Ejercicios: Intervalos de confianza

Un analista de redes sociales quiere estudiar el tiempo diario que pasan los adolescentes españoles de entre 15 y 18 años en TikTok. Para ello, selecciona al azar a 400 usuarios de esta franja de edad en todo el país y registra sus tiempos de conexión.

Identifica de forma clara los siguientes elementos del estudio estadístico:

• La población objeto de estudio.

• La muestra seleccionada.

• El tamaño muestral.

• El estadístico que se calcularía para resumir la información de la muestra.

Se sabe que el tiempo de espera en la fila de una popular atracción de un parque temático sigue una distribución normal con una media de $\mu = 45$ minutos y una desviación típica de $\sigma = 12$ minutos.

Si elegimos una muestra aleatoria de $n = 36$ visitantes que han pasado por la atracción:

1. ¿Cuál es la distribución que sigue la media muestral $\bar{X}$? Indica su media y su desviación típica (error estándar).

2. Calcula la probabilidad de que el tiempo medio de espera de esa muestra sea superior a $48$ minutos.

En inferencia estadística, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ es fundamental para determinar la amplitud de un intervalo de confianza. Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtén los valores críticos correspondientes a los siguientes niveles de confianza:

• Un nivel de confianza del $90\%$.

• Un nivel de confianza del $95\%$.

• Un nivel de confianza del $99\%$.

Una empresa de mensajería está estudiando el peso de los paquetes que entrega en una ciudad. Se supone que la población sigue una distribución normal con una desviación típica de $\sigma = 0,8$ kg. Se toma una muestra aleatoria de $n = 64$ paquetes y se obtiene una media muestral de $\bar{x} = 4,2$ kg.

Calcula un intervalo de confianza para el peso medio de todos los paquetes entregados por la empresa, utilizando un nivel de confianza del $95\%$.

Tras realizar un estudio sobre el gasto mensual en plataformas de streaming de los jóvenes de un barrio, se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza determinado, es $(14,20 \text{ €}, 17,80 \text{ €})$.

A partir de este intervalo, determina:

1. El valor de la media muestral $\bar{x}$ que se utilizó para el cálculo.

2. El error máximo admisible $E$ cometido en la estimación.

En un instituto de educación secundaria, se sospecha que el $15\%$ de los alumnos son zurdos. Se selecciona una muestra aleatoria de $n = 100$ alumnos para comprobarlo.

1. ¿Qué distribución sigue la proporción muestral $\hat{p}$ de alumnos zurdos? Indica su media y su desviación típica.

2. Calcula la probabilidad de que en la muestra seleccionada la proporción de alumnos zurdos sea inferior al $18\%$.

Se desea estimar la proporción de hogares de una ciudad que separan los residuos orgánicos para reciclar. Para ello, se encuesta a una muestra aleatoria de $n = 400$ hogares, de los cuales $160$ afirman realizar dicha separación.

Determina el intervalo de confianza para la proporción de hogares que reciclan materia orgánica en toda la ciudad, utilizando un nivel de confianza del $90\%$.

Una fábrica de bombillas LED desea estimar la duración media de sus productos. Se sabe por estudios previos que la desviación típica de la duración es de $\sigma = 500$ horas.

Si el equipo de control de calidad quiere realizar una estimación con un nivel de confianza del $95\%$, ¿qué tamaño mínimo de la muestra $n$ debe elegir para que el error máximo cometido sea menor de $100$ horas?

Para un estudio sobre los hábitos de lectura digital en jóvenes, se desea construir un intervalo de confianza. Calcula, de forma razonada, los valores críticos $z_{\alpha/2}$ correspondientes a los siguientes niveles de confianza:

1. a) $94 \%$
2. b) $98 \%$

Ilustra gráficamente la posición del valor crítico en una distribución normal estándar para el caso del $94 \%$.

Un equipo de e-sports quiere conocer el tiempo medio que sus jugadores dedican diariamente al entrenamiento. Se sabe que el tiempo de juego sigue una distribución normal con una desviación típica de $45$ minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria de $36$ jugadores de la liga nacional, obteniendo una media de $210$ minutos diarios.

1. a) Determina el intervalo de confianza al $95 \%$ para el tiempo medio diario de entrenamiento de todos los jugadores de la liga.
2. b) ¿Cuál es el error máximo cometido en esta estimación?

Una empresa tecnológica está testando la duración de la batería de un nuevo modelo de smartphone. Se asume que la duración sigue una distribución normal con una desviación típica de $2,4$ horas.

¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido al estimar la media poblacional sea inferior a $30$ minutos, con un nivel de confianza del $99 \%$?

En una encuesta realizada a $400$ estudiantes de un instituto sobre el uso de plataformas de streaming, $260$ afirmaron que prefieren ver series antes que películas.

1. a) Halla la estimación puntual de la proporción de alumnos que prefieren las series.
2. b) Obtén un intervalo de confianza al $97 \%$ para la proporción real de estudiantes que prefieren las series en ese instituto.

El precio de las entradas para un festival de música de verano sigue una distribución normal con desviación típica de $12$ euros. Se ha extraído una muestra aleatoria de precios y se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media: $(72,15; 77,85)$.

1. a) ¿Cuál ha sido el precio medio de la muestra seleccionada?
2. b) Si el nivel de confianza utilizado para este intervalo ha sido del $95 \%$, ¿cuál ha sido el tamaño de la muestra analizada?

Se quiere realizar una estimación de la proporción de ciudadanos que estarían dispuestos a utilizar el transporte público si este fuera gratuito. En un estudio previo se desconoce la proporción esperada, por lo que se asume el caso de máxima varianza ($p = q = 0,5$).

Determina el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar dicha proporción con un error máximo del $4 \%$ y un nivel de confianza del $95,44 \%$ (que corresponde a un valor crítico $z_{\alpha/2} = 2$).

Dos institutos, A y B, miden el tiempo medio que sus alumnos de 2º de Bachillerato dedican a estudiar matemáticas a la semana. En ambos se sabe que la desviación típica poblacional es de $1,5$ horas.

Se toma una muestra de $100$ alumnos en cada instituto. En el instituto A, el intervalo de confianza obtenido para la media tiene una amplitud de $0,588$ horas. En el instituto B, el intervalo de confianza obtenido para la media es $(6,2; 7,2)$.

1. a) Determina el nivel de confianza utilizado en el instituto A.
2. b) Determina el nivel de confianza utilizado en el instituto B.
3. c) ¿Cuál de los dos centros ha realizado una estimación más precisa? Justifica tu respuesta.

Una marca de ropa "eco-friendly" afirma que el $30 \%$ de sus clientes son menores de $20$ años. Para verificarlo, se toma una muestra aleatoria de $500$ clientes y se observa que $135$ de ellos tienen menos de $20$ años.

1. a) Construye un intervalo de confianza al $99 \%$ para la proporción de clientes menores de $20$ años basándote en los datos de la muestra.
2. b) A la vista del resultado, ¿podemos considerar que la afirmación de la marca es coherente con los datos obtenidos con un nivel de confianza del $99 \%$? Explica por qué.

Un conocido creador de contenido está analizando el tiempo de permanencia de sus seguidores en sus transmisiones en directo de e-sports. Se sabe que el tiempo de conexión sigue una distribución normal con una desviación típica de $12$ minutos. Tras analizar una muestra aleatoria de $144$ usuarios, se ha obtenido un intervalo de confianza para la media poblacional de $(32,35; 36,25)$.

1. a) Determina el valor de la media muestral obtenida y el nivel de confianza utilizado para construir dicho intervalo.

1. b) Si el streamer desea reducir la amplitud de este intervalo a la cuarta parte manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra?

1. c) Explica, sin realizar cálculos adicionales, qué ocurriría con la precisión de la estimación si aumentáramos el tamaño de la muestra pero también quisiéramos trabajar con un nivel de confianza superior al calculado en el apartado a).

Una empresa de telefonía móvil quiere estimar la proporción de adolescentes que utilizan el "modo oscuro" en sus dispositivos durante la noche. En una muestra inicial de $100$ usuarios, el $60\%$ confirmó usarlo.

1. a) Calcula el intervalo de confianza al $98\%$ para la proporción poblacional de usuarios de este modo.

1. b) Supongamos que no se tiene ninguna información previa sobre la proporción (situación de máxima incertidumbre). Determina el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo admisible sea de $0,02$ con un nivel de confianza del $95\%$.

1. c) Si se utiliza la proporción obtenida en la muestra inicial ($0,6$) para el cálculo del tamaño muestral bajo las mismas condiciones del apartado b) (error $0,02$ y confianza $95\%$), ¿cuántos usuarios menos habría que encuestar respecto al caso de máxima incertidumbre?

El tiempo de reacción de los pilotos de un simulador de vuelo de última generación sigue una distribución normal con media desconocida y desviación típica de $0,05$ segundos. Al tomar una muestra de $64$ pilotos, se observa una media de $0,42$ segundos.

1. a) Obtén el intervalo de confianza para la media poblacional a un nivel de confianza del $97\%$.

1. b) El fabricante del simulador afirma que el tiempo medio de reacción es de $0,40$ segundos. ¿Es esta afirmación compatible con el intervalo obtenido en el apartado anterior? Justifica tu respuesta basándote en la relación entre intervalos de confianza y parámetros poblacionales.

1. c) Si se decide duplicar el tamaño de la muestra y reducir el nivel de confianza al $90\%$, ¿cómo afectará esto a la amplitud del intervalo? Calcula el factor de reducción o aumento de la amplitud.

Un estudio sobre hábitos sostenibles revela que el $15\%$ de los jóvenes de una ciudad se desplaza exclusivamente en patinete eléctrico. Se selecciona una muestra aleatoria de $n$ jóvenes para realizar un seguimiento.

1. a) Si el intervalo de confianza obtenido para la proporción poblacional a un nivel de confianza del $95\%$ tiene una amplitud de $0,06$, ¿cuál ha sido el tamaño de la muestra utilizada? (Utiliza la proporción del $15\%$ como estimación).

1. b) Si quisiéramos que el margen de error fuera de tan solo $0,01$ manteniendo la confianza del $95\%$, pero sospechamos que la proporción real podría estar más cerca del $50\%$, ¿cuál sería el nuevo tamaño muestral requerido?

El peso de las mochilas de los estudiantes de 2º de Bachillerato sigue una distribución normal con una desviación típica de $1,2$ kg. Se ha tomado una muestra aleatoria de $100$ estudiantes y se ha construido un intervalo de confianza para el peso medio. El límite superior de dicho intervalo es de $6,235$ kg y su amplitud es de $0,47$ kg.

1. a) ¿Cuál es el peso medio muestral de las mochilas en este estudio?

1. b) Determina el nivel de confianza con el que se ha construido el intervalo.

1. c) Si se desea que el error máximo sea de $0,1$ kg con una confianza del $99,73\%$ (correspondiente a $3\sigma$), ¿cuántos estudiantes adicionales deberían incluirse en la muestra original?

Se ha realizado una encuesta a $400$ usuarios de una plataforma de música en streaming para conocer qué porcentaje prefiere el género urbano. El intervalo de confianza obtenido para la proporción de usuarios es $(0,312; 0,388)$.

1. a) Determina el valor de la proporción muestral y el nivel de confianza utilizado en el estudio.

1. b) Si se decide realizar un nuevo estudio con una muestra de $1600$ usuarios y se mantiene la misma proporción muestral, ¿cuál será la amplitud del nuevo intervalo si se trabaja con el mismo nivel de confianza?

1. c) Justifica matemáticamente cómo varía la amplitud del intervalo si cuadriplicamos el tamaño de la muestra y duplicamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$.

Un centro tecnológico investiga la duración de la batería de un nuevo modelo de smartphone bajo un uso intensivo. Se asume que la duración sigue una distribución normal con $\sigma = 0,8$ horas. Se desea estimar la media de duración con una confianza del $96\%$.

1. a) Si se quiere que el intervalo de confianza tenga una longitud máxima de $20$ minutos, calcula el tamaño mínimo de la muestra necesario.

1. b) Tras realizar el experimento con el tamaño de muestra obtenido en el apartado anterior, se observa que la media muestral es de $9,5$ horas. Escribe el intervalo de confianza resultante en horas.

1. c) Si por motivos de presupuesto solo se pudiesen analizar $50$ dispositivos, ¿cuál sería el error máximo que cometeríamos si quisiéramos mantener la confianza del $96\%$? Expresa el resultado en minutos.

En un examen de selectividad, la calificación obtenida por los alumnos en la asignatura de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II sigue una distribución normal con desviación típica de $1,5$ puntos. Se seleccionan dos muestras independientes de diferentes institutos, ambas de tamaño $n$.

• Para la Muestra A, se utiliza un nivel de confianza del $90\%$, obteniéndose un error de $0,25$ puntos.

• Para la Muestra B, se desea una confianza del $99\%$.

1. a) Calcula el tamaño de la muestra $n$ utilizado en la Muestra A.

1. b) Utilizando el valor de $n$ hallado en el apartado anterior, determina el error máximo admisible para la Muestra B.

1. c) Si se decidiera unir ambas muestras en una sola de tamaño $2n$, calcula el nuevo error para un nivel de confianza del $95\%$. ¿Es este error menor que el de la Muestra A? Razona si la precisión siempre mejora al aumentar el tamaño de la muestra independientemente de los cambios en el nivel de confianza.