Ejercicios: Sistemas dependientes de un parámetro

Considera el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde $k$ es un número real:

$$\begin{cases} kx + y = 3 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$$

1. a) Determina para qué valor de $k$ el sistema no tiene una solución única.
2. b) Si elegimos $k = 5$, ¿qué podemos decir sobre la posición relativa de las dos rectas que representan las ecuaciones?

Una pequeña empresa de desarrollo de apps cobra por dos tipos de servicios: mantenimiento ($x$) y consultoría ($y$). El sistema que relaciona los ingresos de dos meses es:

$$\begin{cases} x + 2y = 500 \\ 2x + ay = 1000 \end{cases}$$

1. a) Escribe la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema.
2. b) ¿Para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones? ¿Qué significa esto en el contexto de los servicios prestados?

Dado el sistema dependiente del parámetro real $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$

Utiliza el método de Gauss para demostrar que, para cualquier valor de $m \neq 1$, el sistema es incompatible. ¿Qué ocurre si $m = 1$?

En el análisis de un mercado financiero, se ha determinado que el equilibrio de precios de tres activos viene dado por el siguiente sistema:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 3 \\ x + y + pz = 2 \end{cases}$$

Discute la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro $p$ (precio del tercer activo). Indica cuándo el sistema es Compatible Determinado (SCD).

Discute el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$:

$$\begin{cases} x + ay = 0 \\ ax + 9y = 0 \end{cases}$$

Recuerda que los sistemas homogéneos siempre son compatibles. Indica para qué valores de $a$ el sistema tiene solo la solución trivial $(0,0)$ y para cuáles tiene infinitas soluciones.

Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para un valor específico del parámetro $t$:

$$\begin{cases} t x + y = 1 \\ x + t y = 1 \end{cases}$$

1. a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función de $t$.
2. b) Indica para qué valores de $t$ el sistema es Compatible Determinado.
3. c) Estudia qué sucede si $t = -1$.

Un nutricionista diseña una dieta con dos alimentos. El contenido de proteínas y carbohidratos depende de un factor de enriquecimiento $k$ según el sistema:

$$\begin{cases} 2x + ky = 10 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

1. a) Encuentra el valor de $k$ que hace que el sistema sea Compatible Indeterminado.
2. b) Para ese valor de $k$, ¿existe alguna solución donde las cantidades de alimentos $(x, y)$ sean negativas? Justifica tu respuesta brevemente.

Sea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + 2z = 0 \\ x + y + (b^2-3)z = 0 \end{cases}$$

1. a) Clasifica el sistema en función del parámetro $b$.
2. b) ¿Existe algún valor de $b$ para el cual el sistema sea Incompatible? Justifica tu respuesta basándote en la teoría de sistemas homogéneos.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $a$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$$

1. a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro $a$ utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius.

1. b) Resuelve el sistema para el caso en el que sea compatible indeterminado y escribe la solución en forma paramétrica.

1. c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta.

Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de vehículos (furgonetas, motos y drones) para realizar sus entregas. Se sabe que el coste operativo diario de cada vehículo depende de un factor de mantenimiento variable $k$. El gasto total en tres rutas distintas viene dado por el siguiente sistema:

$$\begin{cases} x + 2y + kz = 3 \\ 3x + ky = 6 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Donde $x, y, z$ representan el número de furgonetas, motos y drones operativos, respectivamente.

1. a) Analiza la compatibilidad del sistema para los distintos valores de $k$.

1. b) Para $k = 4$, determina si el sistema tiene solución única. En caso afirmativo, calcúlala utilizando la regla de Cramer.

Se dan los tres planos siguientes en el espacio tridimensional, cuyas ecuaciones dependen del parámetro $m$:

$$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3: x + y + mz = 0$$

1. a) Determina para qué valores de $m$ los tres planos se cortan únicamente en el origen de coordenadas $(0, 0, 0)$.

1. b) Halla los valores de $m$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado e indica la interpretación geométrica de la posición relativa de los planos en ese caso.

Estudia la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro $t$ y resuélvelo cuando sea posible:

$$\begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = 1 \\ x + ty + z = 1 \end{cases}$$

En tu análisis, presta especial atención al caso $t = -2$ y explica razonadamente qué ocurre con los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

Un "influencer" está analizando el crecimiento de sus seguidores en tres redes sociales (TikTok, Instagram y Twitch). El número de nuevos seguidores diarios $x, y, z$ en cada red satisfacen las siguientes condiciones mensuales donde $m$ es un coeficiente de viralidad:

$$\begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + 3y + mz = 5 \\ x + my + 3z = 8 \end{cases}$$

1. a) Discute el sistema en función de $m$.

1. b) Si para un determinado mes el coeficiente de viralidad es $m = 2$, ¿cuántos seguidores nuevos ha ganado en cada red social?

Sea la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

1. a) Determina los valores de $k$ para los cuales la matriz $A$ no tiene inversa.

1. b) Discute el sistema de ecuaciones $A \cdot X = B$ según los valores de $k$.

1. c) Resuelve el sistema para $k = 3$.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$

1. a) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea compatible determinado? Justifica la respuesta basándote en el rango de la matriz de coeficientes.

1. b) Encuentra el valor de $a$ que hace que el sistema sea compatible indeterminado.

1. c) Para el valor de $a$ hallado en el apartado anterior, da una solución particular en la que $z = 0$.

Una cooperativa agrícola produce tres tipos de aceite de oliva (Virgen Extra, Virgen y Lampante). Las cantidades producidas en toneladas ($x, y, z$) están limitadas por la disponibilidad de aceituna y el tiempo de prensado, siguiendo este modelo que depende de un parámetro $p$ relacionado con la lluvia anual:

$$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + py + 2z = 200 \\ px + 2y + 2z = 150 \end{cases}$$

1. a) Discute la viabilidad de la producción (compatibilidad del sistema) en función de $p$.

1. b) Si un año de sequía extrema el parámetro es $p = 2$, ¿qué puedes afirmar sobre la producción de la cooperativa basándote en el análisis del sistema?

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:

$$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$

1. a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro $a$.
2. b) Resuelve el sistema, si es posible, para el caso en el que sea compatible indeterminado y para el caso $a = 0$.

Una empresa de marketing digital analiza el impacto de tres campañas publicitarias ($x, y, z$). Los costes de gestión y el retorno de inversión están vinculados por un factor de eficiencia tecnológica $k$ según el siguiente modelo:

$$ \begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases} $$

1. a) Discute la viabilidad del modelo (compatibilidad del sistema) en función del factor $k$.
2. b) ¿Existe algún valor de $k$ para el cual el sistema no tenga solución? En caso afirmativo, interpreta qué significaría para la empresa.
3. c) Determina los valores de $k$ para los cuales la inversión en las tres campañas es la misma ($x = y = z$).

Dado el sistema de ecuaciones con dos parámetros reales $a$ y $b$:

$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$

1. a) Discute el sistema en función de los valores de $a$ y $b$.
2. b) Para los valores que hacen que el sistema sea compatible indeterminado, halla la solución general expresándola en función de un parámetro $\lambda$.

Considera el siguiente sistema homogéneo:

$$ \begin{cases} (m+1)x + y + z = 0 \\ x + (m+1)y + z = 0 \\ x + y + (m+1)z = 0 \end{cases} $$

1. a) Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales el sistema admite soluciones distintas de la trivial $(0, 0, 0)$.
2. b) Para los valores hallados en el apartado anterior, describe la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones del sistema.

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas según los valores de $m$:

$$ \begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ x + y + mz = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases} $$

¿Para qué valor de $m$ el sistema tiene una única solución? Calcúlala en ese caso.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 3 \\ 4 & 1 & -a \end{pmatrix}$.

1. a) Halla los valores de $a$ para los cuales el sistema $A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ tiene infinitas soluciones.
2. b) Para $a = 2$, resuelve la ecuación matricial $A \cdot X = B$, siendo $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, utilizando la matriz inversa.

Un equipo de investigadores estudia la evolución de tres poblaciones de microorganismos en un entorno controlado. Las relaciones de crecimiento dependen de la temperatura $T$ (medida en una escala normalizada como parámetro $t$):

$$ \begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t \end{cases} $$

1. a) Discute el sistema para los distintos valores de $t$.
2. b) Interpreta geométricamente qué ocurre cuando $t = 1$ y cuando $t = -2$.
3. c) Si se sabe que la suma de las tres poblaciones es constante e igual a 1, ¿qué valores puede tomar $t$?

Se sabe que el sistema de ecuaciones:

$$ \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ay + z = 1 \\ 2x + ay = b \end{cases} $$

es compatible indeterminado.

1. a) Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$.
2. b) Para los valores hallados, escribe la solución general del sistema.
3. c) Si añadimos una cuarta ecuación $x + y + z = 2$, ¿cambia la compatibilidad del sistema? Razona la respuesta.