Ejercicios: El método de Gauss

En una tienda de tecnología se están preparando tres tipos de packs de bienvenida para nuevos clientes. El primer pack incluye 1 ratón, 1 teclado y 1 alfombrilla por $35$ €. El segundo pack tiene 2 ratones y 1 teclado por $45$ €. El tercero incluye 1 ratón, 2 teclados y 1 alfombrilla por $55$ €.

Escribe la matriz ampliada $(A|B)$ que representa este sistema de ecuaciones, donde $x$ es el precio del ratón, $y$ el del teclado y $z$ el de la alfombrilla.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Observa que la primera incógnita ya tiene coeficiente $1$, lo que facilita su uso como pivote:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ x - y - z = -1 \end{cases}$

Dada la siguiente matriz ampliada, que ya ha sido parcialmente transformada mediante el método de Gauss, indica qué operación elemental entre filas realizarías para obtener un cero en la posición marcada con el círculo naranja y escribe cómo quedaría la nueva fila $F_3$.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & 5 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \end{pmatrix}$

Un estudiante ha aplicado el método de Gauss a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y ha llegado a la siguiente matriz escalonada:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & | & 6 \end{pmatrix}$

Finaliza la resolución del sistema calculando los valores de $x$, $y$ y $z$ mediante la sustitución hacia atrás.

Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones según el número de soluciones que presentan tras observar el resultado final de aplicar el método de Gauss en su forma matricial:

1. a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

1. b) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 7 \end{pmatrix}$

Para resolver el siguiente sistema, el primer paso del método de Gauss suele ser conseguir que el coeficiente de la $x$ en la primera ecuación sea $1$ o $-1$. ¿Qué transformación elemental realizarías primero para que el cálculo sea más sencillo? Justifica tu respuesta.

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 15 \end{cases}$

Tres amigos van a una cafetería. Luis paga $7$ € por $2$ cafés y $1$ tostada. María paga $10$ € por $1$ café, $1$ tostada y $1$ zumo. Por último, Juan paga $11$ € por $2$ tostadas y $1$ zumo.

Utiliza el método de Gauss para determinar el precio de cada producto (café, tostada y zumo).

Aplica el método de Gauss para resolver el siguiente sistema homogéneo. Recuerda que este tipo de sistemas siempre tienen, al menos, la solución trivial:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 3x + 4z = 0 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss. Una vez obtenida la matriz escalonada, indica si el sistema es compatible determinado e identifica su solución única:

$$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases} $$

Aplica el método de Gauss para discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema resulta ser compatible indeterminado, escribe la solución general en función de un parámetro $\lambda$:

$$ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y - z = 2 \\ 4x - y + 3z = 10 \end{cases} $$

Un creador de contenido de redes sociales analiza sus ingresos mensuales provenientes de tres plataformas: TikTok, YouTube e Instagram. Se sabe que:

• En total, el mes pasado ganó $2500$ €.

• Lo que ganó en YouTube es el triple de lo que ganó en TikTok.

• La suma de lo ganado en TikTok e Instagram supera en $100$ € a lo ganado en YouTube.

Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y utiliza el método de Gauss para averiguar cuánto dinero generó en cada plataforma.

En una tienda de deportes se venden tres tipos de balones: de fútbol, de baloncesto y de voleibol. Un club ha realizado tres compras diferentes:

• La primera compra fue de $2$ balones de fútbol, $1$ de baloncesto y $1$ de voleibol por $90$ €.

• La segunda compra fue de $1$ balón de fútbol, $2$ de baloncesto y $3$ de voleibol por $120$ €.

• La tercera compra fue de $3$ balones de fútbol y $3$ de baloncesto por $150$ €.

Utiliza el método de Gauss sobre la matriz ampliada para determinar el precio de cada tipo de balón.

Dado el siguiente sistema dependiente de un valor constante $k$, aplica el método de Gauss para transformarlo en un sistema escalonado. Determina para qué valor de $k$ el sistema es incompatible:

$$ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + 3z = 2 \\ 5x + 2y + kz = 5 \end{cases} $$

Tres amigos, Ana, Borja y Celia, han ido a una cafetería.

• La primera vez, Ana tomó $2$ cafés y $1$ tostada, pagando $5$ €.

• La segunda vez, Borja tomó $1$ café, $1$ tostada y $1$ zumo, pagando $6$ €.

• La tercera vez, Celia tomó $3$ cafés y $2$ zumos, pagando $11$ €.

Escribe la matriz ampliada asociada al sistema y utiliza el método de Gauss para comprobar si los datos son suficientes para conocer el precio de cada producto (es decir, si el sistema es compatible determinado).

Analiza mediante el método de Gauss la posición relativa de los tres planos representados por las siguientes ecuaciones. Indica si se cortan en un punto, en una recta o si no tienen puntos en común:

$$ \pi_1: x + 2y - z = 1 $$ $$ \pi_2: 2x + y + 2z = 2 $$ $$ \pi_3: 3x + 3y + z = 3 $$

Resuelve el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas aplicando el método de Gauss. Recuerda que debes eliminar las filas que resulten ser combinación lineal de las anteriores durante el proceso de escalonamiento:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + 2z = 8 \\ 3x + y + 3z = 14 \end{cases} $$

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

Utiliza el método de Gauss para discutir la compatibilidad del sistema según los diferentes valores de $k$. En los casos en los que el sistema sea compatible indeterminado, obtén la solución general expresándola en función de un parámetro.

Una empresa de logística organiza el transporte de mercancías entre tres ciudades: A, B y C. La flota total es de 42 camiones de tres modelos: ligeros, medios y pesados. Se sabe que:

• El número de camiones pesados es la mitad de la suma de los ligeros y medios.

• Por cada 3 camiones medios hay 4 ligeros.

• Debido a una nueva normativa ambiental, si se duplicara el número de camiones pesados y se redujera a la mitad el de los ligeros, la flota aumentaría en 11 unidades.

Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y utiliza el método de Gauss para determinar cuántos camiones de cada modelo tiene la empresa.

Analiza mediante el método de Gauss el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas:

$\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y - z = 1 \\ x + 3y - 2z = -2 \\ 4x + 2y - 2z = 2 \end{cases}$

Determina razonadamente si el sistema tiene solución. Si es compatible, halla todas sus soluciones. En caso de ser incompatible, identifica qué ecuación o ecuaciones provocan la inconsistencia.

Un nutricionista diseña una dieta especial basada en tres alimentos: Batido A, Barrita B y Fruto Seco C. Cada ración debe aportar cantidades específicas de hidratos de carbono, proteínas y grasas. La tabla de aportes por ración es la siguiente:

Alimento	Hidratos (g)	Proteínas (g)	Grasas (g)
Batido A	20	10	5
Barrita B	30	5	10
Fruto Seco C	10	15	20

Se requiere que la dieta total diaria contenga 250 g de hidratos, 110 g de proteínas y 130 g de grasas.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones.
2. b) Resuélvelo mediante el método de Gauss para encontrar el número de raciones diarias de cada alimento.
3. c) ¿Es posible cumplir el objetivo si el paciente tiene alergia a los frutos secos (C=0)? Justifica la respuesta basándote en la resolución del sistema.

Discute y resuelve el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x - ay + z = 0 \\ 2x + y + az = 0 \end{cases}$

Indica para qué valores de $a$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial ($x=0, y=0, z=0$) y calcúlalas para dichos valores usando el método de Gauss.

Un inversor reparte 100.000 € entre tres productos financieros: una cuenta de ahorro al 1% anual, unos bonos del Estado al 3% anual y una inversión en acciones tecnológicas al 8% anual.

Al finalizar el primer año, los beneficios totales han sido de 3.900 €. El inversor observa que si hubiera invertido en bonos el doble de lo que invirtió en la cuenta de ahorro, y hubiera mantenido la inversión en acciones, sus beneficios habrían sido de 4.100 €.

Determina mediante el método de Gauss la cantidad invertida en cada producto.

Dado el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 3x - 2y + 2z = 1 \end{cases}$

1. a) Añade una tercera ecuación de la forma $ax + by + cz = d$ para que el sistema resultante sea compatible determinado con solución $(1, 2, 1)$.
2. b) Añade una tercera ecuación para que el sistema sea incompatible.
3. c) Añade una tercera ecuación para que sea compatible indeterminado.

Explica en cada caso el razonamiento seguido basándote en la estructura de las filas de la matriz aumentada.

Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z + t = 10 \\ 2x - y + z - 2t = -5 \\ x - 2y - z + t = -3 \\ x + y - 2z - 2t = -2 \end{cases}$

Describe paso a paso las operaciones elementales entre filas que utilizas para triangular la matriz.