Ejercicios: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales escribiendo ambos miembros como potencias de la misma base:

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

Aplicando la definición de logaritmo, resuelve:

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Resuelve las ecuaciones:

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales con la incógnita en una expresión del exponente:

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Resuelve las ecuaciones tomando logaritmos decimales en ambos miembros. Expresa la solución exacta como cociente de logaritmos (no hace falta dar el valor decimal):

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Resuelve aplicando la función inversa adecuada:

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Resuelve la ecuación $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ haciendo el cambio de variable $t = 2^{x}$. Comprueba las soluciones obtenidas.

Resuelve la ecuación $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$ sacando factor común de la potencia más pequeña. Comprueba la solución.

Resuelve la ecuación logarítmica $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ y comprueba la validez de cada solución candidata.

Resuelve la ecuación $\log x + \log(x + 3) = 1$, donde $\log$ denota el logaritmo decimal. ¿Por qué una de las soluciones de la ecuación de segundo grado asociada hay que descartarla?

Resuelve la ecuación $3^{x - 1} = 2^{x}$ tomando logaritmos neperianos en ambos miembros. Expresa la solución exacta en función de logaritmos y da su valor aproximado con dos decimales.

Resuelve el sistema logarítmico:

Comprueba que la solución verifica las dos ecuaciones y que los valores son válidos para los logaritmos.

Resuelve el sistema exponencial:

Indicación: convierte cada ecuación en una ecuación lineal para los exponentes.

En la figura se han representado la curva $y = 2^{x}$ y la recta $y = 5$.

1. a) Explica por qué la solución de la ecuación $2^{x} = 5$ es la abscisa del punto de corte marcado con «?».

1. b) Acota la solución entre dos enteros consecutivos usando la gráfica o por tanteo.

1. c) Expresa la solución exacta mediante un logaritmo y calcula su valor aproximado con tres decimales.

Resuelve la ecuación exponencial $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ siguiendo estos pasos:

1. a) Expresa $9^{x}$ como potencia de base $3$ y haz el cambio de variable $t = 3^{x}$.

1. b) Resuelve la ecuación de segundo grado resultante.

1. c) Deshaz el cambio, comprueba cada solución en la ecuación original y descarta las que no sean válidas.

Resuelve la ecuación logarítmica $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$.

1. a) Expresa $\log_{4} x$ en función de $\log_{2} x$ usando el cambio de base.

1. b) Resuelve la ecuación resultante y comprueba la solución.

Un alumno resuelve la ecuación $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x - 3) = 3$ así:

«$\log_{2}[(x - 1)(x - 3)] = 3 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 8 \Rightarrow x^{2} - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ y $x = -1$. Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones: $x = 5$ y $x = -1$.»

1. a) Explica dónde está el error de su conclusión, aunque las cuentas sean correctas.

1. b) Escribe la resolución completa y correcta, indicando qué comprobación es obligatoria en toda ecuación logarítmica.

Resuelve la ecuación $4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0$.

1. a) Reescribe la ecuación usando solo potencias de base $2$ y haz el cambio $t = 2^{x}$.

1. b) Resuelve la ecuación de segundo grado en $t$.

1. c) Deshaz el cambio y comprueba las dos soluciones.

Una familia ingresa $5.000\ \text{ €}$ en un depósito al $4 \%$ de interés compuesto anual, de modo que el capital al cabo de $t$ años es $C(t) = 5.000 \cdot 1,04^{t}$.

1. a) Plantea la ecuación exponencial que determina cuántos años deben pasar para que el capital llegue a $8.000\ \text{ €}$.

1. b) Resuélvela aplicando logaritmos y expresa el resultado redondeado a meses.

1. c) Sin hacer toda la cuenta, razona si con un interés del $2 \%$ el tiempo necesario sería exactamente el doble. Comprueba tu conjetura con el cálculo.

Resuelve las siguientes ecuaciones, en las que la incógnita aparece en lugares poco habituales:

1. a) $\log_{x} 8 = \frac{3}{2}$ (la incógnita es la base del logaritmo; recuerda qué valores puede tomar una base).

1. b) $\log_{3}(x + 2) - \log_{3}(x - 2) = 1$ (aplica la propiedad del logaritmo de un cociente y comprueba la solución).

Una colonia de bacterias crece a un ritmo del $15 \%$ diario de forma acumulativa. Si inicialmente hay $2.000$ bacterias:

1. a) Escribe la expresión del número de bacterias al cabo de $t$ días y plantea la inecuación que determina cuándo la población superará las $10.000$ bacterias.

1. b) Resuélvela utilizando logaritmos y concluye cuántos días enteros deben transcurrir como mínimo.