Ejercicios: Ecuaciones de primer y segundo grado

Un creador de contenido en una conocida red social observa que el número de nuevos seguidores que consigue cada día sigue una tendencia lineal. Si el número de seguidores $x$ satisface la siguiente ecuación, ¿cuántos seguidores ha ganado hoy?

$3(x - 15) + 2x = 2(x + 30)$

Para completar un nivel en un videojuego de estrategia, necesitas repartir tus recursos de oro. La cantidad de monedas de oro $x$ que debes asignar a cada mina viene dada por la resolución de la siguiente ecuación con denominadores:

$\dfrac{x}{4} - \dfrac{x - 2}{3} = 1$

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta. Recuerda que, en este tipo de ecuaciones, extraer factor común suele ser el método más rápido para encontrar las dos soluciones:

$3x^2 - 15x = 0$

Un estudio de fotografía quiere imprimir carteles cuadrados para una exposición. Si el doble del área de uno de estos carteles es igual a $50$ $dm^2$, calcula la medida del lado $x$ del cartel resolviendo la ecuación:

$2x^2 = 50$

Halla las soluciones reales de la siguiente ecuación de segundo grado completa utilizando la fórmula general $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x^2 - x - 6 = 0$

Encuentra una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ cuyas soluciones sean $x_1 = 3$ y $x_2 = -4$.

Pista: Recuerda que si conoces las raíces, puedes escribir la ecuación como $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.

La edad de Javier es el triple que la de su hermana menor, Elena. Si sabemos que la suma de sus edades es de $20$ años, plantea una ecuación de primer grado y resuélvela para averiguar la edad de cada uno.

El perímetro de una parcela rectangular de un huerto urbano mide $24$ metros. Si sabemos que la base mide el doble que la altura, calcula las dimensiones de la parcela (base y altura) planteando una ecuación de primer grado.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención al cálculo del mínimo común múltiplo y al efecto de los signos negativos delante de las fracciones:

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - 10x + k = 0$, determina razonadamente el valor del parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (raíz doble). Una vez hallado $k$, indica cuál es esa solución.

En el diseño de una zona verde, un paisajista quiere crear un parterre rectangular cuya base sea 4 metros más larga que su altura. Si el área total del parterre debe ser de $96 \text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la base y la altura.

Halla una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ sabiendo que la suma de sus raíces es $s = 7$ y el producto de las mismas es $p = 10$. Comprueba tu resultado resolviendo la ecuación obtenida mediante la fórmula general.

Una empresa de mensajería cobra una tarifa fija de $5 \text{ €}$ por el envío de un paquete, más un coste adicional por cada kilómetro de distancia. Si por un envío a una ciudad situada a $120 \text{ km}$ han cobrado $23 \text{ €}$:

1. Determina la ecuación de primer grado que relaciona el coste total ($C$) con la distancia ($d$).

2. Calcula cuánto costará enviar un paquete a una distancia de $350 \text{ km}$.

Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado sin utilizar la fórmula general, aplicando la extracción de factor común o el despeje directo:

1. $3x^2 - 27 = 0$

2. $5x^2 + 15x = 0$

Un centro deportivo ofrece un abono mensual. Si se inscriben 20 personas más de las previstas, el coste por persona bajaría $4 \text{ €}$ para mantener la misma recaudación total de $2400 \text{ €}$. Plantea la ecuación correspondiente para averiguar cuántas personas se habían previsto inicialmente.

Determina los puntos de intersección entre la recta $y = 2x + 1$ y la parábola $y = x^2 - 2$. Para ello, iguala ambas expresiones y resuelve la ecuación de segundo grado resultante. Representa esquemáticamente la situación.

En una ecuación de segundo grado de la forma $x^2 - (k+3)x + 2k = 0$, determina los valores que debe tomar el parámetro real $k$ para que las dos raíces de la ecuación sean números enteros consecutivos. Una vez hallado $k$, indica cuáles serían dichas soluciones para cada valor encontrado.

Una empresa de marketing digital ha comprobado que el éxito de una campaña en redes sociales (medido en miles de "me gusta") sigue un modelo racional dependiendo del tiempo $x$ (en semanas) según la siguiente expresión:

Halla el valor de $x$ que satisface esta ecuación. No olvides comprobar si los valores obtenidos son válidos dentro del dominio de las expresiones racionales planteadas.

Se desea diseñar un jardín urbano rectangular en el centro de Madrid. El espacio central destinado a césped tiene unas dimensiones de $15$ metros de largo por $10$ metros de ancho. Alrededor de este espacio se quiere construir un camino de grava de ancho uniforme $x$. Calcula el valor de dicho ancho $x$ sabiendo que el área total del camino de grava debe ser exactamente igual a las tres cuartas partes del área destinada solo al césped.

Resuelve la siguiente ecuación con radicales dobles y asegúrate de verificar la validez de las soluciones obtenidas en la expresión original:

Un joven emprendedor fabrica fundas personalizadas para móviles utilizando una impresora 3D. El coste total diario $C$ (en euros) viene dado por la expresión $C = x^2 - 10x + 200$, donde $x$ es el número de fundas producidas. Si vende cada funda a un precio fijo de $20$ euros, ¿cuántas fundas debe producir y vender al día para que su beneficio neto sea de exactamente $25$ euros?

(Recuerda que el Beneficio = Ingresos Totales - Costes Totales).

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - mx + 36 = 0$, donde $m$ es un número real, determina el valor de dicho coeficiente $m$ sabiendo que la suma de los inversos de sus raíces, $x_1$ y $x_2$, es igual a $\frac{5}{12}$.

(Pista: Utiliza las relaciones de Cardano entre los coeficientes y las raíces: $x_1 + x_2 = -b/a$ y $x_1 \cdot x_2 = c/a$).

Halla las soluciones de la siguiente ecuación racional, prestando especial atención a la simplificación de los términos y a la posible aparición de soluciones extrañas:

Un club de aeromodelismo organiza una prueba de vuelo: un dron debe realizar un trayecto de ida y vuelta entre dos puntos de control situados a una distancia de $12$ km. El dron vuela a una velocidad constante respecto al aire. Durante el trayecto de ida, el dron tiene viento a favor de $10$ km/h, pero en el trayecto de vuelta tiene ese mismo viento en contra. Sabiendo que el dron ha tardado un total de $54$ minutos en completar el viaje de ida y vuelta, calcula la velocidad propia del dron (en km/h) cuando no hay viento.