Ejercicios: Matriz inversa

En un torneo de eSports, la eficiencia de dos equipos se mide comparando sus victorias y derrotas en dos mapas diferentes. Los datos se organizan en la siguiente matriz $M$:

$M = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Calcula el determinante de la matriz $M$ para obtener el índice de competitividad del torneo.

Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de furgonetas para repartir paquetes en tres zonas de la ciudad. La cantidad de paquetes transportados por día se resume en la matriz $A$. Calcula el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Observa las siguientes matrices sin realizar cálculos extensos. Indica, justificando tu respuesta mediante las propiedades de los determinantes, cuáles de ellas tienen un determinante igual a cero:

1. a) $B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$

1. b) $C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix}$

1. c) $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

Dada la matriz de coeficientes de un sistema de costes en una pequeña cafetería:

$A = \begin{pmatrix} 3 & k \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Determina para qué valor del parámetro $k$ la matriz no tiene inversa (es decir, su determinante es nulo).

Para preparar un examen de álgebra, un estudiante necesita calcular la matriz adjunta de la siguiente matriz $2 \times 2$. Halla $Adj(A)$ siendo:

$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la matriz $A$ utilizando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Nota: No olvides comprobar primero que el determinante es distinto de cero.

Resuelve la siguiente ecuación matricial despejando la incógnita $X$. Se sabe que $A \cdot X = B$, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Recuerda que para despejar $X$ debes multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$.

En un juego de criptografía básica, se ha utilizado la matriz $C$ para codificar un mensaje de dos números. Para decodificarlo, necesitamos hallar la matriz inversa $C^{-1}$.

$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

Halla $C^{-1}$ y verifica el resultado realizando el producto $C \cdot C^{-1}$, que debe dar como resultado la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Dada la matriz $A$ que depende de un parámetro real $x$:

Se pide:

1. Calcular el determinante de la matriz $A$ en función de $x$.

2. Determinar para qué valores de $x$ la matriz no tiene inversa.

3. Para el caso $x = 0$, justifica si existe la matriz inversa y, en caso afirmativo, calcula únicamente el elemento $a_{21}$ de la matriz $A^{-1}$ (el elemento de la segunda fila y primera columna).

Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $M$ de orden 3 es $|M| = -2$. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcula de forma razonada el valor de los siguientes determinantes:

1. $|M^t \cdot M|$, donde $M^t$ es la matriz traspuesta de $M$.

2. $|3M|$.

3. El determinante de la matriz inversa, $|M^{-1}|$.

4. El determinante de una matriz $P$ que se obtiene al intercambiar la primera y la tercera fila de $M$ y multiplicar después la segunda columna por $-5$.

Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles utiliza una matriz de "costes de servidor" $C$ para organizar sus gastos mensuales en tres regiones (Europa, Asia y América). La matriz viene dada por:

Para ajustar los presupuestos del próximo trimestre, necesitan resolver la ecuación matricial $C \cdot X = B$, donde $B$ es la matriz de beneficios brutos:

Calcula la matriz $X$ utilizando el método de la matriz inversa.

En un sistema de cifrado por bloques, se utiliza la matriz $K$ como llave de seguridad para codificar mensajes de tres números:

Para que el receptor pueda descodificar el mensaje, necesita obtener la matriz inversa $K^{-1}$.

1. Demuestra que la matriz $K$ es regular (inversible).

2. Calcula paso a paso la matriz inversa $K^{-1}$ mediante el método de los adjuntos.

Halla los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $B$ no tiene inversa:

Para el valor $a = 1$, resuelve la ecuación matricial $X \cdot B = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Dadas las matrices $A$ y $B$:

Resuelve la ecuación matricial $A \cdot X + A = B$. Para ello:

1. Despeja la matriz $X$ en la ecuación (quedando de la forma $X = \dots$).

2. Calcula el determinante de $A$ para asegurar que puedes realizar la operación.

3. Obtén la matriz final $X$.

Considera la matriz cuadrada $A$ de orden 2:

1. Comprueba que se cumple la igualdad $A^2 - I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula (ambas de orden 2).

2. Utiliza el resultado anterior para expresar la matriz inversa $A^{-1}$ en función de la propia matriz $A$.

3. Calcula $A^{-1}$ y comprueba que el resultado coincide con lo obtenido en el apartado anterior.

Tres amigos, Alba, Bruno y Carlos, van a una cafetería. La primera vez, Alba toma 2 cafés y 1 refresco; Bruno toma 1 café y 2 refrescos; y Carlos toma 3 cafés. La cuenta total por persona se puede representar mediante una matriz de consumo $A$ y una matriz de precios $P$.

Si la matriz de precios unitarios de los productos (café y refresco) es desconocida $X = \begin{pmatrix} p_c \\ p_r \end{pmatrix}$ y sabemos que el gasto total de Alba fue de $4,50€$ y el de Bruno de $5,40€$:

1. Escribe el sistema de ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$.

2. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes $A$.

3. Halla la matriz inversa $A^{-1}$ y utilízala para calcular el precio de un café y de un refresco.

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -2$, utiliza exclusivamente las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de:

$| (3A)^{-1} \cdot A^t \cdot (-A) |$

Para visualizar el concepto de la regla de los signos en los adjuntos, recuerda el patrón del "tablero de ajedrez":

Dada la matriz $M$ dependiente del parámetro real $k$:

$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

1. a) Determina para qué valores de $k$ la matriz $M$ no admite matriz inversa.
2. b) Para $k = 0$, resuelve la ecuación matricial $M \cdot X + M = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Una empresa de logística utiliza un código de seguridad basado en matrices. La matriz clave es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Para desencriptar un mensaje recibido en forma de matriz $B$, deben calcular la matriz $X$ tal que:

$A \cdot X \cdot A^{-1} = B - 2I$

Si se sabe que $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$, halla la matriz $X$ realizando todos los pasos intermedios.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tal que su determinante es $|A| = 1$. Demuestra que si se cumple la relación $A^2 - 5A + I = O$ (donde $I$ es la identidad y $O$ la matriz nula), entonces la matriz inversa $A^{-1}$ puede expresarse como una combinación lineal de $A$ e $I$. Determina dicha expresión y utilízala para hallar la inversa de $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ sin usar el método de los adjuntos.

En un estudio de mercado sobre la movilidad de clientes entre tres operadoras de telefonía ($P$, $Q$ y $R$), se ha determinado que la matriz de transición de un mes a otro es $T$. Si la distribución actual de clientes es la matriz columna $C_{actual}$, y se sabe que $T \cdot C_{anterior} = C_{actual}$, halla la distribución del mes anterior sabiendo que:

$T = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,1 & 0,7 & 0,2 \\ 0 & 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$ y $C_{actual} = \begin{pmatrix} 4000 \\ 3500 \\ 2500 \end{pmatrix}$

Nota: Debes calcular la inversa de $T$ para retroceder en el tiempo.

Estudia el rango de la siguiente matriz $B$ en función de los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

¿Para qué valores de $a$ y $b$ la matriz $B$ es singular (no tiene inversa)? Ilustra el concepto de dependencia lineal que ocurre cuando el determinante es nulo.

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Halla los valores de $x$ para los que la matriz $A + A^t$ no tiene inversa.
2. b) Para $x = 1$, halla una matriz $X$ que verifique la ecuación $X \cdot A = A^2$.

Sin desarrollar el determinante, utiliza las propiedades para demostrar la siguiente igualdad:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)$

Este es el famoso determinante de Vandermonde. Aplica el resultado obtenido para calcular el valor del determinante de la matriz:

$V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 20 & 30 \\ 100 & 400 & 900 \end{pmatrix}$