Ejercicios: Límites infinitos y límites en el infinito

Observa la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación y determina el valor de los límites laterales cuando la variable $x$ se aproxima a $x = 2$. A partir de tu observación, razona si existe el límite global $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ y estima de forma intuitiva el valor del límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. Explica por qué, aunque la función no esté definida en $x = 1$, sí podemos hablar de su límite en ese punto.

Dada la función $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, estudia su comportamiento cuando $x$ se acerca a $3$ por ambos lados. Para ello, calcula:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Indica si la función presenta alguna asíntota vertical y escribe su ecuación.

Imagina que el beneficio diario de una nueva cafetería de especialidad, en euros, sigue la función $B(t) = 2t^2 - 10t + 50$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su apertura. ¿Qué ocurrirá con el beneficio si la cafetería sigue funcionando indefinidamente? Calcula $\lim_{t \to +\infty} B(t)$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.

Calcula los siguientes límites en el infinito para las funciones polinómicas dadas. Recuerda que el término de mayor grado es el que determina el comportamiento final de la función:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 5x^2 + 2)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (2x^4 - 3x + 1)$
3. c) $\lim_{x \to -\infty} (x^5 + x^2)$

El número de usuarios que visitan una página web de venta de ropa de segunda mano tras $x$ días de una campaña publicitaria viene dado por la función $N(x) = \frac{3000x + 100}{x + 2}$.

1. a) ¿Cuántos usuarios visitaron la web el día del lanzamiento ($x=0$)?
2. b) Si la campaña se mantiene durante mucho tiempo, ¿a qué valor constante tenderá el número de visitantes diarios? Calcula $\lim_{x \to +\infty} N(x)$.

Analiza el grado del numerador y del denominador para determinar el valor de los siguientes límites al infinito sin realizar operaciones complejas:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 7}{x^2 - 4}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + 5}$

Asocia cada una de las siguientes funciones con su correspondiente comportamiento en el infinito (asíntota horizontal). Justifica tu respuesta calculando el límite correspondiente:

1. $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

2. $g(x) = \frac{10}{x + 1}$

3. $h(x) = \frac{6x^2}{3x^2 - 5}$

Un estudio de mercado analiza la evolución del número de usuarios de una nueva aplicación de mensajería, medido en miles, mediante la función $U(t) = \dfrac{40t + 10}{2t + 5}$, donde $t$ representa el tiempo en meses desde su lanzamiento.

1. a) Analiza qué ocurre con el número de usuarios en las proximidades del tercer mes. Para ello, calcula razonadamente el límite:

1. b) Determina el comportamiento de la aplicación a largo plazo. ¿Existe algún valor máximo al que se aproxime el número de usuarios? Interpreta el resultado en términos de asíntotas horizontales.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{x^2 - kx}{x^2 - 4}$, se pide:

1. a) Hallar el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función presente una discontinuidad evitable en $x = 2$.

1. b) Para el valor de $k$ hallado en el apartado anterior, estudia el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $-2$. ¿Qué tipo de límite obtienes? Justifica si existe una asíntota vertical calculando los límites laterales:

Calcula los siguientes límites en el infinito utilizando la comparación de los términos dominantes y explica su significado gráfico (si tienden a un valor concreto o si presentan ramas parabólicas):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 5x + 2}{1 - 2x^3}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 10}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4 + 3x}}{5x^2 - 1}$

Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al nivel del mar viene dada por la expresión $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde que inicia su patrulla.

Calcula el límite de la altura cuando el tiempo tiende a infinito:

¿A qué altura estabiliza el dron su vuelo a largo plazo? Resuelve la indeterminación multiplicando por el conjugado.

Considera la función $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.

1. a) Completa la siguiente tabla de valores para analizar la tendencia de la función cuando $x$ se acerca a $3$ por la derecha:

1. b) A partir de los resultados, deduce el valor del límite lateral $\lim_{x \to 3^+} g(x)$.

1. c) Calcula el límite $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ y explica la diferencia conceptual entre el "límite en un punto" y el "límite en el infinito" para esta función.

Dada la gráfica de la función $h(x)$ que se muestra a continuación, identifica razonadamente el valor de los siguientes límites:

1. a) $\lim_{x \to -1^-} h(x)$ y $\lim_{x \to -1^+} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2} h(x)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} h(x)$
4. d) $\lim_{x \to -\infty} h(x)$

Calcula el valor de $a$ y $b$ para que se verifiquen las siguientes igualdades de límites:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ax^2 + 5x}{3x^2 - 2} = 4$

1. b) $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + bx - 3}{x - 1} = 5$ (Nota: Para que el límite sea finito en un punto que anula al denominador, el numerador también debe anularse).

En un laboratorio de biotecnología, la población de una cepa de bacterias (en millones) crece según el modelo:

donde $t \ge 0$ es el tiempo en horas.

1. a) ¿Cuál es la población inicial de bacterias ($t=0$)?

1. b) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. ¿Qué representa este valor para la colonia de bacterias?

1. c) Compara el orden de infinitud del numerador y del denominador en la fracción. Si el crecimiento fuera $100t^3$ en lugar de $100t^2$, ¿cambiaría el comportamiento a largo plazo? Justifica tu respuesta usando límites.

Utiliza la definición formal de límite basada en entornos para demostrar que el límite de la función $f(x) = \frac{3x - 1}{2}$ cuando $x$ tiende a $3$ es igual a $4$. Para ello, dado un $\varepsilon > 0$, encuentra una expresión para $\delta$ en función de $\varepsilon$ que satisfaga la condición:

$0 < |x - 3| < \delta \implies |f(x) - 4| < \varepsilon$

Se considera la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x^2 - 4}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función presenta una asíntota horizontal en $y = 2$ y que existe el límite finito en el punto $x = 2$. Una vez hallados los parámetros, calcula el valor de dicho límite en $x = 2$ y discute el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $-2$.

Calcula el valor del siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales en el infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 5x - 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + 2} \right)$

Explica razonadamente por qué no podemos decir simplemente que el resultado es $0$ al restar dos infinitos del mismo orden.

En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de una cepa bacteriana en un entorno cerrado se modela mediante la función $P(t) = \frac{100 \cdot e^{0,5t}}{k + e^{0,5t}}$, donde $P(t)$ es la población en millones y $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Si se sabe que la población inicial ($t=0$) es de 20 millones, calcula el valor de la constante $k$.
2. b) Determina el límite de la población cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el significado biológico de la asíntota horizontal obtenida.

Halla los valores de $k$ para que el siguiente límite basado en la estructura del número $e$ sea igual a $e^6$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 - 2x + 3} \right)^{2x}$

Muestra todos los pasos intermedios, incluyendo la resolución de la indeterminación $1^\infty$.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{a \cdot \sin(x)}{x} + b & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que existan los límites laterales en $x=0$, que el límite por la izquierda sea igual a $0$ y que el límite por la derecha sea igual a $5$. ¿Es posible definir $f(0)$ para que la función sea continua en ese punto?

Analiza el comportamiento asintótico de la función $g(x) = \frac{2^{x+1} + 5}{2^x - 8}$. Para ello:

1. a) Calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. ¿Qué asíntotas horizontales presenta?
2. b) Identifica el punto donde se anula el denominador y estudia los límites laterales en dicho punto para determinar si existe una asíntota vertical.

Calcula el valor del siguiente límite, comparando órdenes de infinitos y resolviendo la indeterminación resultante:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{100} + 3^x}{\log_2(x^5) + e^x}$

Justifica tu respuesta basándote en la jerarquía de crecimiento de las funciones exponencial, potencial y logarítmica. ¿Cambiaría el resultado si el límite fuera hacia $-\infty$? Razona tu respuesta.