Ejercicios: La regla de Cramer

Para empezar a trabajar con la regla de Cramer, es fundamental identificar qué sistemas permiten su uso directo. Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - y = 2 \end{cases}$

1. a) Calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, $|A|$.
2. b) Justifica si es un sistema de tipo Cramer.
3. c) Halla el valor de la incógnita $x$ calculando únicamente el determinante de la matriz asociada a dicha variable, $|A_x|$, y aplicando la fórmula de Cramer.

Aplica la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $3 \times 3$. Asegúrate de calcular primero el determinante general del sistema para comprobar que tiene solución única:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

En un examen de Matemáticas II, se pide a los alumnos que identifiquen sistemas de tipo Cramer sin resolverlos. Indica razonadamente cuál de los siguientes sistemas no se puede resolver mediante la regla de Cramer directamente:

1. a) $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 10 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + z = 2 \\ z = 3 \end{cases}$

Imagina que estás gestionando los puntos de un equipo en un videojuego. El sistema de puntuación depende de tres tipos de misiones ($x$, $y$, $z$) y viene dado por:

$\begin{cases} 2x + y + z = 10 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 12 \end{cases}$

Utiliza la regla de Cramer para calcular únicamente el valor de $z$, que representa las misiones de nivel experto. No es necesario que halles el valor de $x$ ni de $y$.

Dos amigos, Lucas y Sofía, han ido a una tienda de fundas para el móvil y protectores de pantalla. Lucas compró 2 fundas y 3 protectores por 22 €. Sofía compró 3 fundas y 2 protectores por 23 €.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones asociado al problema.
2. b) Utiliza los determinantes $|A|$, $|A_x|$ y $|A_y|$ para encontrar el precio de una funda ($x$) y de un protector ($y$) mediante la regla de Cramer.

Considera el siguiente sistema homogéneo:

$\begin{cases} 2x - 3y + z = 0 \\ x + y - 2z = 0 \\ 3x - 2y - z = 0 \end{cases}$

1. a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$.
2. b) Basándote en el resultado anterior y sin realizar más cálculos de determinantes, explica cuántas soluciones tiene el sistema y cuál es la solución principal que siempre verifica un sistema de este tipo.

En un sistema de ecuaciones lineales $AX = B$, sabemos que el determinante de la matriz de coeficientes es $|A| = 5$. Si queremos hallar el valor de la incógnita $y$ y sabemos que el determinante de la matriz que resulta de sustituir la segunda columna por los términos independientes es $|A_y| = -15$:

1. a) ¿Cuál es el valor de la incógnita $y$ según la regla de Cramer?
2. b) Si además sabemos que $x = 4$, ¿cuánto debe valer el determinante $|A_x|$?

Resuelve el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer. Se trata de un sistema donde una de las incógnitas ya está "despejada" en la estructura, lo que simplifica los cálculos de los determinantes:

$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x - y = 1 \\ 3y + 2z = 7 \end{cases}$

Comprueba tu resultado sustituyendo los valores obtenidos en la primera ecuación.

Un equipo de e-sports ha participado en un torneo donde se otorgan puntos por partidas ganadas ($x$), empatadas ($y$) y por objetivos secundarios cumplidos ($z$). El sistema que describe su puntuación es el siguiente:

$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x - y + 3z = 13 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$

Utiliza la regla de Cramer para hallar cuántas partidas ganaron, cuántas empataron y cuántos objetivos secundarios consiguieron.

Dado el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

Determina para qué valores de $k$ el sistema es un sistema de Cramer y resuélvelo para $k = 0$.

Un servicio municipal de movilidad compartida utiliza tres tipos de vehículos: bicicletas urbanas, bicicletas eléctricas y patinetes. Se sabe que el consumo de energía semanal (en cientos de kWh) cumple las siguientes relaciones:

$\begin{cases} 2x + 3y + z = 11 \\ x - 2y + 3z = 6 \\ 3x + y - 2z = 1 \end{cases}$

Donde $x, y, z$ representan la flota de cada vehículo respectivamente. Calcula el número de unidades de cada tipo utilizando determinantes.

Expresa en forma matricial $A \cdot X = B$ el siguiente sistema y, tras comprobar que el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, halla el valor de la incógnita $y$ aplicando exclusivamente la fórmula de la regla de Cramer:

$\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 3x - y + 2z = 1 \\ 2x + 3y + z = 2 \end{cases}$

Un nutricionista diseña una dieta con tres alimentos básicos $A, B$ y $C$. El sistema de ecuaciones que relaciona las porciones de cada alimento con los gramos de proteínas, hidratos y grasas totales es:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y = 7 \\ 3x + 2y + z = 13 \end{cases}$

¿Es posible aplicar la regla de Cramer directamente para resolver este sistema? Justifica tu respuesta analizando el determinante de la matriz asociada y, en caso afirmativo, calcula cuántas porciones del alimento $z$ deben incluirse.

Tres planos en el espacio vienen dados por las ecuaciones del siguiente sistema:

$\pi_1: x + y + z = 2$

$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$

$\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$

Determina el valor de $k$ para que los tres planos se corten en un único punto y halla las coordenadas de dicho punto mediante la regla de Cramer para ese valor de $k$.

Se sabe que en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas $AX=B$, los determinantes de las matrices auxiliares son $|A_x| = 12$, $|A_y| = -6$ y $|A_z| = 0$. Si se conoce que la solución para $x$ es $2$, utiliza la lógica de la regla de Cramer para determinar el valor del determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ y el valor de las incógnitas $y$ y $z$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, prestando especial atención al manejo de los términos independientes negativos:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = -10 \\ 2x + y - 3z = 5 \\ x - y + 2z = -5 \end{cases}$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

1. a) Discute el sistema utilizando el teorema de Rouché-Frobenius según los valores de $k$.
2. b) En el caso en que el sistema sea un sistema de Cramer, resuelve para la incógnita $y$ aplicando la regla de Cramer. Expresa el resultado como una fracción algebraica simplificada en términos de $k$.

Tres agencias de marketing digital, Alpha, Beta y Gamma, gestionan las campañas de un nuevo videojuego. Se sabe que:

• El coste total de las tres campañas ha sido de $12\,000$ €.

• La inversión en Beta es el doble de la diferencia entre la inversión en Gamma y la inversión en Alpha.

• Si la inversión en Alpha se triplicara, la de Beta se redujera a la mitad y la de Gamma aumentara en $1\,000$ €, el coste total sería de $19\,000$ €.

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita calcular cuánto ha invertido cada agencia.
2. b) Demuestra que es un sistema de Cramer.
3. c) Utiliza la regla de Cramer para hallar el presupuesto destinado a la agencia Gamma.

Se considera el sistema de ecuaciones:

1. a) Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema no admite la regla de Cramer.
2. b) Para $a = 0$, resuelve el sistema completo utilizando exclusivamente la regla de Cramer.
3. c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el valor de la incógnita $z$ sea igual a $0$ siendo el sistema compatible determinado? Justifica tu respuesta.

Una empresa de logística utiliza tres tipos de furgonetas ($A$, $B$ y $C$) para repartir paquetes. El lunes utilizaron $4$ de tipo $A$, $1$ de tipo $B$ y $3$ de tipo $C$ para repartir $130$ paquetes. El martes, con $2$ de tipo $A$, $5$ de tipo $B$ y $1$ de tipo $C$, repartieron $110$ paquetes. El miércoles, repartieron $120$ paquetes usando $3$ furgonetas de cada tipo.

1. a) Escribe la matriz de coeficientes y calcula su determinante.
2. b) Sabiendo que el sistema es compatible determinado, ¿cuál es la capacidad de carga de la furgoneta tipo $B$? Resuélvelo mediante la regla de Cramer.
3. c) Si una cuarta furgoneta de tipo $D$ tiene una capacidad igual a la suma de las capacidades de $A$ y $C$ menos la de $B$, ¿cuántos paquetes puede transportar?

Sea el sistema de ecuaciones:

1. a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y razona por qué siempre es un sistema de Cramer, independientemente de los valores de $m, n$ y $p$.
2. b) Aplicando la regla de Cramer, demuestra que la solución para $x$ es $x = \frac{m+n}{2}$.
3. c) Si se sabe que la solución del sistema es $x = 5, y = 1, z = 2$, determina los valores de los términos independientes $m, n$ y $p$.

Un inversor reparte $50\,000$ € entre tres productos financieros: una cuenta de ahorro al $1\%$, un fondo de inversión al $3\%$ y acciones tecnológicas al $7\%$. Al finalizar el año, los beneficios totales han sido de $2\,300$ €. Se sabe además que la cantidad invertida en acciones tecnológicas es igual al triple de lo invertido en la cuenta de ahorro más $2\,000$ €.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones para determinar las tres cantidades invertidas ($x, y, z$).
2. b) Escribe la expresión de la regla de Cramer para hallar la cantidad invertida en el fondo de inversión ($y$). No es necesario realizar los cálculos finales de los determinantes de $3 \times 3$, solo dejarlos planteados.
3. c) Si el determinante de la matriz del sistema es $\Delta = -0,16$, ¿es posible que el sistema sea incompatible? Razona tu respuesta.

Dado el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a$:

1. a) Estudia para qué valores de $a$ el sistema es compatible determinado.
2. b) Para los valores hallados en el apartado anterior, aplica la regla de Cramer para encontrar el valor de $z$ en función de $a$.
3. c) Determina para qué valor de $a$ se cumple que $x=y=z$.

En un estudio sobre nutrición deportiva, se analiza la composición de tres suplementos ($S_1, S_2, S_3$) en gramos de proteínas, hidratos y grasas por unidad:

Un atleta necesita ingerir exactamente $115$ g de proteínas, $85$ g de hidratos y $23$ g de grasas.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones para determinar cuántas unidades de cada suplemento debe tomar.
2. b) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes. ¿Qué indica este valor sobre la posibilidad de usar la regla de Cramer?
3. c) Resuelve el sistema utilizando la regla de Cramer para determinar cuántas unidades del suplemento $S_1$ debe consumir.