Ejercicios: Asíntotas y ramas infinitas

Dada la función racional $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$, realiza el siguiente estudio:

1. Identifica su asíntota vertical.

2. Calcula el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$ para hallar su asíntota horizontal.

Se está monitorizando la velocidad de descarga de un archivo en Megabytes por segundo (MB/s). La función que describe la velocidad tras $t$ segundos es:

$v(t) = \frac{10t}{t + 5}$

Halla las ramas infinitas calculando el límite cuando $t \to +\infty$. ¿A qué valor se estabiliza la velocidad de descarga a largo plazo?

Analiza y dibuja el esbozo de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ siguiendo estos pasos:

1. Halla el dominio.

2. Comprueba si tiene simetría.

3. Determina si existen asíntotas horizontales.

4. Con la información anterior, realiza un dibujo aproximado de la gráfica.

Asocia cada una de las siguientes características con la gráfica de una función $f(x)$:

1. Presenta una asíntota vertical en $x = 0$.

2. Es una función siempre creciente en su dominio.

3. Corta al eje $X$ en el punto $(1, 0)$.

Propón una expresión analítica sencilla (fórmula) que cumpla estas tres condiciones simultáneamente.

La figura muestra la gráfica de una función racional y sus dos asíntotas, como se muestra en la figura.

• a) Lee en la gráfica el dominio de la función.

• b) Escribe las ecuaciones de la asíntota vertical y de la asíntota horizontal.

• c) Indica la posición de la curva respecto de la asíntota horizontal en cada rama.

Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$, escribiendo los límites que las justifican.

Sea la función $f(x) = e^x + 2$.

• a) ¿Tiene asíntotas verticales? ¿Por qué?

• b) Calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y deduce su asíntota horizontal.

• c) ¿Está la gráfica por encima o por debajo de esa asíntota? ¿Y qué ocurre cuando $x \to +\infty$?

Verdadero o falso, razonando la respuesta con un ejemplo: «Toda función racional tiene al menos una asíntota vertical».

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax+b}{x-3}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que:

• La función tiene una asíntota horizontal en $y = 2$.

• La gráfica de la función pasa por el punto $P(1, -1)$.

Una vez hallados $a$ y $b$, estudia la monotonía de la función y comprueba si tiene puntos singulares.

Un estudio sociológico sobre la propagación de un rumor en una comunidad de estudiantes sigue la función $P(t) = 100(1 - e^{-0,2t})$, donde $P$ es el porcentaje de personas que conocen el rumor y $t$ es el tiempo en horas ($t \ge 0$).

1. Calcula el porcentaje inicial de personas que conocen el rumor.

2. ¿A qué valor tiende el porcentaje de personas conforme pasa el tiempo? Interpreta el resultado en términos de asíntotas.

3. Justifica, mediante la derivada primera, que el rumor siempre se extiende (la función es creciente).

4. ¿En algún momento cambia la curvatura de la función? Razona tu respuesta.

Estudia las ramas infinitas y la existencia de asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}$.

1. Halla la ecuación de la asíntota oblicua.

2. Determina la posición de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

3. Encuentra los puntos de la gráfica donde la tangente es paralela a la asíntota oblicua.

4. Realiza un dibujo aproximado de las asíntotas y la función.

La figura muestra la gráfica de la función $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2}$ y su asíntota oblicua, como se muestra en la figura.

• a) Halla analíticamente la ecuación de la asíntota oblicua calculando $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx)$.

• b) Efectúa la división entera del numerador entre el denominador y comprueba que obtienes el mismo resultado.

• c) Estudia la posición de la curva respecto de la asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Sea la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

• a) ¿Tiene asíntotas verticales? Razona la respuesta.

• b) ¿Tiene asíntota horizontal? Calcúlala si existe.

• c) Halla su asíntota oblicua y estudia la posición de la curva respecto de ella.

Una función $f$ cumple que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$, como se muestra en la figura con dos posibles gráficas.

• a) ¿Cuál de las dos gráficas, la del panel A o la del panel B, puede corresponder a $f$? Razona la elección comprobando cada uno de los tres límites.

• b) Escribe las ecuaciones de las asíntotas de $f$.

• c) Propón una fórmula sencilla para una función que cumpla esas tres condiciones.

Estudia las ramas infinitas de la función $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x + 1}$: asíntota vertical, asíntota oblicua y posición de la curva respecto de esta última en $+\infty$ y en $-\infty$.

El coste medio de producción de una revista independiente es $C(x) = \frac{500 + 2x}{x}$ euros por ejemplar, donde $x$ es el número de ejemplares impresos.

• a) Halla la asíntota horizontal de $C(x)$ e interprétala: ¿por qué el coste medio no puede bajar de cierto valor?

• b) ¿Qué ocurre con el coste medio cuando se imprimen muy pocos ejemplares? Relaciónalo con la asíntota vertical.

• c) ¿Tiene sentido hablar de asíntota oblicua en esta función? Justifícalo.

Sea la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x - 2}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(0, 2)$ y que presenta un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 0$. Una vez hallados $a$ y $b$, realiza el estudio completo de la función (dominio, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos) para representarla gráficamente.

Analiza y representa gráficamente la función $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 - 3x}$. En tu estudio debes incluir:

1. Dominio y puntos de discontinuidad.

2. Límites infinitos y asíntotas verticales.

3. Asíntotas horizontales y ramas parabólicas (estudiando el comportamiento tanto en $+\infty$ como en $-\infty$).

4. Cálculo de la primera derivada para hallar intervalos de monotonía y extremos relativos.

5. Esbozo de la gráfica indicando todos los elementos hallados.

Sea la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$.

• a) Determina su dominio y su asíntota vertical, estudiando los límites laterales.

• b) Halla la asíntota oblicua y estudia la posición de la curva respecto de ella en $+\infty$ y en $-\infty$.

• c) Calcula los puntos de corte con los ejes y esboza la gráfica completa con sus asíntotas.

La figura muestra la gráfica de una función con una asíntota vertical y una asíntota oblicua, como se muestra en la figura.

• a) Deduce de la gráfica su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas.

• b) Propón una función racional cuya gráfica pueda ser la de la figura, y comprueba que sus asíntotas coinciden con las que has deducido.

Sea la función $f(x) = x \cdot e^{1/x}$ para $x > 0$.

• a) Estudia su comportamiento cuando $x \to 0^+$.

• b) Demuestra que tiene una asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$ y halla su ecuación (pista: calcula primero $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ y recuerda que $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$).

Sea la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

• a) Estudia la rama infinita cuando $x \to 0^+$. ¿De qué tipo es?

• b) Estudia la rama infinita cuando $x \to +\infty$, sabiendo que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. ¿Qué asíntota aparece?

• c) ¿En qué punto corta la gráfica a esa asíntota? Razona si es contradictorio que una curva corte a su propia asíntota horizontal.

Determina el valor de $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2 + a}{x + b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 3$ y una asíntota oblicua de ecuación $y = x + 3$.

• a) Plantea las condiciones que deben cumplirse y halla $b$.

• b) ¿Qué condición debe verificar $a$ para que la asíntota vertical exista realmente (es decir, para que la discontinuidad no sea evitable)?

• c) Elige un valor válido de $a$ y comprueba las dos asíntotas.

Compara el comportamiento en el infinito de $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ y $g(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

• a) Estudia las ramas infinitas de $f$ en $+\infty$ y en $-\infty$, indicando qué tipo de rama es cada una (puedes usar que la exponencial crece más rápido que cualquier potencia).

• b) Haz lo mismo con $g$.

• c) Explica, a la vista de los resultados, por qué se dice que «la exponencial siempre gana a las potencias».