Ejercicios: Reglas de derivación

Un creador de contenido ha observado que el número de reproducciones de uno de sus vídeos en una red social sigue la función $f(t) = t^2 + 20t + 100$, donde $t$ es el tiempo en horas desde que se publicó.

Calcula la Tasa de Variación Media (T.V.M.) del número de reproducciones en el intervalo $[1, 4]$. Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema.

Calcula la función derivada de las siguientes funciones polinómicas utilizando las reglas básicas de derivación:

1. a) $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 10$

1. b) $g(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5$

1. c) $h(x) = x^5 - \sqrt{2}x$

Dada la función $f(x) = (3x - 5) \cdot e^x$, halla su derivada aplicando la regla del producto. Simplifica el resultado sacando factor común si es posible.

Calcula la derivada de la siguiente función racional utilizando la regla del cociente:

Indica para qué valores de $x$ no existe la derivada de esta función basándote en su dominio.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el punto de abscisa $x = 3$.

Aplica la regla de la cadena para encontrar la derivada de las siguientes funciones compuestas:

1. a) $f(x) = (2x^2 + 1)^4$

1. b) $g(x) = \ln(5x - 2)$

1. c) $h(x) = e^{3x^2}$

El coste total (en euros) de fabricar $x$ unidades de un modelo de zapatillas personalizadas viene dado por la función $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$.

1. a) Calcula la función de coste marginal $C'(x)$.

1. b) Halla el coste marginal cuando se producen 20 unidades e interpreta qué significa ese valor para la empresa.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, calcula su derivada utilizando la regla de la cadena. Una vez obtenida, halla el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $x = 4$.

Calcula la función derivada de las siguientes funciones utilizando las reglas de derivación y simplifica el resultado final siempre que sea posible:

1. a) $f(x) = \sqrt[3]{(5x^2 - 1)^2}$

1. b) $g(x) = \ln\left(\dfrac{x^2 + 3}{x - 2}\right)$ (utiliza las propiedades de los logaritmos antes de derivar).

1. c) $h(x) = 3^{x^2} \cdot (2x + 5)$

Una empresa de cosmética ha estimado que el beneficio diario (en cientos de euros) generado por la venta de un nuevo sérum facial sigue la función $B(t) = 20t \cdot e^{-0,2t}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

1. a) Obtén la expresión de la función $B'(t)$, que representa el ritmo de variación del beneficio.

1. b) Calcula el valor de la derivada a los 5 meses de su lanzamiento e interpreta el resultado obtenido en términos económicos.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua y derivable en todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ \dfrac{b}{x} + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 + k}{x - 1}$, calcula el valor de la constante $k$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$ es igual a $-3$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación completa de dicha recta tangente.

Halla los puntos de la curva $y = x^3 - 6x^2 + 4$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = -9x + 2$. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos.

Aplica la técnica de la derivación logarítmica para hallar la expresión de la función derivada de:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\ln(x)}$

Se considera la función $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 + 1}$.

1. a) Calcula su función derivada $f'(x)$ simplificando la expresión al máximo.

1. b) Determina si existe algún punto en el que la curva tenga una tangente horizontal (pendiente nula). En caso afirmativo, indica las coordenadas de dicho punto.

Dada la función $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$, calcula:

1. a) La derivada primera $f'(x)$.

1. b) La derivada segunda $f''(x)$.

1. c) La ecuación de la recta normal a la gráfica en el punto de abscisa $x = e$. (Recuerda que la recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de contacto).

Calcula la función derivada de la siguiente expresión utilizando la técnica de derivación logarítmica. Ten en cuenta que la base y el exponente son funciones de $x$:

Indica todos los pasos intermedios, aplicando correctamente las propiedades de los logaritmos antes de derivar.

Dada la siguiente función definida a trozos, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea derivable en todo su dominio (especialmente en el punto de ruptura $x = 1$):

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^2 - 4x + 3$ que pasan por el punto externo $P(2, -5)$.

Ayuda: Recuerda que el punto $P$ no pertenece necesariamente a la gráfica de la función. Debes plantear la pendiente de la recta tangente en un punto genérico $(a, f(a))$ e igualarla a la pendiente de la recta que une ese punto con $P$.

Una empresa de biotecnología ha modelizado el coste total de producción (en miles de euros) de un nuevo fármaco mediante la función:

donde $x$ es el número de lotes producidos.

1. Calcula la función del coste marginal $C'(x)$.

2. Determina el ritmo al que varía el coste cuando se están produciendo exactamente 4 lotes.

Dada la función racional $f(x) = \frac{1}{2x - 3}$, obtén una expresión general para su derivada n-ésima, $f^{(n)}(x)$.

Para ello, calcula las derivadas de orden 1, 2, 3 y 4, identifica el patrón numérico y de signos, y escríbelo en función de $n$ y el factorial $n!$.

Calcula la derivada de la siguiente función compuesta, simplificando el resultado final al máximo:

Nota: El uso de identidades trigonométricas después de derivar puede ayudarte a simplificar la expresión de forma sorprendente.

Determina los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 - 4}$ tenga un extremo relativo en el punto $P(0, -1)$. Una vez hallados los parámetros, utiliza la segunda derivada para confirmar si se trata de un máximo o un mínimo.

El número de usuarios activos en una nueva red social (en millones) sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:

donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

1. Halla la función $N'(t)$ que representa la velocidad de crecimiento de la red social.

2. ¿En qué mes es máximo el ritmo de crecimiento de usuarios?

Ayuda: Debes encontrar el máximo de la función derivada $N'(t)$, lo cual implica calcular la segunda derivada $N''(t)$ e igualarla a cero.