Ejercicios: Continuidad. Tipos

Observa la siguiente gráfica que representa el nivel de señal de WiFi en un centro comercial a medida que te alejas del router principal. Identifica los valores de $x$ en los que la función no es continua y explica razonadamente, de forma intuitiva, por qué ocurre esto.

Una aplicación de reparto a domicilio cobra una comisión fija dependiendo de la distancia al restaurante. La función que define el coste del envío en euros, $f(x)$, según la distancia $x$ en kilómetros es:

Comprueba si la función es continua en el punto $x = 3$ calculando sus límites laterales.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica si la función está definida en $x = 3$. ¿Existe el límite $\lim_{x \to 3} f(x)$? A partir de tus respuestas, decide si la función es continua en ese punto.

Clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función mostrada en la imagen en el punto $x = 2$. Justifica si se trata de una discontinuidad evitable, de salto finito o de salto infinito.

Estudia la continuidad de la función polinómica $f(x) = x^3 - 2x + 5$ en el punto $x = 0$. ¿Crees que esta función podría tener alguna discontinuidad en cualquier otro número real? Explica por qué.

Un creador de contenido analiza el crecimiento de sus seguidores con una función que ha sufrido un "error" en el servidor. La función es $g(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$. Indica para qué valores de $x$ la función no es continua. ¿Qué ocurre en el denominador para que falle la continuidad?

Identifica cuál de las siguientes tres gráficas corresponde a una función continua en todo el intervalo mostrado y explica qué característica visual te permite asegurarlo.

Determina si la siguiente función definida a trozos es continua en el "punto de ruptura" $x = 1$:

Para ello, verifica si se cumplen las tres condiciones de continuidad:

1. ¿Existe $f(1)$?

2. ¿Existe $\lim_{x \to 1} f(x)$?

3. ¿Coinciden ambos valores?

Dada la siguiente gráfica de una función $f(x)$ que representa el nivel de actividad de una aplicación móvil a lo largo de un intervalo de tiempo, analiza su continuidad en los puntos $x = -2$, $x = 1$ y $x = 3$. Indica en cada caso el tipo de discontinuidad (evitable, de salto finito o de salto infinito) justificando tu respuesta mediante el estudio de los límites laterales y el valor de la función.

Una empresa de mensajería urgente establece sus tarifas mensuales para clientes corporativos en función del volumen de paquetes enviados ($x$, en cientos de unidades). La función de coste total ($C(x)$, en miles de euros) viene dada por:

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función sea continua en $x = 2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en el punto $x = 0$?

Estudia la continuidad de la siguiente función racional en todo su dominio y clasifica sus puntos de discontinuidad:

Para los puntos donde la discontinuidad sea evitable, define una nueva función $g(x)$ que sea continua en dicho punto.

El crecimiento de una colonia de bacterias en un entorno controlado sigue una pauta que cambia al introducir un nutriente a las 3 horas de iniciar el experimento. La población $P(t)$ (en millones) se modeliza mediante la función:

Donde $t$ es el tiempo en horas. Determina el valor de $a$ para que el crecimiento de la población sea continuo en el instante del cambio de dieta ($t = 3$). A largo plazo ($t \to \infty$), ¿a qué valor tiende la población si se mantiene esa segunda pauta?

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en toda la recta real $\mathbb{R}$:

Considera la función $f(x) = \dfrac{|x - 4|}{x - 4}$.

1. a) Calcula los límites laterales de la función cuando $x$ tiende a $4$.
2. b) Indica si la función es continua en $x = 4$. Si no lo es, clasifica el tipo de discontinuidad.
3. c) Realiza un esbozo de la gráfica de la función en el entorno del punto $x = 4$.

Se ha proyectado la construcción de un puente cuyo perfil lateral sigue la función:

1. a) ¿Es continua la altura del puente en el punto de unión $x = 0$?
2. b) ¿Existe algún punto de discontinuidad en el intervalo $[0, 4)$? En caso afirmativo, explica si es un problema real para la construcción (discontinuidad evitable) o si supone una ruptura del perfil (salto).

Dada la función $f(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, analiza su continuidad y clasifica sus discontinuidades. Para ello:

1. Determina el dominio de la función.

2. Calcula los límites laterales en el punto donde la función no está definida.

3. Interpreta los resultados para indicar si existe una asíntota vertical y de qué tipo es la discontinuidad.

Una empresa de servicios en la nube ofrece un plan de almacenamiento cuya tarifa mensual $C(x)$, en euros, depende de los gigabytes consumidos $x$. La función viene dada por la siguiente expresión:

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la tarifa sea continua en todo su dominio. ¿Qué tipo de discontinuidad presentaría la función en $x = 10$ si el valor de $b$ fuese distinto al hallado?

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos y clasifica todos sus puntos de discontinuidad:

Indica razonadamente si alguna de las discontinuidades encontradas es de tipo evitable.

Un analista financiero modela el beneficio esperado $B(t)$, en miles de euros, de una inversión tecnológica a lo largo del tiempo $t$ (en años) mediante la función:

1. a) Dibuja la gráfica de la función en el intervalo $[0, 5]$.
2. b) Estudia la continuidad de $B(t)$ en $t = 2$. ¿Existe el límite en dicho punto?
3. c) Clasifica el tipo de discontinuidad y explica su significado en el contexto del beneficio de la empresa.

Dada la función dependiente de los parámetros reales $k$ y $m$:

Halla los valores de $k$ y $m$ para que $g(x)$ sea una función continua en todo el conjunto de los números reales.

Considera la función $f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - 4x + 3}$.

1. a) ¿Para qué valores de $k$ tiene la función una discontinuidad evitable en $x = 3$?
2. b) Una vez hallado ese valor de $k$, redefine la función en ese punto para que sea continua en $x = 3$.
3. c) Con el valor de $k$ obtenido, ¿qué ocurre en $x = 1$? Clasifica la discontinuidad en ese otro punto.

Un estudio sociológico establece que el nivel de aceptación de una nueva ley, $L(t)$, en una escala de 0 a 100, sigue el siguiente modelo durante los primeros 10 meses ($t$):

1. a) Justifica si el nivel de aceptación ha variado de forma continua a lo largo de los 10 meses.
2. b) Si en el mes $t = 4$ se produjo un cambio en la campaña de comunicación, ¿hubo un salto brusco en la aceptación? Si es así, calcula la magnitud del salto y clasifica la discontinuidad.

Se considera la función $f(x) = \frac{x^2 - a}{x^2 + bx + c}$. Se sabe que la función tiene una discontinuidad de salto infinito en $x = 1$ y $x = -3$. Además, presenta una discontinuidad evitable en $x = 2$.

Halla los valores de los parámetros $a, b$ y $c$. Con estos valores, calcula el límite de la función cuando $x \to +\infty$.

Sea la función definida por:

Estudia la continuidad de la función en el punto $x = 0$ analizando sus límites laterales. ¿Es continua por la derecha? ¿Y por la izquierda? Clasifica razonadamente el tipo de discontinuidad que presenta.