Ejercicios: Teorema de Rouché-Frobenius

Dos empresas de mensajería analizan sus rutas en un mapa. Sus trayectorias vienen definidas por las siguientes ecuaciones en un sistema de dos dimensiones:

$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}$

A partir de la representación gráfica mostrada, indica el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$, y clasifica el sistema utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones ya escalonado tras aplicar el método de Gauss:

$\begin{cases} x - y + 3z = 5 \\ \quad \quad 2y + z = 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0z = 0 \end{cases}$

Determina, sin resolverlo, el valor de $rg(A)$ y $rg(A^*)$. ¿Es el sistema compatible determinado o indeterminado? Justifica tu respuesta según el número de incógnitas.

Un analista financiero utiliza un modelo de tres variables (ahorros, inversión y deuda). Tras calcular los rangos de las matrices asociadas al sistema, obtiene que:

• $rg(A) = 2$

• $rg(A^*) = 3$

Explica razonadamente, basándote en el Teorema de Rouché-Frobenius, si el analista podrá encontrar una combinación de valores que satisfaga todas las condiciones del modelo.

Considera un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sabemos que el determinante de su matriz de coeficientes es $|A| = 0$.

1. a) ¿Cuál es el valor de $rg(A^*)$ comparado con $rg(A)$ en cualquier sistema homogéneo?
2. b) Según el Teorema de Rouché-Frobenius, ¿puede este sistema ser incompatible? Explica por qué.

En una tienda de videojuegos, el precio de tres productos $x$, $y$, $z$ se rige por el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 60 \\ 2x - y + z = 20 \\ 3x + 2z = 80 \end{cases}$

Observa la relación entre las filas de la matriz ampliada. Si la tercera ecuación es la suma de las dos primeras, ¿cuál es el rango máximo que puede tener la matriz de coeficientes? Clasifica el sistema.

Dadas las matrices de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x$ e $y$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 2 \end{pmatrix}$

Determina para qué valor de $k$ el rango de la matriz $A$ es igual a 1. Para ese valor de $k$, ¿qué ocurre con el rango de $A^*$? Clasifica el sistema resultante.

Relaciona cada una de las siguientes situaciones de rangos con su interpretación geométrica en el espacio (tres dimensiones):

1. $rg(A) = rg(A^*) = 3$

2. $rg(A) = rg(A^*) = 2$

3. $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$

Opciones de geometría:

• Los tres planos se cortan en una única recta común.

• Los tres planos se cortan en un único punto.

• Los tres planos no tienen ningún punto en común (forman un "prisma" o son paralelos).

Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas justificando brevemente tu respuesta mediante el Teorema de Rouché-Frobenius:

1. a) Si un sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, siempre es incompatible.
2. b) Un sistema compatible determinado siempre cumple que $|A| \neq 0$ (siendo $A$ la matriz de coeficientes cuadrada).
3. c) Si $rg(A) = rg(A^*)$, el sistema siempre tiene solución.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

Utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para discutir la compatibilidad del sistema según los diferentes valores de $k$. No es necesario resolverlo.

Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. El número total de vehículos es 25. Se sabe que el número de furgonetas es el doble que el de camiones pesados y que, debido a una restricción presupuestaria, el coste de mantenimiento mensual sigue esta relación: $x + my + z = 100$, donde $x, y, z$ son las unidades de cada vehículo y $m$ es un factor de coste variable.

1. a) Escribe el sistema de ecuaciones que representa la situación.
2. b) Discute para qué valores de $m$ el sistema tiene una solución única (es decir, cuándo podemos saber exactamente cuántos vehículos de cada tipo hay).

Dado el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y - 2z = 1 \\ 3x - y - z = a \end{cases}$

Determina, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, el valor del parámetro $a$ para que el sistema sea compatible indeterminado. Interpreta este resultado en términos de la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones.

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + y + 2z = 5 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

¿Es posible eliminar una de las ecuaciones sin que cambie la solución del sistema? Justifica tu respuesta comparando los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Un inversor reparte $10.000$ € entre tres productos financieros $A$, $B$ y $C$. La rentabilidad del producto $A$ es del $5\%$, la de $B$ es del $10\%$ y la de $C$ es del $2\%$. Al final del año, el beneficio total es de $700$ €.

1. a) Demuestra, usando el Teorema de Rouché-Frobenius, que el sistema planteado es compatible indeterminado.
2. b) Si el inversor decide que la cantidad invertida en $A$ sea igual a la suma de las cantidades en $B$ y $C$, ¿pasa el sistema a ser compatible determinado? Explica por qué basándote en los rangos.

Determina el valor de $m$ para que el siguiente sistema sea incompatible:

$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x + 2y + z = 2 \\ x - y + mz = 1 \end{cases}$

Explica el significado de "sistema incompatible" en este contexto utilizando el concepto de rango.

Sea el sistema:

$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Discute el sistema según los valores de $a$.
2. b) En los casos en los que el sistema sea compatible, indica si la solución será única o si habrá infinitas soluciones según el número de incógnitas y el rango alcanzado.

Una empresa de montaje de ordenadores de alto rendimiento ofrece tres configuraciones de refrigeración líquida: Basic, Pro y Extreme.

• El modelo Basic utiliza 2 ventiladores, 1 bomba y 3 racores.

• El modelo Pro utiliza 4 ventiladores, 2 bombas y 8 racores.

• El modelo Extreme utiliza 6 ventiladores, 3 bombas y $m$ racores.

Se sabe que el taller dispone hoy de un stock de 20 ventiladores y 10 bombas.

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones que relacione la cantidad de equipos de cada tipo que se pueden montar ($x, y, z$) consumiendo exactamente el stock de ventiladores y bombas.
2. b) Utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para determinar para qué valor de $m$ el sistema es compatible indeterminado.
3. c) Si se fija $m$ para que el sistema sea compatible indeterminado, ¿es posible montar algún equipo del modelo Extreme si se quieren usar exactamente 42 racores? Justifica tu respuesta.

Determina los valores de los parámetros reales $k$ y $t$ para que el siguiente sistema sea Compatible Indeterminado con dos grados de libertad (es decir, que la solución dependa de dos parámetros):

$$\begin{cases} x - 2y + z = t \\ 2x - 4y + 2z = 4 \\ -x + 2y - z = k \end{cases}$$

Explica razonadamente la relación entre los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada en este caso.

Analiza la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas en función del parámetro $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 11 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}$$

¿Existe algún valor de $m$ para el que el sistema tenga infinitas soluciones? ¿Y para que sea incompatible? Argumenta tu respuesta basándote en el rango de las matrices.

Considera los tres planos en el espacio cuyas ecuaciones son:

$\pi_1: kx + y + z = 1$

$\pi_2: x + ky + z = 1$

$\pi_3: x + y + kz = 1$

Estudia su posición relativa según los valores de $k$. Identifica para qué valores de $k$ los tres planos se cortan en una única recta y calcula la ecuación de dicha recta.

Un inversor reparte 100.000 € entre tres tipos de productos financieros: bonos del Estado al 3%, acciones tecnológicas al 5% y criptoactivos al 10%.

Al finalizar el año, los beneficios totales han sido de 6.000 €. El inversor observa que si hubiera invertido en bonos la mitad de lo que invirtió en acciones, y en criptoactivos el triple de lo que invirtió en bonos, sus beneficios totales habrían sido de $B$ euros.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones asociado al problema (llamando $x, y, z$ a las cantidades invertidas en cada producto).
2. b) Discute la compatibilidad del sistema según el valor de $B$.
3. c) Determina el valor de $B$ que hace que el sistema sea Compatible Indeterminado y explica qué significa esta situación para el inversor.

Se considera la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$ de un sistema de ecuaciones:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & k \\ -1 & m & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

1. a) Determina los valores de $m$ y $k$ para que el rango de la matriz $A$ sea 2.
2. b) Para los valores hallados en a), utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para discutir si el sistema $A \cdot X = B$ es compatible o incompatible.
3. c) En caso de ser incompatible, ¿qué cambio mínimo realizarías en la matriz $B$ para que el sistema pasara a ser compatible indeterminado? Justifica tu respuesta.