Ejercicios: Método de Gauss

Una pequeña tienda de videojuegos lleva el control de sus ventas de dos títulos ($V_1$ y $V_2$) durante los dos primeros días de la semana. Los datos se organizan en la siguiente matriz $A$:

$A = \begin{pmatrix} 12 & 5 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$

Calcula el determinante de la matriz $A$ para comprobar si los vectores de ventas son linealmente independientes.

Calcula el valor del siguiente determinante de orden 3 utilizando la regla de Sarrus:

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

Sin realizar ningún cálculo complejo, razona por qué el determinante de la matriz $B$ es igual a cero aplicando las propiedades de los determinantes:

$B = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 4 & -6 & 10 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Dada la siguiente matriz $M$, realiza la operación elemental entre filas $F_2 = F_2 - 2F_1$ para conseguir un cero en el elemento $a_{21}$ y escribe la nueva matriz resultante. ¿Varía el valor del determinante al realizar esta operación?

$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$

El método de Gauss nos permite calcular determinantes transformando la matriz en una "triangular superior". Calcula el determinante de la siguiente matriz $T$ sabiendo que ya está escalonada:

$T = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Utiliza el método de Gauss para calcular el determinante de la matriz $A$. Para ello, haz ceros en la primera columna debajo del primer elemento:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

Pista: Sustituye la segunda fila por $F_2 - 3F_1$.

Determina para qué valor del parámetro $k$ el determinante de la siguiente matriz es nulo, utilizando el método de Gauss para simplificar la matriz:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & k \end{pmatrix}$

Aplica el método de Gauss para transformar el siguiente determinante en el de una matriz triangular y halla su valor final:

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}$

Pista: Comienza haciendo $F_2 = F_2 - F_1$ y $F_3 = F_3 - F_1$.

Calcula el valor del siguiente determinante de orden 4 transformándolo previamente en una matriz triangular superior mediante el método de Gauss (haciendo ceros por debajo de la diagonal principal):

Una empresa de logística organiza sus rutas mediante una matriz de costes $M$. Para que el sistema sea eficiente, el determinante de dicha matriz no debe ser nulo. Aplica transformaciones de fila (Gauss) para determinar si la siguiente matriz es regular (su determinante es distinto de cero):

¿Qué relación de dependencia lineal observas entre sus filas tras realizar el primer paso del método de Gauss?

Dada la matriz $A$, utiliza las propiedades de los determinantes y el método de Gauss para obtener un determinante equivalente que tenga una fila con dos ceros, y calcula su valor final:

En el estudio de un mercado financiero, se ha obtenido una matriz de correlación dependiente de un parámetro $k$. Halla, utilizando el método de Gauss para simplificar el determinante, los valores de $k$ para los que el rango de la matriz es menor que 3:

Sabiendo que el determinante de una matriz $3 \times 3$ es $|B| = 12$, utiliza las transformaciones de Gauss y las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de $|B'|$, donde $B'$ es la matriz resultante de sumarle a la tercera fila de $B$ la primera fila multiplicada por 5.

Calcula el rango de la siguiente matriz utilizando el método de Gauss (escalonamiento). Explica cuántas filas linealmente independientes quedan al final del proceso:

Un diseñador gráfico utiliza matrices para transformar figuras. La "deformación" de la figura depende del determinante de la matriz de transformación. Aplica Gauss para calcular el determinante de la siguiente matriz de orden 3 y comprueba si la figura mantiene su área (esto ocurre si el determinante es 1 o -1):

Resuelve la siguiente ecuación, utilizando el método de Gauss para simplificar el determinante del primer miembro antes de desarrollar:

Se considera la matriz de orden 4 dependiente de un parámetro real $k$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+k^3 \end{pmatrix}$

Utiliza el método de Gauss (triangulación) para transformar la matriz y calcula su determinante en función de $k$. Posteriormente, discute para qué valores de $k$ la matriz no admite inversa.

Dadas las matrices cuadradas $A$ y $B$ de orden 3 tales que $|A| = -2$ y $|B| = 5$, resuelve la siguiente ecuación para determinar el valor del determinante de la matriz incógnita $X$:

$| (2 \cdot A^t \cdot X)^{-1} \cdot B | = \frac{1}{10}$

Nota: Debes aplicar las propiedades de los determinantes (determinante de la inversa, de la traspuesta, del producto por un escalar y del producto de matrices) para aislar $|X|$.

Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$, empleando el método de Gauss:

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & a & a & 2 \end{pmatrix}$

Describe detalladamente todas las situaciones posibles para el rango de la matriz en función de las relaciones entre $a$ y $b$.

Una empresa de logística organiza la distribución de mercancías entre cuatro nodos principales representados en el siguiente grafo de flujo. La matriz de adyacencia $M$ del grafo indica las conexiones directas entre los almacenes.

Si la matriz de conectividad del sistema es $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, demuestra, utilizando el método de Gauss, que su determinante es nulo e interpreta qué significa este resultado respecto a la dependencia lineal de las rutas de transporte (filas de la matriz).

Halla la matriz inversa de $A$ mediante el algoritmo de Gauss-Jordan (transformando $(A|I)$ en $(I|A^{-1})$):

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Sugerencia: Realiza primero el producto de las dos matrices triangulares y luego aplica Gauss-Jordan sobre la matriz resultante.

En un modelo sociológico de movilidad de clases, la matriz $P$ representa la probabilidad de transición entre tres estratos sociales en una generación. Se sabe que el sistema alcanza un equilibrio cuando se cumple la ecuación matricial $(P^t - I) \cdot X = 0$, donde $I$ es la matriz identidad.

Dada $P = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,2 & 0,2 & 0,6 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula el determinante de la matriz $M = P^t - I$ usando el método de Gauss.
2. b) A partir del resultado anterior, justifica si las filas de $M$ son linealmente independientes y qué implica esto para el rango de la matriz.

Resuelve el valor del siguiente determinante de orden 4 aplicando las propiedades de las líneas y reduciéndolo a un determinante triangular mediante Gauss:

$D = \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ a & a & b & c \\ a & a & a & b \\ a & a & a & a \end{vmatrix}$

Expresa el resultado final factorizado en términos de $a$, $b$, $c$ y $d$.

Determina para qué valores del parámetro real $m$ el rango de la siguiente matriz es exactamente 2, utilizando el método de Gauss:

$B = \begin{pmatrix} 1 & m & m^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & m+2 & m^2+2 \end{pmatrix}$

Para los valores encontrados, indica qué fila es combinación lineal de las otras dos.