Ejercicios: Área bajo una curva

Un atleta está entrenando para una maratón. Su velocidad en un tramo de 5 minutos es constante y viene dada por la función $v(t) = 12$ km/h, donde $t$ es el tiempo en horas. Utiliza la integral definida para calcular la distancia recorrida (el área bajo la curva de velocidad) entre los instantes $t = 0$ y $t = 0,25$ horas. Comprueba el resultado utilizando la fórmula geométrica del área de un rectángulo.

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos ha comprobado que el ritmo de consumo de energía de uno de sus modelos sigue la función $f(x) = 2x + 1$, donde $x$ representa los kilómetros recorridos. Calcula el área encerrada por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$. ¿A qué figura geométrica corresponde esta región?

Calcula el área de la región plana limitada por la parábola $f(x) = x^2 + 2$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. Al ser la función siempre positiva en ese intervalo, plantea directamente la integral definida según la Regla de Barrow.

El departamento de marketing de una nueva App de música ha determinado que el ingreso marginal por cada mil suscriptores nuevos es $I'(x) = 10 - x$ (en cientos de euros), donde $x$ es el número de miles de suscriptores. Calcula el beneficio total acumulado (área bajo la curva) cuando el número de suscriptores pasa de $x = 1$ a $x = 4$ mil.

Halla el área del recinto limitado por la función constante $f(x) = 4$, el eje $OX$ y las rectas $x = -1$ y $x = 2$. Razona el resultado gráficamente calculando el área del rectángulo resultante sin usar integrales.

Calcula el área del recinto sombreado en la siguiente figura, sabiendo que la curva corresponde a la función $f(x) = \sqrt{x}$ y está limitada por el eje $OX$ y la recta vertical $x = 4$.

Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 + 2x$, halla el área limitada por su gráfica y el eje $OX$ en el intervalo $[1, 2]$. Comprueba que, en dicho intervalo, la función no corta al eje $OX$ (es decir, siempre es positiva), lo que facilita el cálculo directo.

Un diseñador gráfico está creando un logotipo que incluye una forma delimitada por la función $f(x) = e^x$. Calcula el área de la parte del logo que queda entre el eje $OX$, la propia curva y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. (Recuerda que la integral de $e^x$ es ella misma).

Un diseñador de pistas de skate quiere calcular el área de la sección lateral de una nueva rampa. El perfil de la rampa sigue la curva de la función $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1$ en el intervalo $[0, 4]$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Calcula el área de la pared lateral comprendida entre la rampa, el eje de abscisas ($OX$) y las rectas verticales $x=0$ y $x=4$.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 4x$ y la recta $g(x) = x$. Para ello, identifica primero los puntos de corte entre ambas funciones y realiza un esbozo del recinto.

Una empresa de energía solar ha determinado que la tasa de ahorro mensual (en miles de euros) que genera uno de sus paneles tras su instalación viene dada por la función $S(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en meses.

1. a) Determina en qué meses el ahorro es negativo (existen costes de mantenimiento superiores al ahorro).
2. b) Calcula el ahorro neto total (área total bajo el eje menos el área sobre el eje) durante los primeros 4 meses.
3. c) Calcula el área física total comprendida entre la gráfica y el eje $OX$ en el intervalo $[0, 4]$.

Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas. Ten en cuenta que la función puede tomar valores positivos y negativos, por lo que deberás calcular el área de cada región por separado y sumarlas en valor absoluto.

Se considera la función marginal de beneficios de una tienda de aplicaciones para móviles $B'(x) = 100 - 2x$, donde $x$ es el número de suscriptores diarios.

1. a) Calcula la función de beneficios $B(x)$ sabiendo que para 0 suscriptores el beneficio es de $-500$ euros (gastos fijos).
2. b) Utiliza la integral definida para calcular el aumento total del beneficio cuando el número de suscriptores pasa de 20 a 40.

Halla el valor de un parámetro positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la función $f(x) = kx^2$, el eje $OX$ y la recta vertical $x=3$ sea igual a 18 unidades cuadradas.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0, 3]$.

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$ y la recta vertical $x = 1$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar el cálculo.

Se está diseñando un nuevo logotipo para una empresa de tecnología financiera. La base del diseño está delimitada por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = 2x$.

1. a) Determina los puntos de intersección de ambas funciones.
2. b) Calcula el área de la región encerrada por ambas gráficas, que representará la zona principal del logotipo.
3. c) Si se decide añadir una línea vertical $x = k$ (con $0 < k < 4$) que divida dicha región en dos áreas exactamente iguales, plantea la ecuación integral que permitiría hallar el valor de $k$.

Una plataforma de streaming ha analizado que el ritmo de crecimiento de nuevos suscriptores diarios (en miles) sigue la función $f(t) = t \cdot e^{-t/4}$, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento de una serie exitosa.

Calcula el número total de suscriptores acumulados durante los primeros 8 días. Para ello, deberás hallar el área bajo la curva $f(t)$ en el intervalo $[0, 8]$. Nota: Utiliza la integración por partes.

Considera la función racional $f(x) = \frac{2x + 5}{x + 1}$ definida para $x > -1$.

1. a) Halla el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.
2. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 0$.
3. c) Calcula el área del triángulo formado por dicha recta tangente, el eje $OX$ y el eje $OY$, y compárala con el área obtenida en el apartado (a).

Un arquitecto quiere diseñar un ventanal con una forma parabólica invertida dada por la función $f(x) = 4 - x^2$. Para darle estabilidad, se colocará un travesaño horizontal siguiendo la recta $y = a$ (con $0 < a < 4$).

Halla el valor de la constante $a$ para que el área de la región del ventanal que queda por encima del travesaño sea exactamente de $\frac{32}{3}$ unidades de superficie.

La función de ingresos marginales de una cooperativa agrícola viene dada por $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros por unidad vendida), donde $x$ representa el número de toneladas de producto.

1. a) Calcula la función de ingresos totales $I(x)$ sabiendo que para una venta nula los ingresos son cero.
2. b) Determina el área encerrada por la curva $I'(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo donde el ingreso marginal es positivo. Explica el significado económico de este valor.

Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 4|$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 3$.

Consejo: Identifica los intervalos donde la expresión dentro del valor absoluto cambia de signo y divide la integral definida en la suma de varias integrales según corresponda.

Dada la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$:

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto donde esta corta al eje $OY$.
2. b) Calcula el área de la región finita limitada por la parábola, la recta tangente hallada y el eje de abscisas $OX$.

Calcula el área de la región del primer cuadrante delimitada por la función $f(x) = \ln(x)$, el eje de ordenadas $OY$, el eje de abscisas $OX$ y la recta horizontal $y = 2$.

Nota: Puede ser útil calcular el área integrando respecto al eje Y o, alternativamente, restando áreas de rectángulos conocidos.