Ejercicios: Problemas de optimización con programación lineal

El obrador del comedor escolar prepara bizcochos ($x$) y magdalenas ($y$) para la semana cultural, con los datos que se resumen en la figura.

Dispone de $40$ huevos y de $25$ moldes de horneado: cada bizcocho usa $2$ huevos y cada magdalena, $1$, y cada pieza necesita un molde. El beneficio es de $1\ \text{€}$ por bizcocho y de $0,75\ \text{€}$ por magdalena (trabaja con la función objetivo en céntimos de euro, $F(x, y) = 100x + 75y$).

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Determina cuántas piezas de cada tipo maximizan el beneficio y calcula dicho beneficio.

Una escuela de danza abre dos niveles nuevos: iniciación ($x$ grupos) y avanzado ($y$ grupos). Solo dispone de $8$ franjas horarias semanales, y cada grupo de iniciación tiene $14$ alumnos y cada grupo avanzado, $10$, con un máximo de $100$ alumnos en total. La cuota mensual es de $50\ \text{€}$ en iniciación y de $40\ \text{€}$ en avanzado.

• a) Plantea las restricciones.

• b) Determina cuántos grupos de cada nivel maximizan los ingresos mensuales y calcula el ingreso máximo.

En un huerto urbano compartido se van a plantar tomateras ($x$) y lechugas ($y$), con los datos que se resumen en la figura.

Cada tomatera ocupa $1\ \text{m}^2$ y cada lechuga, $0,5\ \text{m}^2$, y hay $12\ \text{m}^2$ disponibles (escribe la restricción como $2x + y \leq 24$). El riego semanal es de $3$ litros por tomatera y $1$ litro por lechuga, con un máximo de $30$ litros. Se estima un valor de cosecha de $5\ \text{€}$ por tomatera y de $2\ \text{€}$ por lechuga.

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Calcula los vértices de la región factible.

• c) Halla la plantación que maximiza el valor de la cosecha.

La organización de un festival de música barrio encarga camisetas ($x$) y bolsas de tela ($y$) para vender en el mercadillo. El presupuesto es de $600\ \text{€}$: cada camiseta cuesta $8\ \text{€}$ y cada bolsa, $3\ \text{€}$. El proveedor no puede servir más de $150$ unidades en total. En la venta se ganan $5\ \text{€}$ por camiseta y $3\ \text{€}$ por bolsa.

• a) Plantea las restricciones.

• b) Determina el pedido que maximiza la ganancia y calcula dicha ganancia.

Un obrador artesano elabora empanadas de atún ($x$) y empanadas vegetales ($y$), cuyos datos de producción se resumen en la figura.

Las restricciones son la masa disponible, $2x + 3y \leq 60$, y las bandejas de horno, $x + y \leq 25$. El beneficio es de $3\ \text{€}$ por empanada de atún y de $4\ \text{€}$ por empanada vegetal.

• a) Escribe el sistema de restricciones completo.

• b) Representa la región factible y halla sus vértices.

• c) Calcula la producción que maximiza el beneficio e interpreta el resultado.

Una protectora de animales prepara sacos de pienso mezclando dos ingredientes, A ($x$ kg) y B ($y$ kg). Cada saco debe contener al menos $30$ unidades de proteína (el ingrediente A aporta $3$ por kg y el B, $2$ por kg) y al menos $12$ unidades de fibra (cada kg de cualquiera de los dos aporta $1$). El ingrediente A cuesta $2\ \text{€}$ por kg y el B, $1,5\ \text{€}$ por kg.

• a) Plantea las restricciones (usa $F(x, y) = 4x + 3y$ como coste en medios euros).

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Determina la composición del saco de coste mínimo.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «En un problema de programación lineal con solución óptima única $(12, 8)$, ese punto es necesariamente un vértice de la región factible».

Un colegio organiza la excursión de fin de curso y contrata furgonetas de $9$ plazas ($x$) y minibuses de $18$ plazas ($y$). Deben transportarse al menos $180$ alumnos y la empresa solo dispone de $14$ vehículos en total. Cada furgoneta cuesta $60\ \text{€}$ y cada minibus, $150\ \text{€}$.

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Determina cuántos vehículos de cada tipo minimizan el coste y calcula ese coste mínimo.

Un taller textil fabrica mochilas urbanas ($x$) y mochilas de montaña ($y$). La tabla resume los minutos que cada modelo necesita en cada sección y los minutos disponibles al día:

El beneficio es de $12\ \text{€}$ por mochila urbana y de $15\ \text{€}$ por mochila de montaña.

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Determina la producción diaria que maximiza el beneficio y su valor.

Un nutricionista deportivo combina barritas energéticas ($x$) y batidos ($y$) para la dieta de un ciclista. La pauta exige un mínimo de $60$ unidades de carbohidratos (cada barrita aporta $4$ y cada batido, $3$) y de $30$ unidades de proteína (cada barrita aporta $3$ y cada batido, $1$). Cada barrita cuesta $3\ \text{€}$ y cada batido, $2\ \text{€}$.

• a) Plantea el sistema de restricciones y representa la región factible.

• b) Halla sus vértices.

• c) Calcula la combinación semanal de coste mínimo que cumple la pauta.

Una tienda de barrio organiza sus turnos de sábado: $x$ empleados por la mañana e $y$ por la tarde. Necesita al menos $4$ empleados por la mañana y $3$ por la tarde; el convenio no permite más de $12$ empleados en total, y el turno de tarde no puede tener más del doble de personas que el de mañana. La venta esperada por empleado es de $300\ \text{€}$ por la mañana y de $400\ \text{€}$ por la tarde.

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Determina la distribución de turnos que maximiza la venta esperada.

Una carpintería de barrio fabrica taburetes ($x$) y mesas ($y$). Los datos de producción se resumen en la figura.

Cada taburete necesita $30$ minutos de corte y $20$ de lijado; cada mesa, $60$ de corte y $40$ de lijado. La sierra puede usarse $10$ horas semanales y la lijadora, $11$ horas (escribe las restricciones como $x + 2y \leq 20$ y $2x + y \leq 22$). El beneficio es de $18\ \text{€}$ por taburete y de $30\ \text{€}$ por mesa.

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Representa la región factible y halla sus vértices.

• c) Calcula la producción semanal de beneficio máximo.

• d) En la solución óptima, ¿qué máquina se queda con tiempo libre? Calcula cuánto.

Una estudiante ha ganado una beca de $3.000\ \text{€}$ y quiere repartirla entre un depósito seguro ($x$ euros, al $4\ \%$ anual) y un fondo con algo de riesgo ($y$ euros, al $6\ \%$ anual). Su familia le aconseja que la cantidad del fondo no supere la del depósito.

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Determina cómo debe repartir el dinero para maximizar el interés anual y calcula dicho interés.

Una cooperativa agrícola reparte cajas de fruta con furgonetas pequeñas ($x$, de $40$ cajas) y grandes ($y$, de $60$ cajas). Debe repartir al menos $480$ cajas diarias; en la nave solo caben $10$ vehículos cargando a la vez, y por las rutas largas se necesitan al menos $2$ furgonetas grandes (usa las restricciones $2x + 3y \geq 24$, $x + y \leq 10$, $y \geq 2$). Cada furgoneta pequeña cuesta $25\ \text{€}$ al día y cada grande, $40\ \text{€}$ (trabaja con $F(x, y) = 5x + 8y$).

• a) Representa la región factible y halla sus vértices.

• b) Determina la flota diaria de coste mínimo y calcula ese coste.

Una frutería compra naranjas ($x$ kg) y manzanas ($y$ kg). Puede almacenar como mucho $400\ \text{kg}$ en total; su proveedor le exige comprar al menos $100\ \text{kg}$ de naranjas, y por espacio en cámaras no puede comprar más de $250\ \text{kg}$ de naranjas. El beneficio es de $2\ \text{€}$ por kg de naranjas y de $1,5\ \text{€}$ por kg de manzanas. Un empleado plantea el problema escribiendo $x + y \geq 400$ y $x \leq 100$.

• a) Encuentra los dos errores del planteamiento del empleado y escribe el sistema correcto.

• b) Resuelve el problema correcto: ¿cuántos kg de cada fruta maximizan el beneficio?

Un club de senderismo programa rutas cortas ($x$) y rutas largas ($y$) cada mes. Cada ruta corta necesita $1$ guía y $2$ horas de furgoneta; cada ruta larga, $2$ guías y $3$ horas de furgoneta. El club dispone de $10$ guías y de $18$ horas mensuales de furgoneta. Cada ruta corta deja unos ingresos netos de $150\ \text{€}$ y cada larga, de $240\ \text{€}$ (usa $F(x, y) = 5x + 8y$).

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Determina la programación mensual de ingresos máximos y calcula dichos ingresos.

(Modelo de examen.) Una empresa envasa zumo natural ($x$ litros) y zumo de concentrado ($y$ litros). Cada litro de natural necesita $3$ kg de naranja, $1$ kg de mango y $2$ minutos de línea de envasado; cada litro de concentrado, $2$ kg de naranja, $2$ kg de mango y $2$ minutos de línea. Diariamente se dispone de $120$ kg de naranja, $50$ kg de mango y $70$ minutos de línea (restricciones: $3x + 2y \leq 120$, $x + 2y \leq 50$, $x + y \leq 35$). El beneficio es de $4\ \text{€}$ por litro de natural y de $5\ \text{€}$ por litro de concentrado.

• a) Halla los vértices de la región factible.

• b) Determina la producción diaria de beneficio máximo.

• c) En la producción óptima, ¿sobra algún recurso? Calcula qué cantidad sobra de cada uno.

Un pequeño taller produce dos artículos con las restricciones $2x + y \leq 40$, $x + 2y \leq 40$, $x \geq 0$, $y \geq 0$. El segundo artículo deja un beneficio fijo de $10\ \text{€}$ por unidad, pero el primero depende del precio de mercado: $p$ euros por unidad, con $p > 0$. La función objetivo es $F(x, y) = px + 10y$.

• a) Halla los vértices de la región factible.

• b) Demuestra que si $p < 5$ lo mejor es fabricar solo el segundo artículo.

• c) Demuestra que si $p > 20$ lo mejor es fabricar solo el primero.

• d) ¿Qué producción maximiza el beneficio cuando $5 < p < 20$? ¿Y qué ocurre exactamente en $p = 5$ y en $p = 20$?

Se desea preparar un alimento para aves mezclando dos piensos, A ($x$ kg) y B ($y$ kg). La mezcla debe contener al menos $24$ unidades del nutriente N1 (A aporta $2$, B aporta $1$), al menos $18$ del nutriente N2 (A aporta $1$, B aporta $2$) y al menos $10$ del nutriente N3 (ambos aportan $1$). El pienso A cuesta $1,2\ \text{€}$ por kg y el B, $0,8\ \text{€}$ por kg.

• a) Plantea el sistema de restricciones y comprueba que la región factible no es acotada.

• b) Halla sus vértices (cuidado: no todas las intersecciones de rectas frontera son vértices de la región).

• c) Determina la mezcla de coste mínimo y calcula ese coste.

• d) Razona por qué en este problema tiene sentido hablar de mínimo aunque la región no sea acotada.

Una imprenta 3D produce figuras de ajedrez ($x$) y maceteros ($y$) con las restricciones $3x + 2y \leq 36$ (gramos de filamento, en decenas), $x + y \leq 15$ (horas de impresión disponibles, en medias horas) y $x \geq 0$, $y \geq 0$. El beneficio es de $6\ \text{€}$ por figura y de $4\ \text{€}$ por macetero.

• a) Halla los vértices de la región factible y evalúa el beneficio en ellos.

• b) Demuestra que hay infinitas producciones que dan el beneficio máximo e identifica el segmento de soluciones.

• c) Da tres producciones óptimas de coordenadas enteras.

• d) Explica qué relación hay entre la función objetivo y la restricción del filamento que causa este fenómeno.

Un concierto benéfico vende entradas generales ($x$, a $12\ \text{€}$) y entradas premium ($y$, a $25\ \text{€}$), con las condiciones que se resumen en la figura.

El recinto tiene un aforo máximo de $500$ personas; la zona premium solo admite $200$ personas, y la organización se ha comprometido a poner a la venta al menos $100$ entradas generales.

• a) Plantea el sistema de restricciones.

• b) Representa la región factible y halla sus vértices.

• c) Calcula la combinación de entradas que maximiza la recaudación y su importe.

• d) Si el ayuntamiento amplía el aforo a $550$ personas, ¿cuánto aumenta la recaudación máxima? Resuélvelo y explica por qué el aumento no es proporcional al nuevo aforo.

Un club deportivo encarga a un taller camisetas normales ($x$) y camisetas técnicas ($y$). El taller dispone de $40$ horas de confección (cada camiseta lleva $1$ hora: $x + y \leq 40$) y de $60$ metros de tejido (las normales gastan $2$ metros y las técnicas, $1$: $2x + y \leq 60$). Por acuerdo con el club, las camisetas técnicas no pueden superar el $60\ \%$ del total producido.

• a) Expresa la condición del porcentaje como una inecuación lineal en $x$ e $y$.

• b) Halla los vértices de la región factible.

• c) Si cada camiseta normal deja $10\ \text{€}$ de beneficio y cada técnica, $8\ \text{€}$, determina la producción de beneficio máximo.

• d) ¿Está activa (se cumple con igualdad) la restricción del porcentaje en la solución óptima? Interprétalo.

Un ayuntamiento quiere plantar al menos $100$ árboles de sombra ($x$) y $80$ árboles de flor ($y$) en un parque. Cada árbol de sombra cuesta $80\ \text{€}$ y cada uno de flor, $40\ \text{€}$, y la partida presupuestaria es de $6.000\ \text{€}$ (restricción $2x + y \leq 150$).

• a) Plantea el sistema completo y demuestra que la región factible es vacía.

• b) Calcula el presupuesto mínimo que hace el problema factible manteniendo los demás datos, y comprueba que con ese presupuesto la región factible consta de un único punto.

• c) Con un presupuesto de $12.000\ \text{€}$, halla los vértices de la región y determina la plantación que maximiza el número total de árboles.

Una AMPA organiza el viaje de estudios y negocia con una empresa de autocares: autocares grandes ($x$, de $55$ plazas, a $400\ \text{€}$) y pequeños ($y$, de $35$ plazas, a $300\ \text{€}$). Deben viajar al menos $385$ personas y la empresa solo tiene $5$ autocares grandes disponibles.

• a) Plantea el sistema de restricciones (simplifica la de plazas a $11x + 7y \geq 77$).

• b) Resuelve el problema como si las variables fueran continuas: halla los vértices y el coste mínimo teórico.

• c) Como los autocares deben ser enteros, busca la mejor solución entera y calcula el sobrecoste respecto del óptimo continuo.

• d) Explica por qué la mejor solución entera no se obtiene simplemente redondeando el vértice óptimo continuo.