Ejercicios: Curvatura y representación completa de funciones

Dada la función $f(x) = x^3 - 6x^2$, utiliza la segunda derivada para determinar:

1. Los intervalos de concavidad y convexidad.

2. Las coordenadas del punto de inflexión.

Dada la función $f(x) = x^4 - 6x^2$:

• a) Calcula su segunda derivada.

• b) Determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$).

• c) Halla las coordenadas de sus puntos de inflexión.

La figura muestra la gráfica de una función polinómica de tercer grado, como se muestra en la figura.

A partir de la gráfica, y sin conocer la fórmula:

• a) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

• b) Señala dónde hay un máximo y un mínimo relativo.

• c) Indica los intervalos de concavidad y convexidad y dónde se encuentra el punto de inflexión.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «Si $f''(2) = 0$, entonces $f$ tiene un punto de inflexión en $x = 2$». Ilustra tu respuesta con la función $f(x) = x^4$ en $x = 0$.

La temperatura de un líquido en un experimento sigue, en grados Celsius, la función $T(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1$, con $t$ en horas y $0 \leq t \leq 4$.

• a) Estudia en qué intervalos la temperatura sube y en cuáles baja.

• b) Halla el punto de inflexión e interpreta qué ocurre con la velocidad de cambio de la temperatura en ese instante.

Dibuja el esbozo de una función continua definida en todo $\mathbb{R}$ que sea creciente y cóncava ($\cap$) en todo su dominio. Comprueba que la función $f(x) = -e^{-x}$ cumple esas condiciones calculando sus dos primeras derivadas.

Dibuja, para cada caso, el esbozo de una función que cumpla lo indicado:

• a) Creciente y convexa ($\cup$) en todo su dominio.

• b) Decreciente y cóncava ($\cap$) en todo su dominio.

• c) Creciente hasta $x = 1$, decreciente desde $x = 1$, y convexa en todo su dominio.

Sea la función $f(x) = x + e^{-x}$.

• a) Calcula $f'$ y $f''$.

• b) Demuestra que la función es convexa ($\cup$) en todo $\mathbb{R}$.

• c) Halla su único extremo relativo y clasifícalo.

Un analista financiero estudia la evolución del beneficio esperado de una startup tecnológica (en miles de euros) mediante la función $f(x) = \frac{4x^2}{x^2+4}$, donde $x$ representa el tiempo en años desde su fundación ($x \ge 0$).

Realiza un estudio completo de la función analizando:

1. Dominio y cortes con los ejes.

2. Asíntotas y posición de la curva respecto a ellas.

3. Intervalos de crecimiento, decrecimiento y existencia de máximos o mínimos.

4. Curvatura (concavidad y convexidad).

5. Esboza la gráfica de la función basándote en los datos anteriores.

Se ha monitorizado la temperatura de una reacción química durante los primeros 6 minutos. La función que describe la temperatura (en $^\circ C$) es $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 40$.

Realiza el estudio de la función en el intervalo $t \in [0, 6]$ indicando:

1. ¿En qué instantes la temperatura aumenta y en cuáles disminuye?

2. Halla la temperatura máxima y mínima alcanzada en ese intervalo.

3. Determina el momento en el que la velocidad de enfriamiento cambia de tendencia (punto de inflexión).

4. Dibuja la gráfica.

Dibuja la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ y $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

• Tiene una asíntota vertical en $x = 2$, tal que $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$.

• Pasa por los puntos $(-2, 0)$ y $(0, 4)$.

• Tiene un mínimo relativo en el punto $(4, 1)$.

• Es cóncava ($\cap$) en el intervalo $(-\infty, 2)$.

Considera la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$.

1. Determina su dominio de definición (razona si es todo $\mathbb{R}$).

2. Estudia si presenta algún tipo de simetría.

3. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y las coordenadas del extremo relativo.

4. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión.

5. Esboza su gráfica.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{4x}{x+2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. Estudia la continuidad en $x = 0$.

2. Para el primer tramo ($x \le 0$), halla el vértice de la parábola y los puntos de corte con los ejes.

3. Para el segundo tramo ($x > 0$), halla sus asíntotas.

4. Representa gráficamente la función.

La figura muestra la gráfica de una función con su punto de inflexión señalado, como se muestra en la figura.

• a) Indica los intervalos de concavidad y convexidad de la función.

• b) Esboza el signo de la segunda derivada en cada intervalo.

• c) Explica qué le ocurre a la pendiente de la curva al pasar por el punto de inflexión.

Las reproducciones semanales de una canción recién publicada siguen el modelo $S(t) = t \cdot e^{-t/2}$ (en miles), con $t \geq 0$ en semanas.

• a) Halla la semana con más reproducciones y calcula ese máximo.

• b) Estudia el comportamiento a largo plazo (asíntota horizontal) e interprétalo.

• c) Estudia la curvatura: ¿cuándo el descenso de las reproducciones empieza a suavizarse?

• d) Esboza la gráfica completa.

Realiza el estudio completo de la función $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ y represéntala: dominio, cortes con los ejes, asíntotas (verticales y oblicua), intervalos de monotonía, extremos relativos, curvatura y dibujo de la gráfica.

Una empresa de biotecnología ha modelizado el crecimiento de una población de bacterias en un entorno controlado mediante la función $P(t) = 10 \cdot t^2 \cdot e^{-0,5t}$, donde $P$ es el número de bacterias en miles y $t$ es el tiempo en días desde el inicio del experimento ($t \geq 0$).

Realiza un estudio exhaustivo de la función que incluya:

1. Puntos de corte con los ejes.

2. Comportamiento a largo plazo (asíntotas horizontales).

3. Intervalos de crecimiento y decrecimiento, determinando en qué momento la población es máxima.

4. Intervalos de concavidad y convexidad, localizando los puntos de inflexión donde el ritmo de crecimiento empieza a disminuir.

5. Esbozo gráfico de la evolución de la población.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - k}$, se pide:

1. a) Hallar el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = \sqrt{3}$.
2. b) Para $k = 1$, realiza el análisis completo de la función: dominio, simetría, asíntotas (verticales y oblicuas), extremos relativos y curvatura.
3. c) Dibuja la gráfica detallando la posición de la curva respecto a sus asíntotas.

Considera la función con valor absoluto $f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x}$.

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función en todo su dominio.

3. Determina las asíntotas y la posición de la curva respecto a ellas.

4. Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos.

5. Realiza una representación gráfica precisa, prestando especial atención a los puntos donde la función cambia su definición.

Un estudio de mercado indica que el beneficio mensual $B(x)$ (en miles de euros) de una aplicación móvil depende del gasto en publicidad $x$ (en miles de euros) según la función:

$B(x) = \ln(x^2 - 2x + 5) - \dfrac{x}{4}$ para $x \in [0, 10]$.

Estudia la viabilidad del gasto publicitario realizando los siguientes pasos:

1. a) Justifica el dominio de la función en el contexto del problema.
2. b) Encuentra el gasto publicitario que maximiza el beneficio.
3. c) Estudia si existen intervalos de "rendimientos decrecientes", es decir, donde la función sea cóncava ($\cap$).
4. d) Dibuja la gráfica de la función beneficio en el intervalo dado.

Dada la función $f(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 1}}$, realiza un estudio completo para su representación gráfica:

1. Determina el dominio de definición (cuidado con los intervalos donde el cociente es negativo).

2. Analiza las simetrías de la curva.

3. Calcula las asíntotas horizontales y verticales, estudiando el comportamiento de la función en sus proximidades.

4. Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿Existen máximos o mínimos relativos?

5. Dibuja la gráfica de la función.

Determina una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

• Tiene un punto de inflexión en $I(0, 1)$.

• La recta tangente a la gráfica en dicho punto de inflexión es $y = -3x + 1$.

• Presenta un extremo relativo en $x = 1$.

Tras hallar la expresión de la función, realiza su estudio completo (cortes, extremos, curvatura) y represéntala gráficamente.

La figura muestra la gráfica completa de una función, como se muestra en la figura.

A partir de la gráfica, realiza su estudio completo:

• a) Dominio y puntos de corte con los ejes.

• b) Asíntotas y ramas infinitas.

• c) Intervalos de monotonía y extremos relativos.

• d) Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

• e) Propón una posible expresión analítica para la función y justifica que encaja con todo lo observado.

Determina los coeficientes $a$ y $b$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ sabiendo que tiene un punto de inflexión en el punto $(1, 2)$.

• a) Plantea las condiciones que deben cumplirse y halla $a$ y $b$.

• b) Con la función obtenida, realiza su estudio completo: cortes con los ejes, monotonía, extremos, curvatura y dibujo.