Ejercicios: Primitiva de una función

Dada la función $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$, comprueba razonadamente si la función $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ es una de sus primitivas. Para ello, utiliza la definición de primitiva basada en la derivación.

Halla el conjunto de todas las primitivas de la función polinómica $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Recuerda incluir la constante de integración $C$ y explicar qué representa geométricamente este valor en el gráfico de las funciones resultantes.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = e^x + \cos(x)$ que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto $(0, 0)$.

En el departamento de marketing de una conocida marca de zapatillas, han determinado que el ingreso marginal (la derivada del ingreso total) viene dado por la función $I'(x) = 100 - 4x$, donde $x$ representa el número de unidades vendidas. Calcula la función de ingreso total $I(x)$ sabiendo que si no se vende ninguna unidad, el ingreso es cero ($I(0) = 0$).

Halla la integral indefinida de la función racional $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}$ para valores de $x > 0$. Utiliza las propiedades de linealidad de la integral para resolver cada sumando por separado.

Determina la función $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \sqrt{x}$ y que cumple la condición de que $F(1) = 2$. Expresa el resultado final con el exponente en forma de fracción.

Un dron se desplaza de forma que su velocidad en metros por segundo sigue la función $v(t) = 2t + 3$. Si en el instante inicial ($t = 0$) el dron se encuentra en la posición $s = 10$ metros, obtén la función de posición $s(t)$ integrando la función de velocidad.

Calcula una función $G(x)$ tal que $G'(x) = 5 \cdot e^x - 2x$ y que pase por el punto $(0, 7)$. Una vez hallada, verifica tu resultado derivando la función obtenida.

Dada la función $f(x) = \dfrac{6x}{x^2+3} + 4e^{2x}$, comprueba si la función $F(x) = 3 \ln(x^2+3) + 2e^{2x} + \pi$ es una de sus primitivas. Justifica tu respuesta utilizando la definición de primitiva y explica qué papel juega la constante $\pi$ en este contexto.

Un dron de vigilancia se desplaza de forma lineal y su velocidad en metros por segundo, transcurridos $t$ segundos, viene dada por la función $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$. Sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) el dron se encuentra a una distancia de 15 metros del punto de control, halla la expresión de la función de posición $s(t)$.

Una empresa emergente de desarrollo de aplicaciones móviles estima que el ingreso marginal (en miles de euros) por cada mil descargas adicionales de su nueva App viene dado por la función:

$I'(x) = \dfrac{1}{x+1} + 2x$

donde $x$ representa el número de miles de descargas ($x > 0$).

Calcula la función de ingresos totales $I(x)$, sabiendo que si no hay descargas ($x=0$), el ingreso es nulo.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $F(x) = a \cdot e^{x^2} + b \cdot \ln(x)$ sea una primitiva de la función $f(x) = 4x \cdot e^{x^2} + \dfrac{5}{x}$. Una vez hallados, escribe la expresión de todas las posibles primitivas de $f(x)$.

La derivada de una función $f(x)$ es $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Halla la expresión de $f(x)$ sabiendo que su gráfica corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en el punto $y = 7$.

Determina la función $f(x)$ de la que se conoce que su segunda derivada es $f''(x) = 12x - 4$. Además, se sabe que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ es horizontal, y que la función pasa por el punto $(0, 5)$.

El coste marginal de fabricación de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos se define por la función $C'(q) = \sqrt{q+4}$, donde $q$ es el número de unidades producidas. Si los costes fijos de la fábrica (costes cuando la producción es cero) ascienden a $5000$ euros, encuentra la función de coste total $C(q)$.

De todas las primitivas de la función $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, encuentra aquella cuya gráfica pasa por el punto $(3, 10)$. Expresa el resultado de forma simplificada utilizando logaritmos neperianos.

Se considera la función marginal de los beneficios de una empresa emergente de desarrollo de software, definida por la siguiente función a trozos:

Donde $x$ representa el número de años desde la creación de la empresa y $f(x)$ el ritmo de crecimiento de los beneficios en miles de euros por año.

Halla la función de beneficios acumulados $F(x)$ sabiendo que es una función continua en todo su dominio y que en el momento de su lanzamiento ($x=0$) la empresa contaba con unos fondos iniciales de $10$ mil euros.

Una conocida plataforma de streaming ha analizado que la velocidad de captación de nuevos suscriptores en España sigue la función $v(t) = \frac{\ln(t+1)}{(t+1)^2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde una campaña de marketing viral.

Se pide calcular la función que determina el número total de suscriptores adicionales $S(t)$ generados por la campaña, sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) no había ningún suscriptor atribuible a dicha campaña. Expresa el resultado de forma simplificada utilizando la técnica de integración por partes.

Dada la función $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que una de sus funciones primitivas, $F(x)$, cumple simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Pasa por el punto $P(1, 4)$.

2. Tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$.

3. La recta tangente a la gráfica de $F(x)$ en $x = -1$ tiene una pendiente igual a $3$.

Un equipo de sociólogos estudia la velocidad de propagación de una noticia falsa en una red social. Determinan que el ritmo de compartidos por hora viene dado por la función:

Halla la expresión de la función $C(t)$ que representa el número total de compartidos acumulados, sabiendo que a la hora de empezar el estudio ($t=0$) ya se habían realizado $100$ compartidos. Utiliza la descomposición en fracciones simples para resolver la integral y deja el resultado en función de un único logaritmo.

La gráfica adjunta representa la función derivada $f'(x)$ de una función $f(x)$ que es continua en todo el intervalo $[-2, 2]$.

Sabiendo que la función original $f(x)$ pasa por el punto $(0, 1)$, obtén la expresión analítica de $f(x)$ y razona, a partir de la geometría de la derivada, cuántos puntos de inflexión tendrá la primitiva en ese intervalo.

Halla la función primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$ que cumpla la condición $F(1) = 2 \cdot \ln(2)$.

Sugerencia: Utiliza el cambio de variable $t = \sqrt{x}$.

Se sabe que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función $f(x)$ en cualquier punto $(x, f(x))$ viene dada por la expresión $m(x) = (x^2 - 1) \cdot \ln(x)$ para $x > 0$.

Determina la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica corta al eje de abscisas en el punto $x = 1$. Deberás aplicar el método de integración por partes y simplificar el polinomio resultante.

Una empresa de logística ha calculado que el coste marginal de mantener un paquete en su almacén central (en euros por día) depende del tiempo $t$ (en días) según la función:

Calcula la función de coste total $C(t)$ si se sabe que los costes fijos de entrada al almacén (coste en $t=0$) ascienden a $50$ euros.

Nota: Realiza la división polinómica previa para obtener una integral inmediata o casi inmediata.