Ejercicios: Límites laterales

Dada la función $f(x) = x^2 - 3$, queremos investigar qué ocurre cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$. Completa la siguiente tabla de valores y, a la vista de los resultados, indica cuál crees que es el valor del $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Observa la siguiente gráfica de la función $g(x)$ y determina el valor de los límites laterales en el punto de ruptura $x = 1$. Indica también si existe el límite global $\lim_{x \to 1} g(x)$.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} g(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} g(x)$

Explica con tus propias palabras qué significa la expresión $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$. Pon un ejemplo de la vida cotidiana donde se produzca una aproximación a un valor "por la izquierda" (por ejemplo, el tiempo que falta para que empiece un examen o el dinero que te queda en la tarjeta de transporte).

Calcula los siguientes límites sencillos mediante sustitución directa:

1. a) $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 5}{x + 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4}$

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 3 \\ 7 - x & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Calcula los límites laterales en el punto $x = 3$:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

¿Qué puedes decir sobre la existencia del límite $\lim_{x \to 3} f(x)$?

El nivel de carga de un patinete eléctrico (en porcentaje) después de $t$ horas de uso se comporta según la función $C(t) = 100 - 15t$. Si un usuario quiere saber cuánta batería le quedará cuando esté a punto de cumplirse la cuarta hora de trayecto, calcula el límite:

$\lim_{t \to 4^-} (100 - 15t)$

Observa la gráfica de esta función $h(x)$ que presenta una asíntota vertical en $x = 2$ y determina el valor de los límites laterales indicados.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} h(x)$

Considera la función $f(x)$ representada en el siguiente diagrama. Identifica los valores de $f(2)$, $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$. ¿Existe el límite en $x = 2$?

Dada la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación, analiza el comportamiento de la función en las proximidades de los puntos conflictivos. Determina de forma razonada los límites laterales y el límite global (en caso de que exista) para:

1. a) $x \to -2$
2. b) $x \to 1$
3. c) $x \to 3$

Un gestor de inversiones observa que el rendimiento de un fondo de alto riesgo, $R(x)$, expresado en miles de euros según el capital invertido $x$ (en decenas de miles), sigue el modelo:

$R(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Investiga, completando una tabla de valores con ayuda de la calculadora, qué ocurre con el rendimiento cuando la inversión se aproxima a $30.000$ € ($x \to 3$). Utiliza los valores $2,9; 2,99; 2,999$ por la izquierda y $3,1; 3,01; 3,001$ por la derecha. ¿Podría el gestor afirmar que el límite existe aunque la función no esté definida en $x = 3$? Justifica tu respuesta.

Determina el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la siguiente función en su punto de ruptura $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} kx - 3 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + k & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Para que el límite exista, recuerda que los límites laterales deben ser iguales. Una vez hallado $k$, indica el valor del límite.

Una empresa de logística cobra los envíos urgentes mediante una tarifa por tramos según el peso $p$ en kilogramos. El coste $C(p)$ en euros viene dado por:

$C(p) = \begin{cases} 5 + 2p & \text{si } 0 < p \leq 5 \\ 10 + 1,5p & \text{si } p > 5 \end{cases}$

Calcula e interpreta en el contexto del problema:

1. a) $\lim_{p \to 5^-} C(p)$
2. b) $\lim_{p \to 5^+} C(p)$
3. c) ¿Existe un coste definido de forma continua para un paquete que pese exactamente $5$ kg?

Considera la función $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$.

1. a) Estudia los límites laterales de $g(x)$ cuando $x \to 4$.
2. b) Indica si la función presenta una asíntota vertical en ese punto.
3. c) Apóyate en un pequeño esquema gráfico para mostrar hacia dónde tienden las ramas de la función (si hacia $+\infty$ o hacia $-\infty$) según te acerques por la izquierda o por la derecha.

Dada la función con valor absoluto $h(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$, se pide:

1. a) Redefine la función como una función a trozos eliminando el valor absoluto.
2. b) Calcula $\lim_{x \to 1^-} h(x)$ y $\lim_{x \to 1^+} h(x)$.
3. c) ¿Existe el límite global $\lim_{x \to 1} h(x)$? Argumenta tu respuesta basándote en la teoría de los límites laterales.

En un estudio sociológico, el nivel de alienación $A(t)$ de una comunidad tras $t$ meses de un cambio normativo se define mediante:

$A(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{4} & \text{si } 0 \leq t < 6 \\ 12 - \frac{t}{2} & \text{si } t \geq 6 \end{cases}$

Estudia si el nivel de alienación cambia de forma brusca o gradual en el sexto mes. Para ello, calcula los límites laterales en $t = 6$ y comprueba si el límite existe.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcula los límites laterales en el punto donde se anula el denominador.

1. a) ¿Qué ocurre con los valores de la función cuando nos acercamos a $x = 1$ por la izquierda?
2. b) ¿Y por la derecha?
3. c) Basándote en tus resultados, ¿podemos decir que existe el límite global?

Se está estudiando la evolución de los beneficios de una startup tecnológica (en miles de euros) según el tiempo $t$ en meses. La función que describe el beneficio viene dada por:

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que el beneficio en el instante inicial es nulo y que existe el límite global de la función cuando $t \to 2$. Una vez hallados, calcula e interpreta los límites laterales en $t = 2$.

Calcula los límites laterales en los puntos de ruptura de la siguiente función que combina un valor absoluto con una función racional:

A partir de los resultados obtenidos, razona si existe el $\lim_{x \to 3} g(x)$ y describe el comportamiento de la función en las proximidades de $x=3$ y $x=1$.

Una empresa de mensajería establece el coste de envío $C(x)$ (en euros) para paquetes de peso $x$ (en kg) mediante la siguiente función que utiliza la función "parte entera" $E[x]$ (el mayor entero menor o igual a $x$):

Calcula los límites laterales de la función de coste cuando el peso se aproxima a $2$ kg. ¿Es el coste una función continua en ese punto? Justifica tu respuesta utilizando la definición de límite.

Considera la función $f(x)$ definida de forma paramétrica:

Sabiendo que $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 4$, determina razonadamente el valor de la constante $k$. Posteriormente, halla el valor de $a$ para que exista el límite de la función en el origen.

(Pista: Puedes usar que $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$).

Sea la función $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$.

1. a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que la función presente una indeterminación del tipo $0/0$ cuando $x \to 1$.
2. b) Para dicho valor de $k$, calcula los límites laterales en $x=1$ y estudia si existe el límite global.

En un mercado de valores, el precio de una acción $P$ en función del riesgo $x$ se modeliza como:

Se sabe que cuando el riesgo se acerca a $1$ por la derecha, el precio tiende a $+\infty$, pero cuando se acerca a $1$ por la izquierda, el precio tiende a $-\infty$. Además, el límite de la función cuando $x \to 0$ es $2$. Calcula los valores de $a$ y $b$ y comprueba la consistencia de los límites laterales en $x=1$ y $x=-1$.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - |x|}{x}$, investiga la existencia de límite en $x=0$ calculando sus límites laterales. Representa gráficamente la situación y explica qué ocurre con la imagen de la función exactamente en el origen.

Estudia los límites laterales de la siguiente función en los puntos $x = -2$ y $x = 2$. ¿En cuál de ellos existe un límite finito?

Posteriormente, propón una modificación en el numerador para que en el punto donde el límite era infinito pase a ser un valor real concreto.