Ejercicios: Propiedades de los determinantes

Supón que estás analizando una matriz $A$ de orden $2 \times 2$ que representa los beneficios de dos sucursales de una tienda de ropa en Madrid y Barcelona. El determinante de esta matriz es $|A| = 12$.

Calcula, sin realizar el desarrollo completo, el valor de los siguientes determinantes aplicando las propiedades correspondientes:

1. a) El determinante de la traspuesta de la matriz: $|A^t|$.
2. b) El determinante de la matriz si intercambiamos la fila de Madrid por la de Barcelona.
3. c) El determinante de la matriz si los beneficios de ambas ciudades se duplicaran (es decir, calculando $|2 \cdot A|$).

Una aplicación de diseño gráfico almacena las coordenadas de un logotipo en una matriz $M$ de orden 3. El sistema nos informa que el determinante de dicha matriz es $|M| = 0$.

Explica razonadamente qué puedes afirmar sobre las filas de la matriz $M$. ¿Existe la matriz inversa $M^{-1}$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de los determinantes.

Dada la siguiente matriz $B$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

Indica, sin necesidad de aplicar la regla de Sarrus, cuál es el valor de su determinante $|B|$. Menciona la propiedad específica que te ha permitido llegar a esa conclusión de forma inmediata.

En un videojuego de estrategia, la fuerza de ataque de dos unidades viene dada por el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Sabemos que el valor de este determinante es $|A| = -5$.

Si el jugador activa un "potenciador" que triplica únicamente los valores de la primera fila, ¿cuál será el nuevo valor del determinante? Justifica tu respuesta con la propiedad de la multiplicación de una línea por un número real.

Considera dos matrices cuadradas $X$ e $Y$ de orden 3. Se sabe que $|X| = 4$ e $|Y| = -2$.

Calcula el valor del determinante del producto de ambas matrices, $|X \cdot Y|$, indicando qué propiedad estás utilizando.

Sin calcular el valor de los determinantes, justifica por qué el siguiente determinante es igual a cero:

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 7 \\ 3 & 6 & 12 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relación entre la primera y la tercera fila).

Se sabe que el determinante de una matriz $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ es igual a $7$.

A partir de esta información, calcula el valor del determinante de la matriz $B = \begin{pmatrix} z & t \\ x & y \end{pmatrix}$. ¿Qué propiedad has aplicado para saber si el signo cambia o se mantiene?

Dada una matriz $C$ de orden 3 con una columna formada íntegramente por ceros:

$C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \\ 9 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Razona, sin utilizar la regla de Sarrus, por qué el determinante de esta matriz es necesariamente cero.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es $|A| = -2$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el valor de los siguientes determinantes justificando cada paso:

1. a) $|A^t|$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$.

1. b) $|3A|$.

1. c) $|A^{-1}|$, suponiendo que $A$ es regular.

1. d) El determinante de la matriz resultante de intercambiar la primera y la tercera fila de $A$.

Dadas dos matrices cuadradas $A$ y $B$ de orden 3, se sabe que $|A| = 5$ y $|B| = -1$. Calcula, si es posible, el valor del determinante de las siguientes matrices:

1. a) $A \cdot B^2$

1. b) $(A \cdot B)^t$

1. c) $2 \cdot (A \cdot B)^{-1}$

1. d) $A + B$

Sin necesidad de desarrollar el determinante mediante la regla de Sarrus, justifica razonadamente por qué el valor del siguiente determinante es igual a cero:

$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a+3 & 2b+3 & 2c+3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} $

Una empresa de logística organiza sus rutas entre tres ciudades principales ($C_1, C_2, C_3$). La intensidad de tráfico entre ellas se representa por una matriz $M$ de orden 3. Si sabemos que el determinante de dicha matriz es $|M| = 10$, calcula el valor del determinante de una nueva matriz $N$ que se ha obtenido realizando las siguientes operaciones sobre $M$:

1. Se ha multiplicado la segunda fila por $5$.

2. Se ha sumado a la tercera fila el triple de la primera.

3. Se han intercambiado la primera y la segunda columna.

Sabiendo que el valor del determinante $ \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor de:

$ \begin{vmatrix} 3x & 3y & 3z \\ 2 & 0 & 6 \\ 2+x & -1+y & 1+z \end{vmatrix} $

Tres jóvenes emprendedores analizan el impacto de sus redes sociales. La matriz de influencia $I$ tiene un determinante $|I| = k$. Se descubre que si doblan el presupuesto en publicidad (lo que equivale a multiplicar toda la matriz por $2$), el nuevo determinante es $160$.

Si la matriz de influencia es de orden $3 \times 3$, calcula el valor original del determinante $k$. ¿Cambiaría el resultado si la matriz fuese de orden $2 \times 2$? Justifica tu respuesta aplicando la propiedad del producto por un escalar.

Halla los valores del parámetro $a$ para los cuales la siguiente matriz $A$ no tiene inversa, utilizando las propiedades para simplificar el cálculo del determinante antes de igualar a cero:

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$

(Pista: Intenta hacer ceros en la primera columna antes de desarrollar).

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta mediante las propiedades de los determinantes:

1. a) Si una matriz $A$ tiene una fila que es el doble de otra, entonces su determinante es siempre el doble del determinante de la matriz identidad.

1. b) Para cualquier matriz cuadrada $A$, se cumple que $|-A| = -|A|$.

1. c) Si $|A| = 0$, entonces al menos una de las filas de la matriz $A$ es una combinación lineal de las demás.

1. d) El determinante del producto de una matriz por su inversa es siempre 1.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula de forma razonada el valor del determinante de la matriz $B$, sabiendo que:

$B = (2A^t \cdot A^{-1})^2$

Donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$ y $A^{-1}$ es su matriz inversa. Justifica cada paso mencionando la propiedad aplicada.

Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $M$ es $|M| = k$, calcula, sin desarrollar por Sarrus, el valor del determinante de la matriz $N$ en función de $k$:

$M = \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = k \quad \quad N = \begin{vmatrix} p+x & q+y & r+z \\ 3a & 3b & 3c \\ -2x & -2y & -2z \end{vmatrix}$

Una empresa de logística organiza sus rutas entre tres almacenes principales ($A_1, A_2, A_3$). El flujo de mercancías se puede representar mediante una matriz $C$ donde el elemento $c_{ij}$ indica la capacidad de transporte entre el almacén $i$ y el $j$. Se sabe que la matriz es:

$C = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 \\ m & 1 & m \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}$

Determina, utilizando el concepto de determinante y rango, para qué valores del parámetro $m$ la estructura de transporte de la empresa presenta redundancias (es decir, las rutas son linealmente dependientes y el rango es menor que 3).

Encuentra todas las soluciones reales de la siguiente ecuación, utilizando las propiedades de los determinantes para simplificar la expresión antes de calcularla:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \end{vmatrix} = 0$

Supón que $a$ y $b$ son números reales distintos entre sí ($a \neq b$). Explica la relación entre las soluciones encontradas y la dependencia lineal de las filas de la matriz.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina para qué valores de $m$ la matriz $A$ no tiene inversa.
2. b) Para $m = 2$, calcula el determinante de la matriz adjunta de $A$, es decir, $|Adj(A)|$, aplicando propiedades sin necesidad de calcular explícitamente la matriz adjunta.

Se considera una matriz cuadrada $X$ de orden $3$ que satisface la siguiente ecuación matricial:

$X^2 - 3X = 0$

Demuestra razonadamente que el determinante de $X$ solo puede tomar dos valores posibles. ¿Cuáles son? Justifica si una matriz que cumpla esta condición es necesariamente singular.

Dada la matriz $B = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula su determinante simplificando mediante operaciones elementales de fila o columna.
2. b) Determina el rango de $B$ según los valores del parámetro real $k$. Analiza con especial detalle el caso en el que el rango de la matriz sea igual a $1$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales para $X$ e $Y$, utilizando determinantes para verificar la existencia de las inversas necesarias:

$\begin{cases} AX + Y = B \\ X + AY = C \end{cases}$

Donde $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Nota: Debes despejar $X$ e $Y$ en función de $A, B$ y $C$ antes de realizar los cálculos numéricos.