Ejercicios: Área limitada por dos curvas

Un diseñador gráfico está creando un nuevo logotipo para una marca de ropa urbana. El diseño central consiste en el área encerrada entre la parábola $f(x) = -x^2 + 4$ y la recta $g(x) = x + 2$.

Halla los puntos de corte entre ambas funciones y calcula el área de la región resultante para determinar cuánta pintura plateada se necesitará para el estampado.

En un parque de deportes extremos, se quiere instalar una rampa de skate. El perfil lateral de la rampa está definido por la curva $f(x) = x^2$ y se quiere cubrir con una lona de seguridad que llega hasta la plataforma horizontal definida por la recta $g(x) = 4$.

Calcula el área de la sección lateral comprendida entre la rampa y la plataforma horizontal (unidades en metros).

Dos empresas tecnológicas comparan el crecimiento de sus usuarios en el primer año. El número de usuarios (en miles) de la empresa A sigue la función $f(x) = x^2$, mientras que la empresa B sigue la función $g(x) = x$.

Calcula el área de la región comprendida entre ambas gráficas en el intervalo $[0, 1]$ para visualizar la diferencia total de usuarios acumulada durante ese primer año.

Se está diseñando un panel solar con una forma geométrica especial. Los bordes del panel están definidos por la parábola $f(x) = 2x - x^2$ y la parábola invertida $g(x) = x^2 - 2x$.

Calcula los puntos de intersección de ambas curvas y el área total de la superficie del panel solar.

Un arquitecto quiere diseñar una ventana para un edificio moderno. La parte superior está delimitada por la curva $f(x) = 6x - x^2$ y la parte inferior por la recta $g(x) = x$.

Determina el recinto encerrado por estas dos funciones y calcula su área para prever la cantidad de cristal necesaria.

En un proyecto de ingeniería ambiental, se estudia la sección transversal de un canal de riego. El perfil del canal viene dado por la curva $f(x) = x^2 - 1$ y el nivel máximo del agua está limitado por la recta $g(x) = 3$.

Calcula el área de la sección transversal del canal que queda por debajo del nivel del agua.

Calcula el área de la región plana limitada por las funciones $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2$ en el primer cuadrante.

Ayuda: Recuerda que $\sqrt{x}$ se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario para facilitar la integración.

Determina el área del recinto limitado por la recta $y = 2x$ y la curva $y = x^2 - 3$.

Para ello, obtén primero los puntos de corte igualando ambas funciones y aplica la regla de Barrow al integrando de la función diferencia.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = x$. Comienza identificando los puntos de intersección de ambas curvas y realiza un esbozo del recinto antes de aplicar la regla de Barrow.

Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2 - 2x + 1$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Determina cuál de las dos funciones queda por encima de la otra en el intervalo de integración analizando el signo de la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x)$.

Una empresa de diseño quiere crear un nuevo logotipo utilizando la región encerrada por las curvas $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2$. Calcula el área de dicha región (expresada en unidades cuadradas) para poder presupuestar el coste de la impresión sobre metacrilato.

Dada la función $f(x) = x^2 - 4$, halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 3$. Una vez obtenida, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, la recta tangente hallada y el eje de ordenadas ($OY$).

Determina el área de la región encerrada por la función cúbica $f(x) = x^3 - 4x$ y la recta $g(x) = 0$ (el eje de abscisas). Ten en cuenta que el recinto está compuesto por dos regiones separadas y que deberás calcular el área de cada una de ellas por separado utilizando valores absolutos si fuera necesario.

El perfil de una rampa para bicicletas en un parque urbano sigue la curva $f(x) = \frac{x^2}{10} + 2$. Se decide cubrir el hueco inferior entre la rampa y una estructura de refuerzo recta que une los puntos $A(0, 2)$ y $B(10, 12)$. Calcula el área de la sección lateral comprendida entre la rampa curva y la estructura recta.

Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$ y la recta vertical $x = 1$. Realiza un esquema gráfico de las funciones indicando el punto donde se cruzan.

Calcula el valor del parámetro real positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = kx$ sea igual a $36$ unidades cuadradas. Pista: Expresa el área en función de $k$ e iguala el resultado al valor dado para despejar la incógnita.

Una empresa de diseño gráfico está creando un nuevo logo que incluye una forma aerodinámica. La parte superior del logo sigue la trayectoria de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Se ha decidido añadir una línea estética que sea la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$. Calcula el área de la región del primer cuadrante limitada por la curva $f(x)$, la recta tangente mencionada y el eje de ordenadas ($eje \: OY$).

Considera dos funciones que representan el flujo de aire en un túnel de viento durante un experimento de 10 segundos: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y $g(x) = x^2 - 3x$. Los ingenieros necesitan conocer el "volumen de interferencia" total, que equivale al área encerrada entre ambas gráficas en todo su dominio. Halla los puntos de corte entre las dos funciones y calcula el área total de los recintos que delimitan, teniendo en cuenta que las funciones pueden intercambiar su posición (cuál está por encima de la otra) en los diferentes intervalos.

Se está diseñando la sección transversal de un canal de riego. El fondo del canal está definido por la parábola $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, mientras que la superficie del agua en un día de máximo caudal está limitada por la curva $g(x) = \sqrt{2x}$. Determina el valor de una constante $k$ tal que la recta vertical $x = k$ divida el área de la sección transversal del agua en dos partes exactamente iguales.

Un arquitecto proyecta una ventana decorativa cuya silueta está delimitada por la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$ y la recta horizontal $g(x) = 2$. Debido a la complejidad de la forma, el cristal debe cortarse en varias piezas. Calcula el área total de la ventana identificando correctamente los límites de integración y las funciones que actúan como frontera superior e inferior en cada tramo.

En un estudio de microeconomía, la función de oferta de un producto es $S(x) = x^2 + 2x + 1$ y la función de demanda es $D(x) = 11 - x^2$, donde $x$ es el número de unidades en miles. El "Excedente del Consumidor" se define como el área limitada por la curva de demanda, la recta horizontal que pasa por el punto de equilibrio (donde oferta es igual a demanda) y el eje de ordenadas. Calcula dicho excedente realizando primero el hallazgo del punto de equilibrio en el primer cuadrante.

Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = e^{x-1}$, la recta tangente a dicha curva en el punto donde su pendiente es igual a $1$, y la recta vertical $x = 0$.

Nota: Recuerda que para hallar el punto de tangencia debes resolver primero $f'(x) = 1$.

Se considera la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Calcula el área de la región finita limitada por la gráfica de esta función y la recta que pasa por sus dos puntos singulares (el máximo relativo y el mínimo relativo). Deberás hallar primero las coordenadas de dichos puntos y la ecuación de la recta que los une.

Determina el área de la región encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = \frac{8}{x}$ y $g(x) = 6 - 2x$. En este caso, el recinto está situado totalmente en el primer cuadrante. Identifica los puntos de intersección resolviendo la ecuación resultante y justifica cuál de las dos funciones queda por encima en el intervalo de integración antes de aplicar la regla de Barrow.