Ejercicios: Integrales semi inmediatas

Calcula la siguiente integral indefinida de una función potencial compuesta, realizando el ajuste de la constante necesaria para que el integrando coincida con la derivada de la función interna:

Halla la primitiva de la función exponencial cuya derivada requiere un pequeño ajuste numérico en el coeficiente:

Determina la integral indefinida de la siguiente función racional. Observa que el numerador es casi la derivada del denominador, por lo que se trata de una integral de tipo logarítmico:

Calcula la integral de la siguiente función trigonométrica. Recuerda que al integrar $\cos(f(x))$, debes tener presente la derivada del argumento $f'(x)$:

Resuelve la integral de la siguiente función raíz. Para facilitar el cálculo, exprésala primero como una potencia de exponente fraccionario:

En el estudio de una campaña publicitaria en redes sociales, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los seguidores de una cuenta viene dado por la función $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$. Calcula la función de seguidores totales $f(x)$ sabiendo que es una integral de tipo logarítmico:

Calcula la integral de la siguiente función potencial multiplicada por una constante. Asegúrate de identificar correctamente la derivada de la base para ajustar el coeficiente:

Una empresa de mensajería ha calculado que su coste marginal (el coste de enviar un paquete adicional) sigue la función $C'(x) = 6 \cdot e^{3x}$. Halla la expresión de la función de coste total $C(x)$ mediante el cálculo de su integral indefinida:

Un creador de contenido ha analizado que la tasa de crecimiento de sus seguidores en una red social sigue una función marginal dada por $f'(x) = (2x + 5)^3$, donde $x$ representa el tiempo en meses. Calcula la familia de funciones primitivas $F(x)$ que describen el número total de seguidores.

Una empresa de mensajería determina que el coste marginal de enviar un paquete a una distancia $x$ (en cientos de kilómetros) viene dado por la función $C'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}$. Determina la función de coste total $C(x)$, sabiendo que existen unos costes fijos de gestión (cuando $x=0$) de $10$ euros.

La velocidad de carga de una batería de grafeno en un laboratorio se comporta según la función $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Calcula la función que representa la energía total acumulada $E(t)$, teniendo en cuenta que en el instante inicial $t = 0$, la energía acumulada es de $5$ unidades.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función, aplicando la regla de las funciones de tipo logarítmico:

Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(4, 10)$. Pista: Expresa la raíz como una potencia de exponente negativo para identificar la forma de la función compuesta.

El departamento de marketing de una marca de zapatillas ha detectado que las ventas diarias $V(t)$ varían de forma estacional según la derivada $V'(t) = 100 \cdot \cos(2t)$, donde $t$ es el tiempo en días desde el inicio de la campaña. Encuentra la función de ventas totales $V(t)$ sabiendo que el primer día ($t=0$) se realizaron $500$ ventas.

Resuelve la siguiente integral indefinida identificando la estructura de la derivada de una función compuesta (tipo potencia):

Dada la función $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$, se pide:

1. Hallar su primitiva general $F(x)$.

2. Determinar el valor de la constante $C$ para que la primitiva cumpla que $F(0) = \ln(2) + 3$.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ que pasa por el origen de coordenadas. Pista: Intenta relacionar el exponente del numerador con el del denominador para identificar una estructura de tipo arcoseno.

Un nuevo videojuego de mundo abierto consume datos móviles según un ritmo de transferencia dado por la función $D'(t) = \frac{e^t}{1 + e^{2t}}$, donde $t$ es el tiempo en horas y $D'(t)$ se mide en Gigabytes por hora (GB/h). Si al empezar a jugar ($t=0$) el contador de datos estaba en $0,5$ GB, determina la función $D(t)$ que permite calcular el consumo total acumulado en cualquier instante.

Determina la integral indefinida de la siguiente función, realizando los ajustes de constantes necesarios para que el numerador sea la derivada exacta de la función interna:

Un influencer analiza el ritmo de crecimiento de sus seguidores en una red social. La velocidad de crecimiento viene dada por $S'(t) = \frac{300 \cdot \ln t}{t}$ seguidores por día, donde $t$ es el tiempo en días transcurridos desde el lanzamiento de una campaña publicitaria ($t \ge 1$). Sabiendo que en el momento inicial ($t=1$) contaba con $5.000$ seguidores, halla la expresión de la función $S(t)$.

Halla todas las funciones primitivas de la función $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 13}$.

Nota: Observa que el denominador no tiene raíces reales. Deberás descomponer la integral en dos partes para obtener una estructura de logaritmo neperiano y otra de arcotangente.

Calcula la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \text{tg } x \cdot \sec^2 x$ que cumple la condición $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$. ¿Qué valor tomaría la función en $x = 0$?

En un laboratorio de biología, se estudia la propagación de una bacteria. La tasa de variación de la población $P(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley:

Si inicialmente ($t=0$) hay $1.000$ bacterias, determina la población de bacterias al cabo de $2$ horas.

Halla la función $f(x)$ sabiendo que su derivada segunda es $f''(x) = 12x^2 - 6x$ y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es la recta $y = 4x - 2$.

Nota: Este ejercicio requiere integrar dos veces de forma consecutiva funciones con estructuras de potencias compuestas.