Ejercicios: Sistemas de inecuaciones

Determina el conjunto de números reales que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones. Expresa el resultado en forma de intervalo y represéntalo sobre la recta real:

1. El doble de un número es mayor que 4.

2. Ese mismo número es menor o igual que 7.

Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente y halla su solución.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con una sola incógnita y determina si el valor $x = 3$ forma parte de la solución:

$\begin{cases} 2x - 5 < 3 \\ 3x + 2 \ge 8 \end{cases}$

Representa en el plano cartesiano la región de puntos $(x, y)$ que satisfacen la inecuación lineal:

$x + y \le 5$

Para ello, dibuja primero la recta asociada, elige un punto de prueba (como el origen de coordenadas) y sombrea el semiplano correcto.

Identifica gráficamente la región factible (el recinto de soluciones comunes) del siguiente sistema de inecuaciones en el primer cuadrante:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 6 \end{cases}$

Indica las coordenadas de los tres vértices que forman el triángulo de la solución.

Un estudiante de 1º de Bachillerato quiere organizar una fiesta de graduación. El coste del alquiler del local es de $200$ € y cada menú cuesta $15$ €. Si el presupuesto total disponible es de como máximo $1500$ € y esperan que asistan al menos $40$ personas:

1. a) Plantea un sistema de inecuaciones que modele esta situación, llamando $x$ al número de asistentes.
2. b) ¿Es posible que asistan $90$ personas a la fiesta? Justifica tu respuesta usando el sistema planteado.

Dado el siguiente gráfico que representa la solución de un sistema de inecuaciones, determina cuál de las opciones propuestas corresponde a las restricciones sombreadas:

A) $\begin{cases} x \le 2 \\ y \ge 1 \end{cases}$ dentro del primer cuadrante ($x \ge 0, y \ge 0$).

B) $\begin{cases} x \ge 2 \\ y \le 1 \end{cases}$

C) $\begin{cases} x \le 2 \\ y \le 1 \end{cases}$

Comprueba si los puntos $A(1, 1)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ son soluciones del sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x + y > 2 \\ 2x - y < 5 \end{cases}$

Debes verificar cada punto en ambas inecuaciones para confirmar si pertenecen a la región de intersección.

Una pequeña empresa fabrica dos tipos de fundas para móviles: el modelo "Eco" ($x$) y el modelo "Premium" ($y$). Por razones de producción, la empresa debe cumplir estas condiciones diarias:

1. El número total de fundas fabricadas no puede superar las $100$ unidades.

2. Se deben fabricar al menos $20$ fundas del modelo "Premium".

Plantea el sistema de inecuaciones que representa estas restricciones y dibuja de forma esquemática la región donde se encuentran las posibles combinaciones de producción.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una sola incógnita y representa la solución sobre la recta real, expresándola finalmente en forma de intervalo:

$\begin{cases} \frac{2x - 5}{3} \leq x + 1 \\ 3(x - 2) > 2x - 7 \end{cases}$

Determina de forma gráfica la región factible del plano que satisface el siguiente sistema de inecuaciones lineales. Indica si el punto $P(1, 2)$ forma parte de la solución:

$\begin{cases} 2x + y \geq 4 \\ x - 2y < 2 \\ y \leq 3 \end{cases}$

Una empresa de tecnología lanza dos nuevos modelos de auriculares inalámbricos: el modelo Sonic ($x$) y el modelo Bass ($y$). Debido a limitaciones de producción y mercado, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El número total de unidades fabricadas no puede superar las 80 diarias.

2. Para mantener la exclusividad, se deben fabricar al menos 20 unidades del modelo Sonic.

3. El número de unidades del modelo Bass no puede ser superior al triple del modelo Sonic.

Escribe el sistema de inecuaciones que representa estas restricciones y dibuja la región de soluciones posibles.

Halla el sistema de inecuaciones lineales que define la región sombreada en la siguiente figura:

Un nutricionista está diseñando una dieta que combina dos alimentos, $A$ y $B$. Cada unidad del alimento $A$ aporta 2 gramos de proteínas y 4 de carbohidratos. Cada unidad del alimento $B$ aporta 3 gramos de proteínas y 2 de carbohidratos. La dieta debe cumplir los siguientes requisitos mínimos diarios:

• Al menos 12 gramos de proteínas.

• Al menos 10 gramos de carbohidratos.

• No se pueden consumir más de 5 unidades del alimento $B$.

Plantea el sistema de inecuaciones y representa gráficamente la zona donde se cumplen todos los requisitos (región factible).

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de cuatro inecuaciones e indica si la región resultante es acotada (cerrada) o no acotada (abierta). Calcula las coordenadas de todos sus vértices:

$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ 2x - y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

Calcula el conjunto de valores de $x$ que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. El doble de $x$ aumentado en 10 unidades es mayor que su triple disminuido en 5.

2. La cuarta parte de $x$ es menor o igual que 4.

3. $x$ debe ser un número positivo.

Expresa la solución mediante una única inecuación con valor absoluto si es posible, o como un intervalo.

Una asociación juvenil promociona su fiesta anual con anuncios en la radio local ($x$) y carteles en los institutos de la comarca ($y$). Disponen de un presupuesto máximo de $2000$ € al mes. Cada anuncio de radio cuesta $200$ € y cada campaña de carteles $100$ €. Por estrategia de difusión, han decidido que:

• El número de campañas de carteles debe ser al menos igual al de anuncios de radio.

• Se deben realizar, como máximo, 8 acciones en total entre ambos medios.

• No pueden realizarse más de 6 campañas de carteles.

Representa gráficamente el área de decisión y propón tres combinaciones enteras de acciones que sean válidas.

Un estudio de grabación para jóvenes talentos en Madrid ofrece dos tipos de sesiones: Sesión Acústica ($x$) y Sesión Banda ($y$). Debido a la normativa de ruidos y a la disponibilidad de los técnicos, el estudio debe cumplir las siguientes restricciones semanales:

• El número total de sesiones no puede superar las 15.

• El tiempo de edición para una sesión acústica es de 2 horas y para una de banda es de 5 horas. El estudio no dispone de más de 50 horas de edición a la semana.

• Por políticas de promoción, el número de sesiones de banda debe ser, al menos, la mitad del número de sesiones acústicas.

• No se pueden realizar más de 8 sesiones de banda.

Representa gráficamente la región factible donde se encuentran las posibles combinaciones de sesiones y determina si es posible realizar 10 sesiones acústicas y 6 de banda cumpliendo todos los requisitos.

Determina el sistema de inecuaciones lineales que define el cuadrilátero convexo cuyos vértices son los puntos $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, $C(4, 6)$ y $D(2, 5)$. Debes expresar cada inecuación en la forma $ax + by \leq c$ o $ax + by \geq c$.

Un taller de artesanía produce pulseras ($x$) y collares ($y$) que vende en un mercadillo semanal. Se conocen las siguientes condiciones de producción diaria:

1. El coste de materiales es de $10\euro$ por pulsera y $30\euro$ por collar. El presupuesto total de materiales no puede exceder los $450\euro$ al día.

2. Por cada collar elaborado, deben producirse al menos 2 pulseras, ya que se venden como conjunto.

3. Debido al espacio en el expositor, el número de pulseras no puede superar en más de 10 al número de collares.

4. La suma del triple de collares y el número de pulseras debe ser al menos 15 para cubrir el pedido mínimo de una tienda local.

Plantea el sistema de inecuaciones, dibuja la región de soluciones y responde: ¿cuál es el número máximo de collares que se pueden producir bajo estas condiciones?

Sea el siguiente sistema de inecuaciones dependiente de un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 1 \\ y \geq 0 \\ y \leq k \end{cases}$$

Analiza cómo varía la forma de la región factible (si es un triángulo, un trapecio o si desaparece) en función de los valores que tome $k$. En particular, determina el valor de $k$ para el cual la región factible es un triángulo de área exactamente $8$ unidades cuadradas.

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones y comprueba si existe alguna solución entera $(x, y)$ que satisfaga todas las condiciones simultáneamente:

$$\begin{cases} \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{3} > 1 \\ 2x - y < 4 \\ x + 3y > 6 \\ y < 3 \end{cases}$$

Indica razonadamente si la región factible es abierta (no acotada) o cerrada (acotada).

Un centro deportivo ofrece cursos de Yoga y Pilates. Por normativa de seguridad sanitaria, el aforo total está limitado a 100 personas. Además:

• El número de alumnos de Yoga ($x$) no puede exceder el doble de los de Pilates ($y$).

• Para que el centro sea rentable, el ingreso total debe ser de al menos $3600\euro$. Yoga cuesta $30\euro/\text{mes}$ y Pilates $60\euro/\text{mes}$.

• Se requiere un profesor por cada 20 alumnos de Yoga y uno por cada 10 de Pilates. El centro solo dispone de 7 profesores en esa franja horaria.

Escribe el sistema de inecuaciones simplificado, dibuja la región factible y determina los puntos extremos (vértices).

Considera la región del plano definida por el siguiente sistema:

$$\begin{cases} y - x \leq 4 \\ y + x \geq 2 \\ y - 2x \geq -4 \\ y \leq 5 \end{cases}$$

1. Dibuja la región factible con precisión.

2. Calcula el área del polígono resultante.

3. Determina el punto de la región que minimiza la expresión $Z = x + y$, justificando tu respuesta a partir de la representación gráfica.