Ejercicios: Integración por partes

Para iniciarte en el método de integración por partes, es fundamental saber elegir qué función será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos). Utilizando la regla mnemotécnica ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos), identifica $u$ y $dv$ para resolver la siguiente integral indefinida:

Calcula la primitiva de la función $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Recuerda que al aplicar el método de las partes, debes buscar que la nueva integral resultante sea más sencilla que la original.

Un clásico de las integrales por partes es la función logaritmo, ya que no tiene una integral inmediata directa. En este caso, debemos considerar que la función está multiplicada por $1$ (es decir, $dv = dx$).

Calcula la siguiente integral indefinida:

Halla el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado final sacando factor común si es posible:

Calcula la integral indefinida de la función $g(x) = 2x \cdot \sin(x)$. Indica paso a paso cuál ha sido tu elección para $u$ y para $dv$, así como sus correspondientes diferencial de $u$ ($du$) e integral de $v$ ($v$).

El ritmo de crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio sigue la función marginal $B'(t) = \ln(2t)$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la función general de la población $B(t)$ integrando por partes.

Determina la integral definida en el intervalo $[1, e]$ de la función $f(x) = 5 \ln(x)$.

Pista: Primero halla la integral indefinida por partes y luego aplica la Regla de Barrow.

Calcula el área de la región plana limitada por la curva $y = x \cdot e^{-x}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 1$.

Un conocido influencer ha analizado el crecimiento de sus seguidores en una nueva red social. La velocidad de crecimiento instantánea (seguidores por día) viene dada por la función $f(t) = (2t + 10) \cdot e^{0,1t}$, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento de su canal. Utiliza el método de integración por partes para calcular la función $S(t)$ que representa el número total de seguidores acumulados, sabiendo que en el momento del lanzamiento ($t = 0$) el canal contaba con 500 seguidores.

En un estudio sobre psicología del aprendizaje, se ha determinado que la capacidad de retener nuevos términos de vocabulario en una lengua extranjera sigue un ritmo marcado por la función $v(t) = t^2 \cdot \ln(t)$, donde $t$ es el tiempo de estudio en horas ($t \geq 1$). Calcula la primitiva de esta función que pasa por el punto $(1, 2)$.

Una empresa de sonido está diseñando un filtro para ecualizar pistas de audio. La energía disipada por un componente en un intervalo de tiempo se calcula mediante la integral definida de la función $E(t) = x \cdot \cos(x)$. Determina el valor exacto del área encerrada por la función $f(x) = x \cdot \cos(x)$, el eje de abscisas y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$.

Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilizando el método de integración por partes. Pista: puedes considerar que la función está multiplicada por 1 para elegir tus variables $u$ y $dv$.

El beneficio marginal de una tienda de ropa vintage (en cientos de euros por mes) viene definido por la función $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, donde $x$ representa el número de meses desde su apertura. Aplicando el método de integración por partes las veces que sea necesario, obtén la expresión del beneficio total $B(x)$, sabiendo que al finalizar el primer mes ($x = 0$) el beneficio era nulo.

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. Realiza un pequeño esquema del recinto antes de calcular la integral.

El coste marginal de producción de una fábrica de patinetes eléctricos se ajusta a la función $C'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ para $x > 1$, donde $x$ es el número de unidades producidas en miles. Determina la función de coste total $C(x)$ si los costes fijos (coste cuando $x = 1$) ascienden a 10 (en miles de euros).

Calcula la siguiente integral indefinida que combina funciones trigonométricas y polinómicas:

Asegúrate de simplificar el resultado final lo máximo posible.

Calcula la primitiva de la siguiente función que pasa por el punto $(1, 2)$:

Nota: Recuerda que tras aplicar la fórmula de integración por partes, es posible que necesites realizar una división de polinomios o un ajuste para resolver la integral resultante.

Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles ha detectado que el ritmo de crecimiento de nuevos usuarios de su última red social sigue la función:

donde $t$ representa el tiempo en meses desde su lanzamiento. Determina la función que describe el número total de usuarios acumulados, sabiendo que en el momento del lanzamiento ($t=0$) la aplicación contaba con $1000$ usuarios de la fase beta.

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando el método de integración por partes:

Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x-1) \cdot e^x$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. Ilustra la región sombreada en tu cuaderno antes de realizar el cálculo.

Un ingeniero modela la velocidad de vibración de una estructura sometida a oscilaciones forzadas mediante la función (en metros por segundo):

Calcula la integral indefinida de esta función. Ten en cuenta que este tipo de integrales se denominan "cíclicas", ya que al aplicar el método de integración por partes dos veces, reaparecerá la integral original en el lado derecho de la igualdad.

Calcula la primitiva de la función $g(x) = \frac{\ln x}{x^3}$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión cuya coordenada $y$ es igual a $\frac{1}{4}$.

Resuelve la siguiente integral utilizando primero un cambio de variable y, posteriormente, el método de integración por partes:

Sugerencia: Haz el cambio $t = \sqrt{x}$. No olvides calcular el nuevo diferencial $dx$ en función de $dt$.

Determina el valor del parámetro real $k > 0$ sabiendo que el área de la región encerrada por la curva $f(x) = k \cdot x \cdot e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$ es exactamente igual a $5$ unidades cuadradas.