Ejercicios: Integración de racionales

En una investigación sobre la propagación de una noticia en redes sociales, se ha determinado que la velocidad de difusión sigue una función racional. Calcula la primitiva de la siguiente función, que representa dicha velocidad, para encontrar la función de impacto total:

Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}$. Pista: Observa si el numerador es la derivada del denominador.

Una empresa de componentes electrónicos ha calculado que el coste marginal de producir un nuevo modelo de auriculares inalámbricos viene dado por la función $C'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 10}$, donde $x$ es el número de unidades producidas. Determina la función de coste total $C(x)$, sabiendo que los costes fijos (cuando $x=0$) son de 500 euros.

Para resolver integrales racionales por el método de descomposición en fracciones simples, primero debemos descomponer el denominador. Calcula la siguiente integral sabiendo que el denominador ya está factorizado:

Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, debemos realizar una división polinómica previa. Realiza la división y calcula la integral de la siguiente función:

Halla la familia de primitivas de la función racional $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$. Pista: Divide cada término del numerador por el denominador.

Calcula el área del recinto sombreado en la siguiente figura, que está delimitado por la función $f(x) = \frac{1}{x}$, el eje $OX$ y las rectas $x = 1$ y $x = e$.

Determina la integral indefinida de la siguiente función racional ajustando las constantes necesarias para obtener un logaritmo neperiano:

Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en fracciones simples:

Para resolverlo, identifica primero las raíces del denominador y descompón el integrando en la forma $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}$.

Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{x + 4}{x^2 + 4x}$ que cumple la condición de pasar por el punto $(1, \ln(5))$.

Recuerda que para determinar la constante de integración $C$ debes utilizar el valor de la función en el punto dado una vez realizada la integración por descomposición.

En el estudio de una campaña de marketing digital, se ha determinado que la velocidad de captación de nuevos usuarios sigue la función $v(t) = \frac{t^2 + 2t + 3}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en días.

Calcula la función de usuarios totales $U(t)$, sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) había 100 usuarios.

Pista: Realiza primero la división polinómica ya que el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador.

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow:

Para ello, descompón la fracción en suma de fracciones simples y opera con las propiedades de los logaritmos para simplificar el resultado final.

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 4$ y $x = 6$.

Nota que el denominador presenta una raíz real doble. Utiliza la descomposición adecuada para este caso.

El coste marginal de producción de una empresa de componentes electrónicos viene dado por la función $C'(x) = \frac{400}{x + 50}$ (en euros por unidad), donde $x$ representa el número de unidades fabricadas.

Determina el incremento total del coste si la producción aumenta de 150 a 250 unidades.

Determina los valores de los parámetros reales $A$ y $B$ para que se verifique la siguiente igualdad de descomposición en fracciones simples:

Una vez hallados, calcula la integral indefinida de la función original.

Halla el área de la región del plano encerrada entre la curva $y = \frac{x^2}{x-1}$ y la recta $y = x + 2$.

Sigue estos pasos:

1. Encuentra los puntos de corte entre la curva y la recta.

2. Plantea la integral definida de la diferencia de ambas funciones entre dichos puntos.

3. Resuelve la integral racional resultante (necesitarás realizar la división de polinomios).

Una empresa de mensajería ha determinado que el coste marginal de procesar $x$ miles de paquetes diarios viene dado por la función $C'(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 + 5}{x^2 + 2x}$ (en cientos de euros). Sabiendo que los costes fijos (el coste de procesar 0 paquetes) son de 1200 euros, obtén la función de coste total $C(x)$.

Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 10x + 7}{(x-1)^2(x-3)}$. Ten en cuenta que el denominador presenta una raíz real doble y una simple, lo que requiere una descomposición en tres fracciones simples.

Se estima que la tasa de variación de la población de una ciudad, en relación al tiempo $t$ (en años), sigue el modelo $P'(t) = \dfrac{4t^2}{t^2 - 5t + 6}$. Si la población actual ($t=0$) es de 50.000 habitantes, calcula la expresión de la función de población $P(t)$ y determina el crecimiento total experimentado entre el año $t=4$ y el año $t=5$.

Halla una función primitiva $F(x)$ de $f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}$ que cumpla la condición de que su gráfica pase por el punto $(3, \ln 5)$. Pista: Realiza primero la división polinómica.

Calcula el valor de la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx$ utilizando el cambio de variable $e^x = t$. Una vez realizado el cambio, resuelve la integral racional resultante.

Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$, determina el área del recinto limitado por la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$. Presenta el resultado final utilizando un único logaritmo.

Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la función $F(x) = A \cdot \ln|x+1| + B \cdot \ln|x-2| + \dfrac{C}{x-2}$ sea una primitiva de $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-2)^2}$.

El ingreso marginal por la venta de un nuevo modelo de smartphone (en cientos de euros por unidad) viene dado por $I'(x) = \dfrac{200x + 400}{x^2 + 4x + 4}$. Si el ingreso total por vender 8 unidades es de 1500 euros, ¿cuál será el ingreso total si se venden 18 unidades? Nota: Observa si el denominador puede simplificarse o expresarse como una potencia de un binomio.