Ejercicios: Casos especiales: solución única, múltiple, no acotada o infactible

La figura muestra dos regiones factibles: la del panel A y la del panel B, como se muestra en la figura.

Indica cuál de ellas es acotada y cuál no, explicando el criterio que has usado para decidirlo.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «Si la región factible de un problema de programación lineal no es acotada, el problema nunca tiene solución óptima». Ilustra tu razonamiento con el ejemplo de $F(x, y) = x + y$ en la región $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$.

En la figura se ha representado una región factible y una recta de nivel de la función objetivo $F(x, y) = 2x + y$ correspondiente al valor $8$, como se muestra en la figura.

• a) Explica qué particularidad presenta la posición de esa recta respecto de la región.

• b) Indica el valor máximo de $F$ y da dos soluciones óptimas distintas.

Representa las rectas $x + y = 2$ y $x + y = 5$ y justifica, a partir del dibujo, que el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 2$ y $x + y \geq 5$ no tiene ninguna solución. ¿Cómo se dice en programación lineal que la región factible es vacía?

Maximiza la función objetivo $F(x, y) = 2x + 4y$ sujeta a $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 8$ y $x + y \leq 5$.

• a) Halla los vértices de la región factible y evalúa $F$ en ellos.

• b) Observarás que el valor máximo se repite en dos vértices: explica qué significa esto y escribe la expresión de todos los puntos óptimos como segmento.

• c) Da dos soluciones óptimas de coordenadas enteras.

Sea la región definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 3$ y $3x + y \geq 5$.

• a) Comprueba que no es acotada y halla sus vértices.

• b) Estudia si la función objetivo $F(x, y) = 3x + 2y$ alcanza un máximo en la región.

• c) Estudia si alcanza un mínimo y, en caso afirmativo, calcúlalo.

Una pastelería recibe un encargo de al menos $50$ tartas y $40$ brazos de gitano para una semana. Cada tarta requiere $2$ horas de obrador y cada brazo, $1$ hora, y el obrador solo dispone de $60$ horas semanales.

• a) Plantea el sistema de restricciones y demuestra que la región factible es vacía.

• b) Propón una modificación de un único dato del enunciado que haga el problema factible, y compruébalo.

Sea la región no acotada definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \geq 4$ y $2x + y \geq 4$, y la función objetivo $F(x, y) = ax + 2y$ con $a > 0$.

• a) Halla los vértices de la región.

• b) Evalúa $F$ en cada vértice.

• c) Discute, según los valores de $a$, en qué punto se alcanza el mínimo de $F$, señalando los casos con solución múltiple.

Un festival benéfico vende abonos generales ($x$) y abonos con zona de acampada ($y$). Por el contrato con el recinto debe cumplirse $2x + 3y \leq 120$ (unidades de espacio) y $x + y \leq 50$ (aforo), y la organización se compromete con el patrocinador a vender al menos $12$ abonos generales: $x \geq 12$. La recaudación es $F(x, y) = 20x + 30y$ euros.

• a) Plantea el sistema completo y halla los vértices de la región factible.

• b) Calcula la recaudación máxima.

• c) Comprueba que el máximo se alcanza en dos vértices a la vez y explica qué particularidad tiene la función objetivo respecto de una de las restricciones.

• d) Da tres combinaciones enteras distintas de abonos que produzcan la recaudación máxima.

Demuestra que con las restricciones $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$ y $x + 2y \leq 5$, la función objetivo $F(x, y) = x + 2y$ alcanza su valor máximo en infinitos puntos de la región factible.

• a) Halla los vértices de la región y el valor máximo de $F$.

• b) Identifica el segmento de puntos óptimos escribiendo sus extremos.

• c) Da tres soluciones óptimas distintas, dos de ellas de coordenadas enteras.

Considera el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 6$ y $x + 2y \leq k$, donde $k$ es un parámetro real.

• a) Representa la situación para $k = 4$, $k = 6$ y $k = 10$.

• b) Determina para qué valores de $k$ la región factible es vacía, para cuáles consta de un único punto y para cuáles tiene área positiva.

Sea la región no acotada definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$ y $2x + y \geq 2$, y la función objetivo $F(x, y) = x - 2y$.

• a) Halla los vértices de la región.

• b) Exhibe una familia de puntos factibles que demuestre que $F$ no alcanza ningún máximo.

• c) Exhibe otra familia de puntos factibles que demuestre que $F$ tampoco alcanza ningún mínimo.

• d) ¿Qué condición sobre los coeficientes de la función objetivo y la dirección en que crece la región explica este comportamiento?