Ejercicios: Rango de una matriz

En una campaña de marketing digital, una empresa analiza el impacto de dos anuncios en redes sociales. Los resultados se organizan en una matriz $A = \begin{pmatrix} 120 & 45 \\ 80 & 30 \end{pmatrix}$, donde la primera columna representa los "clics" y la segunda las "compras" realizadas. Calcula el determinante de la matriz $A$ y explica si existe alguna relación de proporcionalidad entre los datos de ambos anuncios.

Calcula el valor del siguiente determinante de orden 3 utilizando la Regla de Sarrus:

Indica paso a paso los productos de las diagonales principales y las secundarias.

Sin necesidad de realizar cálculos complejos, justifica utilizando las propiedades de los determinantes por qué el valor del siguiente determinante es cero:

Un estudiante está diseñando un algoritmo para un videojuego y necesita que una matriz de transformación sea "singular" (es decir, que su determinante sea igual a cero). Si la matriz es $M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 9 & x \end{pmatrix}$, halla los posibles valores reales de $x$ para que se cumpla la condición $|M| = 0$.

Determina el rango de la siguiente matriz $B$ mediante el estudio de sus menores. ¿Qué significa el resultado obtenido respecto a la independencia lineal de sus filas?

Calcula el rango de la matriz $C$ utilizando el método de Gauss (haciendo ceros debajo de la diagonal principal):

Dada la matriz $D$, que representa el stock de tres tipos de sudaderas en dos tiendas diferentes:

Calcula su rango y razona si la información de la segunda tienda es independiente de la primera o si, por el contrario, existe una relación de proporcionalidad entre ambas.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el rango de la siguiente matriz sea igual a 2:

Justifica tu respuesta analizando el determinante de la matriz.

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -2$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de:

1. a) $|A^t|$ (determinante de la traspuesta).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinante de la inversa).
3. c) $|3A|$.
4. d) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras columnas de $A$ y multiplicar la tercera fila por $-5$.

Estudia el rango de la siguiente matriz $M$ en función del valor del parámetro real $k$:

Indica para qué valores de $k$ el rango es máximo y qué ocurre en los casos críticos.

En una red de transporte logístico, las conexiones entre tres centros de distribución ($A$, $B$ y $C$) se pueden modelar mediante una matriz de adyacencia. El siguiente grafo muestra las rutas directas activas entre los centros:

Si la importancia de cada centro depende de la independencia de sus rutas, dada la matriz de rutas $R$:

Calcula su determinante y determina el rango de la matriz $R$. ¿Qué significa pedagógicamente que el rango sea máximo en este contexto de conectividad?

Halla los valores de $x$ para los cuales el determinante de la matriz $A$ es igual a cero:

Una vez hallados, explica qué relación existe entre las filas de la matriz cuando $x = 1$.

Dada la matriz no cuadrada $B$ de dimensiones $3 \times 4$:

1. a) Explica razonadamente por qué el rango de $B$ no puede ser 4.
2. b) Calcula el rango de la matriz utilizando el método de los menores (orlando menores).

Se consideran las matrices $A$ y $B$ tales que:

1. a) Calcula $|A|$ y $|B|$.
2. b) Calcula $|A \cdot B|$ sin realizar la multiplicación de las matrices, justificando qué propiedad utilizas.
3. c) ¿Es la matriz $A$ invertible? ¿Y la matriz $B$? Justifica tu respuesta basándote en el valor de sus determinantes.

Tres vectores del espacio $\mathbb{R}^3$ vienen dados por las filas de la matriz $V$:

Determina para qué valores del parámetro $m$ estos tres vectores son linealmente dependientes. Para ello, utiliza el concepto de determinante y su relación con el rango.

Una empresa de videojuegos analiza su cuota de mercado en tres regiones mediante una matriz $S$. Para que el sistema de análisis sea estable, la matriz debe tener rango 3.

1. a) Calcula el determinante de $S$ en función de $m$.
2. b) Determina si existe algún valor de $m$ que haga que la empresa tenga que rediseñar su modelo por tener un rango menor que 3. En caso afirmativo, ¿cuál sería el rango en ese caso?

Dada la matriz $A$ de orden $4 \times 4$ que depende de un parámetro real $a$:

Se pide:

1. Calcula el determinante de $A$ utilizando el método de Gauss o desarrollando por los elementos de una fila/columna tras hacer ceros.

2. Determina el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores de $a$. Especifica en qué casos la matriz no tiene inversa.

3. Para el valor $a = 0$, ¿es posible encontrar una combinación lineal de las columnas que dé como resultado la columna nula? Justifica tu respuesta basándote en el valor del rango.

Una empresa de ciberseguridad utiliza matrices para validar claves de acceso. Para que una clave sea segura, el rango de su matriz asociada debe ser máximo. Considera la matriz de la clave $K$:

1. Calcula los valores de $k$ para los cuales la clave no es segura (es decir, el rango de $K$ es menor que 3).

2. Si $k = -1$, estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz. ¿Cuál es el rango en este caso?

3. Para los valores de $k$ que hacen que $|K| = 0$, indica si existe algún menor de orden 2 que sea distinto de cero.

Sin desarrollar directamente el determinante, utiliza las propiedades de los mismos para demostrar la siguiente identidad:

Posteriormente, utiliza este resultado para hallar el rango de la matriz $M$ en función de los valores de $x, y, z$:

En un estudio de redes sociales, se analiza la influencia entre tres comunidades $C_1, C_2$ y $C_3$. La matriz de interacción $B$ viene dada por:

1. Determina para qué valores de $m$ la red es "redundante", es decir, una de las comunidades puede explicar su comportamiento como combinación lineal de las otras dos.

2. Para $m = -2$, calcula el rango de $B$ y halla la relación de dependencia lineal entre sus filas.

3. Si $|B| \neq 0$, ¿qué podemos afirmar sobre el sistema de vectores formado por las columnas de $B$?

Se dice que una matriz $Q$ es idempotente si verifica que $Q^2 = Q$.

1. Demuestra que el determinante de cualquier matriz idempotente solo puede ser $0$ o $1$.

2. Si una matriz idempotente $Q$ de orden 3 tiene determinante $|Q| = 1$, ¿cuál debe ser su rango? Justifica tu respuesta.

3. Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & 0 \end{pmatrix}$, comprueba si es idempotente y calcula su rango en función de $a$ y $b$.

Tres amigos, Alex, Bea y Carla, montan un puesto de comida en las fiestas de su barrio y compran tres tipos de ingredientes ($X, Y, Z$). La matriz $V$ representa las unidades de cada ingrediente compradas por cada amigo:

Donde $a$ es la cantidad del ingrediente $Z$ comprada por Bea.

1. Determina el valor de $a$ para el cual la lista de compras de Bea es una combinación lineal de las listas de Alex y Carla. ¿Qué ocurre con el rango de $V$ en ese momento?

2. Si $a = 1$, calcula la matriz inversa $V^{-1}$.

3. Para $a = -1$, justifica si los vectores fila son linealmente independientes utilizando el concepto de determinante.