Ejercicios: El método de Gauss

En el método de Gauss, el objetivo es transformar un sistema de ecuaciones en uno escalonado (triangular) para que sea mucho más sencillo de resolver. Observa el siguiente sistema que ya se encuentra en forma escalonada y halla el valor de las incógnitas $x$, $y$ y $z$ mediante el proceso de sustitución regresiva (de abajo hacia arriba):

$\begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2y - z = 5 \\ 3z = 9 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Para facilitarte el trabajo, fíjate en que la variable $x$ ya ha sido eliminada de la segunda ecuación:

$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ y + 2z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$

Pista: Solo necesitas realizar una operación elemental sobre la tercera ecuación ($E_3$) usando la primera ($E_1$) para empezar a triangular el sistema.

Tres amigos, Alex, Bea y Carlos, han ido a una tienda de videojuegos para aprovechar las rebajas en suscripciones mensuales de diferentes plataformas.

• Alex compró una suscripción de tipo A, una de tipo B y una de tipo C por $30$ €.

• Bea compró dos de tipo B y una de tipo C por $25$ €.

• Carlos compró solo una suscripción de tipo C por $9$ €.

Plantea el sistema de ecuaciones y calcula el precio de cada tipo de suscripción ($A$, $B$ y $C$). ¿Es este un sistema ya escalonado?

A veces, para aplicar el método de Gauss de forma más eficiente, es útil intercambiar las filas del sistema. Dado el siguiente sistema:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y + z = 6 \\ 2y - 3z = -4 \end{cases}$

1. a) Explica por qué sería conveniente intercambiar la primera ecuación ($E_1$) por la segunda ($E_2$) antes de empezar a operar.
2. b) Escribe el sistema resultante tras el intercambio y realiza el primer paso de Gauss para eliminar la $x$ de la nueva segunda ecuación.

Al finalizar el proceso de Gauss, un estudiante llega a la siguiente matriz de coeficientes (donde la última columna es el término independiente):

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

1. a) Escribe el sistema de ecuaciones asociado a esta matriz.
2. b) Basándote en la última fila, indica si el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. Razona tu respuesta.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de Gauss paso a paso:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

Sugerencia: Resta la primera ecuación a la segunda y a la tercera para eliminar las $x$ de un solo paso.

En un torneo de e-sports local, se premia a los equipos según los objetivos conseguidos: torres destruidas ($x$), dragones capturados ($y$) y jugadores eliminados ($z$). Sabemos que:

1. El total de acciones ($x + y + z$) de un equipo fue de $20$.

2. Destruyeron el mismo número de torres que de dragones capturados ($x - y = 0$).

3. Capturaron $4$ dragones ($y = 4$).

Utiliza estos datos para formar un sistema escalonado y determina cuántas acciones de cada tipo realizó el equipo.

Determina si el siguiente sistema tiene solución o no, aplicando el método de Gauss hasta obtener la última fila:

$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 10 \\ 3x - y + z = 2 \end{cases}$

Justifica tu respuesta analizando la relación entre la primera y la segunda ecuación.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación de Gauss. Recuerda organizar los pasos para obtener una estructura triangular antes de calcular el valor de las incógnitas:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + y - 2z = -2 \end{cases}$$

Una joven inversora decide diversificar sus ahorros de $12.000$ € en tres productos financieros diferentes: una cuenta de ahorros que rinde el $2\%$, un fondo de inversión que rinde el $5\%$ y acciones tecnológicas con un rendimiento del $8\%$.

Se sabe que:

• La suma total de los intereses anuales obtenidos es de $600$ €.

• La cantidad invertida en acciones tecnológicas es la mitad de la suma de las otras dos inversiones.

Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo mediante Gauss para hallar cuánto dinero invirtió en cada producto.

Una empresa de logística utiliza tres tipos de furgonetas (Pequeña, Mediana y Grande) para repartir paquetes. Ayer realizaron tres rutas con las siguientes características:

• Ruta A: 2 pequeñas, 1 mediana y 3 grandes, transportando un total de $26$ contenedores.

• Ruta B: 1 pequeña, 4 medianas y 1 grande, transportando un total de $22$ contenedores.

• Ruta C: 3 pequeñas, 2 medianas y 2 grandes, transportando un total de $23$ contenedores.

Calcula la capacidad de carga de cada tipo de furgoneta aplicando el método de Gauss.

Analiza y resuelve el siguiente sistema. Si el sistema resulta ser compatible indeterminado, expresa la solución general utilizando un parámetro $\lambda$ (o $t$):

$$\begin{cases} x - 3y + 2z = 4 \\ 2x + y - 3z = 1 \\ 5x - 8y + 3z = 13 \end{cases}$$

Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que no tenga solución):

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + kz = 10 \end{cases}$$

Pista: Utiliza el método de Gauss y observa qué ocurre en la última fila de la matriz resultante.

En una cafetería del centro de Madrid, un grupo de amigos ha merendado.

• El primer día, por 2 cafés, 1 refresco y 1 trozo de tarta, pagaron $11$ €.

• El segundo día, por 1 café, 2 refrescos y 2 trozos de tarta, pagaron $16$ €.

• El tercer día, por 3 cafés y 3 trozos de tarta (sin refrescos), pagaron $18$ €.

Determina el precio unitario de cada producto mediante el método de Gauss. ¿Es posible que el sistema tenga infinitas soluciones o el precio es único? Justifica tu respuesta.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, utiliza Gauss para discutir su naturaleza según el valor del resultado final. Si el sistema es compatible determinado, halla los valores de $x$, $y$ y $z$:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ -x + 2y + z = 1 \\ 4x + y + 3z = 8 \end{cases}$$

Un taller de artesanos fabrica tres tipos de lámparas: modelo Alfa, modelo Beta y modelo Gamma.

• Para fabricar una lámpara Alfa se necesitan 20 minutos de ensamblaje, 10 de pintura y 10 de embalaje.

• Para una Beta, 10 minutos de ensamblaje, 20 de pintura y 10 de embalaje.

• Para una Gamma, 10 minutos de ensamblaje, 10 de pintura y 20 de embalaje.

Si el taller ha dedicado hoy un total de $100$ horas al ensamblaje, $100$ horas a la pintura y $100$ horas al embalaje, ¿cuántas lámparas de cada tipo han fabricado?

Nota: Recuerda pasar todas las unidades de tiempo a la misma medida (minutos u horas) antes de plantear el sistema.

En una pequeña empresa de tecnología se están gestionando tres proyectos de inteligencia artificial: Alpha, Beta y Gamma. El presupuesto total asignado para los tres es de $450.000$ €. Se sabe que el coste del proyecto Gamma es igual a la suma del coste de Alpha más el doble de Beta. Además, si al triple del coste de Alpha le restamos el coste de Gamma, obtenemos exactamente el coste de Beta aumentado en $10.000$ €.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales y utiliza el método de Gauss para determinar la inversión exacta que requiere cada uno de los proyectos.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro real $k$, utilizando el procedimiento de escalonamiento de Gauss:

$\begin{cases} x + y + kz = 1 \\ x + ky + z = k \\ kx + y + z = k^2 \end{cases}$

Indica para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. Resuélvelo para el caso en el que sea Compatible Indeterminado.

Una cooperativa agrícola mezcla tres tipos de aceites de oliva: Virgen Extra ($x$), Virgen ($y$) y Lampante ($z$) para obtener una partida de $1000$ litros. El Virgen Extra cuesta $8$ €/litro, el Virgen $6$ €/litro y el Lampante $3$ €/litro. El coste total de la mezcla ha sido de $5800$ €.

Debido a normativas de calidad, la cantidad de aceite Virgen debe ser exactamente el triple de la diferencia entre el Virgen Extra y el Lampante.

Determina mediante el método de Gauss cuántos litros de cada tipo de aceite contiene la mezcla.

Halla un número de tres cifras sabiendo que la suma de sus cifras es $12$. Si se intercambia la cifra de las centenas por la de las unidades, el número disminuye en $198$ unidades. Por último, sabemos que el doble de la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos cifras más $3$.

Plantea el sistema correspondiente y resuélvelo por Gauss.

Un inversor dispone de $60.000$ € que reparte entre tres productos financieros con rentabilidades anuales del $2\%$, $4\%$ y $6\%$ respectivamente. Al finalizar el año, los beneficios totales han sido de $2.600$ €. Si el capital invertido al $6\%$ es la media aritmética de los otros dos capitales invertidos, ¿qué cantidad destinó a cada producto?

Resuelve aplicando el método de Gauss.

Estudia y resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a$:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + ay + z = 0 \\ 3x + 4y + (a-1)z = 3 \end{cases}$

Analiza los casos en los que el sistema no tiene solución y el caso en el que tiene infinitas soluciones. En este último caso, expresa la solución general.

Una fábrica de muebles produce tres modelos de estanterías: Básico, Estándar y Lujo. Cada modelo requiere pasar por tres departamentos: Carpintería, Barnizado y Montaje. El tiempo (en horas) requerido por cada unidad se detalla en la siguiente tabla:

Departamento	Básico	Estándar	Lujo
Carpintería	$1$	$2$	$3$
Barnizado	$1$	$1$	$2$
Montaje	$0,5$	$1$	$1$

Si la fábrica dispone semanalmente de $400$ horas de Carpintería, $250$ horas de Barnizado y $160$ horas de Montaje, ¿cuántas estanterías de cada tipo debe fabricar para agotar exactamente las horas disponibles? Utiliza el método de Gauss para resolver el sistema resultante.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde los coeficientes son fracciones:

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 7 \\ x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 11 \\ \frac{x}{3} + y + \frac{z}{2} = 12 \end{cases}$

Transforma el sistema para trabajar con coeficientes enteros y utiliza el método de Gauss para hallar los valores de $x$, $y$ y $z$. Explica paso a paso cada operación elemental que realices sobre las filas de la matriz.