Ejercicios: Probabilidad condicionada

En un grupo de 2º de Bachillerato se ha realizado una encuesta sobre el uso de gafas y el género de los estudiantes. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

Si seleccionamos un alumno al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea un chico, sabiendo que lleva gafas.
2. b) La probabilidad de que lleve gafas, sabiendo que es una chica.

En una biblioteca municipal, se sabe que la probabilidad de que un socio se lleve prestada una novela es $P(N) = 0,6$ y la probabilidad de que se lleve un cómic es $P(C) = 0,4$. Además, la probabilidad de que se lleve ambos es $P(N \cap C) = 0,15$.

Calcula la probabilidad de que un socio se lleve un cómic si sabemos que ya se ha llevado una novela.

Un analista de redes sociales estudia el comportamiento de los adolescentes en dos aplicaciones: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Los datos indican que:

• El $70 \%$ de los jóvenes usa TikTok.

• El $50 \%$ usa Instagram.

• La probabilidad de que un joven use Instagram sabiendo que usa TikTok es $0,4$.

Calcula la probabilidad de que un joven elegido al azar utilice ambas aplicaciones ($P(T \cap I)$) y razona si los sucesos son independientes.

En un estuche hay 5 subrayadores fluorescentes: 3 son de color amarillo y 2 son de color rosa. Extraemos dos subrayadores de forma consecutiva y sin reemplazamiento (sin devolver el primero al estuche).

Representa la situación mediante un diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que el segundo subrayador extraído sea rosa, sabiendo que el primero fue amarillo.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0,5$, la de $B$ es $P(B) = 0,3$ y la probabilidad de su unión es $P(A \cup B) = 0,65$.

A partir del siguiente diagrama de Venn, identifica la zona sombreada y calcula $P(A|B)$.

En una liga escolar de baloncesto, el $40 \%$ de los participantes son jugadores experimentados ($E$) y el resto son principiantes ($P$). Se sabe que el $80 \%$ de los experimentados llegan a la final ($F$), mientras que solo el $20 \%$ de los principiantes lo consiguen.

Si elegimos un participante al azar y sabemos que es principiante, ¿cuál es la probabilidad de que llegue a la final? Expresa el resultado utilizando la notación de probabilidad condicionada.

Se ha realizado un estudio sobre los hábitos de lectura de un grupo de estudiantes. La probabilidad de que un estudiante lea prensa digital es $P(L) = 0,45$. La probabilidad de que lea prensa digital y además escuche podcasts de noticias es $P(L \cap S) = 0,18$.

Halla la probabilidad de que un estudiante escuche podcasts de noticias, sabiendo que es lector de prensa digital.

En una tienda de ropa deportiva, el $60 \%$ de las ventas son zapatillas de running ($Z$) y el $40 \%$ son zapatillas de baloncesto ($B$). El $20 \%$ de los compradores de zapatillas de running también adquiere calcetines técnicos ($C$).

Si un cliente ha comprado unas zapatillas de running, ¿cuál es la probabilidad de que no haya comprado calcetines técnicos? (Recuerda la propiedad del suceso contrario en la probabilidad condicionada).

En una encuesta realizada a 200 alumnos de un instituto sobre el uso de redes sociales, se ha observado que 120 utilizan TikTok, 100 utilizan Instagram y 60 utilizan ambas plataformas. Si seleccionamos un alumno al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que utilice Instagram sabiendo que ya utiliza TikTok.
2. b) La probabilidad de que no utilice TikTok si sabemos que utiliza Instagram.
3. c) ¿Son los sucesos "ser usuario de TikTok" y "ser usuario de Instagram" independientes? Justifica la respuesta matemáticamente.

Una marca de ropa urbana fabrica sus sudaderas en dos talleres diferentes. El taller $A$ produce el $60\%$ de las prendas y el taller $B$ el resto. Se sabe que el $5\%$ de las sudaderas del taller $A$ tiene algún defecto de costura, mientras que en el taller $B$ el porcentaje de defectos es del $8\%$. Se elige una sudadera al azar de la tienda y resulta ser defectuosa. Calcula la probabilidad de que haya sido fabricada en el taller $A$.

Un estudiante de 2º de Bachillerato ha preparado 18 de los 25 temas de los que consta el examen final de Historia. El examen consiste en elegir al azar dos temas del total y desarrollar uno de ellos.

1. a) Calcula la probabilidad de que el alumno se sepa los dos temas extraídos.
2. b) Calcula la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (es decir, que se sepa al menos uno de los dos temas).

En un club de lectura, el $70\%$ de los socios lee novelas de misterio y el $45\%$ lee ensayos. Además, se sabe que el $30\%$ de los socios lee ambos tipos de libros. Si seleccionamos un socio que sabemos que no lee ensayos, ¿cuál es la probabilidad de que sí lea novelas de misterio?

Un centro de tecnificación deportiva clasifica a sus atletas según su dieta (Equilibrada o Deficiente) y su rendimiento en el último trimestre (Alto o Bajo). Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

Calcula:

1. a) $P(R | D)$
2. b) $P(\bar{D} | \bar{R})$
3. c) Determina si tener una dieta equilibrada y tener un rendimiento alto son sucesos independientes.

Un test de detección de una enfermedad rara, que padece el $1\%$ de la población, da positivo en el $96\%$ de los enfermos (sensibilidad). Sin embargo, también da un "falso positivo" en el $2\%$ de las personas sanas.

1. a) Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo en el test.
2. b) Si el test de una persona ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que esté enferma?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,6$ y $P(A \cup B) = 0,8$.

1. a) Calcula $P(A | B)$.
2. b) Calcula $P(B | \bar{A})$.
3. c) ¿Son $A$ y $B$ sucesos incompatibles? ¿Son independientes?

En una prueba de atletismo por relevos, la primera corredora tiene una probabilidad de completar su relevo sin penalización de $0,8$. La segunda corredora, de forma independiente a la primera, tiene una probabilidad de $0,7$.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas completen su relevo sin penalización?
2. b) Sabiendo que al menos una de las dos ha completado su relevo sin penalización, ¿cuál es la probabilidad de que la primera lo haya conseguido?

En un gimnasio, el $60 \%$ de los socios tiene una cuota "Mensual" ($S_1$) y el resto una cuota "Anual" ($S_2$). Se sabe que el $15 \%$ de los socios con cuota mensual se da de baja antes de finalizar el primer mes, mientras que entre los socios con cuota anual solo se da de baja el $5 \%$ en ese periodo.

Si seleccionamos un socio al azar que se ha dado de baja antes del primer mes, calcula la probabilidad de que tuviera contratada la cuota mensual.

Disponemos de dos urnas opacas. La urna $U_A$ contiene 4 bolas blancas y 6 bolas negras. La urna $U_B$ contiene 5 bolas blancas y 3 negras. El experimento consiste en extraer una bola de la urna $U_A$ y, sin mirar su color, introducirla en la urna $U_B$. A continuación, se extraen dos bolas simultáneamente de la urna $U_B$.

Si las dos bolas extraídas de la segunda urna resultan ser blancas, ¿cuál es la probabilidad de que la bola transferida desde la primera urna fuera negra? Expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

Un estudio sobre hábitos digitales en adolescentes revela que el $70 \%$ de los estudiantes de un centro utiliza una red social de microblogueo ($M$). Se sabe que el $40 \%$ de los usuarios de esa red ha experimentado fatiga digital ($F$), mientras que entre los que no la usan, el porcentaje de fatiga digital se reduce al $10 \%$.

Calcula las siguientes probabilidades:

1. Probabilidad de que un estudiante elegido al azar no use la red social y no tenga fatiga digital.

2. Si un estudiante afirma tener fatiga digital, ¿cuál es la probabilidad de que no sea usuario de dicha red social?

3. ¿Son los sucesos "ser usuario de la red social" y "tener fatiga digital" independientes? Justifica la respuesta matemáticamente.

Una fábrica de componentes para smartphones utiliza tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, para producir una pieza específica. La máquina $A$ produce el $45 \%$ del total, la $B$ el $30 \%$ y la $C$ el resto. Se ha detectado que el $2 \%$ de las piezas de $A$ son defectuosas, el $3 \%$ de las de $B$ y el $5 \%$ de las de $C$.

Si se elige una pieza al azar y resulta ser defectuosa, determina razonadamente qué máquina es más probable que la haya fabricado. Para ello, calcula las tres probabilidades a posteriori utilizando el Teorema de Bayes.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos $P(A \cup B) = 0,9$, $P(B|A) = 0,4$ y $P(A|\overline{B}) = 0,8$, donde $\overline{B}$ representa el suceso contrario de $B$.

Utilizando las propiedades del álgebra de sucesos y la definición de probabilidad condicionada, calcula:

1. $P(A \cap B)$

2. $P(A)$

3. $P(B)$

Ayuda: Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las definiciones de probabilidad condicionada.

En el proceso de selección para un programa de intercambio escolar, un estudiante debe superar dos fases consecutivas. La probabilidad de superar la primera fase es de $0,7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es de $0,6$. En cambio, si no supera la primera fase, tiene una oportunidad de "repesca" donde la probabilidad de superar la segunda fase cae a $0,2$.

1. Calcula la probabilidad de que el estudiante supere la segunda fase.

2. Sabiendo que el estudiante ha superado la segunda fase, ¿cuál es la probabilidad de que NO hubiera superado la primera fase originalmente?

Un centro de salud realiza un test de detección de una intolerancia alimentaria que afecta al $2 \%$ de la población. El test no es perfecto: da positivo en el $98 \%$ de las personas que realmente padecen la intolerancia, pero también da un "falso positivo" en el $3 \%$ de las personas sanas.

Si a un adolescente se le realiza el test y el resultado es positivo:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea intolerante?

2. Interpreta el resultado obtenido en relación con la eficacia del test para realizar diagnósticos masivos en poblaciones donde la prevalencia de la enfermedad es muy baja.

En un aula de 2º de Bachillerato, el $60 \%$ de los alumnos son mujeres. Se sabe que el $80 \%$ de las mujeres ha aprobado el último examen de matemáticas, mientras que el porcentaje de aprobados entre los hombres ha sido del $x \%$.

Si la probabilidad de que una persona elegida al azar del aula haya aprobado el examen es de $0,74$, calcula el valor de $x$ (porcentaje de aprobados entre los hombres). Posteriormente, calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre, sabiendo que ha suspendido el examen.