundidad es $C(x, y) = \frac{1}{2}x^3y^2$.

Obtén el monomio resultante que define el volumen total $V(x, y)$ del rack y determina su coeficiente, su parte literal y su grado global. ¿Qué ocurriría con el grado del monomio si duplicáramos la potencia de la variable $x$ en la profundidad?

Considera el monomio $M(a, b) = k \cdot a^{n+1} \cdot b^{2m-3}$. Se sabe que al dividir este monomio por $Q(a, b) = \frac{1}{3}a^2b^2$, se obtiene un monomio de grado 5 cuyo coeficiente es 12. Además, se conoce que en el monomio resultante, el grado relativo respecto a la variable $a$ es el triple que el grado relativo respecto a la variable $b$.

Calcula los valores de los parámetros $k$, $n$ y $m$.

Simplifica la siguiente expresión algebraica hasta reducirla a un único monomio. Ten en cuenta las propiedades de las potencias y opera con cuidado con los coeficientes fraccionarios:

Indica el grado del monomio resultante.

Un dron de mensajería consume energía según su velocidad $v$ y la masa de la carga $m$. El consumo por kilómetro viene dado por el monomio $E(m, v) = \frac{k}{100} \cdot m \cdot v^2$.

Si el dron transporta una carga que se expresa como el monomio $m = 5x^2y$ y se desplaza a una velocidad definida por el monomio $v = 2xy^3$, halla la expresión del consumo energético $E$ en función de $x$ e $y$. Si el valor numérico de $k$ es 0,5, calcula el consumo para $x = 2$ e $y = 1$.

Halla dos monomios $M_1$ y $M_2$ tales que su suma sea $10x^2y^3$ y su producto sea $16x^4y^6$. ¿Son estos monomios semejantes? Justifica tu respuesta basándote en la definición de semejanza y en los resultados obtenidos.

En el diseño de una nueva plaza circular, el arquitecto define el radio de la zona central como $R = 2x^2y$. Alrededor de esta zona, se proyecta un anillo ajardinado cuyo radio exterior es el triple del radio interior.

Expresa mediante un monomio el área de la superficie ajardinada (el anillo). Deja el resultado en función de $\pi$, $x$ e $y$. ¿Cuál es el grado de dicho monomio?

Se desea repartir una subvención gubernamental de $S$ euros entre un número de municipios $N$ que depende de la población. La subvención total está definida por el monomio $S(a, b) = 144a^6b^4$ y el número de municipios por $N(a, b) = (2a^2b)^2$.

Calcula el monomio que representa la cantidad de euros que recibirá cada municipio. Si debido a un ajuste presupuestario, la cantidad por municipio debe reducirse a la cuarta parte, ¿cuál sería el nuevo monomio resultante?

Determina el valor de los coeficientes reales $p$ y $q$ para que el producto de los monomios $A(x) = p x^{n+2}$ y $B(x) = q x^{2n-1}$ sea igual al monomio $C(x) = 15x^{10}$. Sabiendo además que si sumamos $A(x)$ y $B(x)$ cuando $n=3$, obtenemos un binomio cuyo valor numérico para $x=1$ es 8.

Resuelve el sistema para hallar $p$ y $q$.