Ejercicios: Cálculo de límites. Indeterminaciones

Para entender el concepto de límite, vamos a analizar el comportamiento de la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$, pero sin llegar a ser exactamente $2$.

Completa la siguiente tabla de valores utilizando tu calculadora y predice cuál será el valor del $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$:

$x$	$1,9$	$1,99$	$1,999$	$2,001$	$2,01$	$2,1$
$f(x)$

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, determina de forma visual el valor de los siguientes límites:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$

Calcula los siguientes límites inmediatos realizando la sustitución directa en la expresión de la función:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 3} (x^2 - 5x + 2)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x + 4}{x^2 + 1}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{x+1}$

En el análisis de costes de una empresa, se ha determinado que el coste medio de fabricar $x$ unidades de un nuevo gadget tecnológico viene dado por la función:

$$C(x) = \frac{15x + 300}{x + 10}$$

Calcula el límite $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interpreta el resultado en el contexto del problema (¿qué ocurre con el coste por unidad si la producción aumenta de forma masiva?).

Resuelve la indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$ en los siguientes casos, comparando los grados de los polinomios:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 10}{x^2 - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + x}$

Calcula el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante la simplificación de la fracción (extrayendo factor común o factorizando):

$$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 5x}{x - 5}$$

El número de seguidores de un canal de "streamer" principiante durante los primeros meses sigue la función $S(t) = \frac{200t^2}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en meses.

1. a) ¿Cuántos seguidores tiene el canal al empezar ($t=0$)?
2. b) Utiliza el cálculo de límites para averiguar a cuántos seguidores tenderá el canal a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función racional y justifica tu respuesta:

$$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3 + 2x - 1}{x^3 + 4}$$

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, analiza el comportamiento de la misma en los puntos críticos y determina los siguientes valores:

1. a) $\lim_{x \to -2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to -2^+} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 3^+} f(x)$
4. d) ¿Existe el límite global en $x = 3$? Justifica tu respuesta basándote en los límites laterales.

Calcula el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante la factorización de polinomios (puedes utilizar la regla de Ruffini si es necesario):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 - 4x + 4}$$

Una empresa de mensajería ha determinado que sus costes diarios en euros vienen dados por la función $C(x) = \sqrt{9x^2 + 5x} - 3x$, donde $x$ representa el número de envíos realizados en cientos.

Calcula el límite de los costes cuando el volumen de envíos aumenta indefinidamente ($\lim_{x \to +\infty} C(x)$). Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema.

Calcula los siguientes límites analizando el grado de los polinomios y las potencias de mayor orden (indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{\sqrt{x^4 + 3x^2}}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2}{x^2 + 10}$

Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que exista el límite de la función $f(x)$ en el punto $x = 1$, siendo la función:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - k}{x+2} & \text{si } x < 1 \\ 2x - 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

Para ese valor de $k$, ¿cuánto vale el límite?

Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando la fórmula relacionada con el número $e$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} \right)^{3x}$$

El número de seguidores de un nuevo "influencer" en una red social sigue el modelo dado por la función $S(t) = 500 \cdot \left( 1 + \frac{2}{t+1} \right)^t$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que abrió su cuenta.

¿Cuál es la tendencia del número de seguidores cuando el tiempo crece indefinidamente? Utiliza el cálculo de límites para justificar tu respuesta.

Calcula el valor del límite de la siguiente función racional en el punto $x = 1$. Ten en cuenta que si obtienes la forma $\frac{k}{0}$, deberás estudiar los límites laterales para decidir si el límite es $+\infty$, $-\infty$ o no existe:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 1}$$

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que existe el límite finito de la función cuando $x$ tiende a $1$ y que dicho límite vale exactamente $L = -2$. Una vez hallados los parámetros, justifica razonadamente si la función presenta una asíntota vertical en $x = -1$.

Una cadena de gimnasios estima que el número de socios acumulado (en miles) sigue la función $B(t) = \sqrt{4t^2 + 5t + 1} - (at + b)$, donde $t$ es el tiempo en años.

• a) Determina el valor de $a$ para que, a largo plazo ($t \to \infty$), el número de socios no crezca de forma indefinida ni se haga negativo (es decir, que el límite sea un valor real finito).

• b) Para el valor de $a$ hallado en el apartado anterior, calcula el valor de $b$ necesario para que el límite del número de socios cuando el tiempo tiende a infinito sea exactamente de $3$ mil.

Calcula el valor del siguiente límite que involucra una indeterminación del tipo $1^\infty$ en un contexto de interés compuesto continuo:

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x^2 + 3x - 2}{5x^2 - 2x + 4} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Posteriormente, explica qué ocurriría con el valor del límite si el grado del exponente fuera $2$ en lugar de $1$.

Estudia el comportamiento en el infinito de la siguiente función, calculando los límites cuando $x \to \infty$ y cuando $x \to -\infty$:

$$f(x) = \frac{x - \sqrt{x^2 + 3x}}{2x + 5}$$

Presta especial atención al cambio de signo al introducir o extraer factores de la raíz cuando la variable tiende a menos infinito. Justifica si existen asíntotas horizontales en ambos sentidos.

Dada la función definida a trozos:

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{kx} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{\sqrt{x+4} - 2}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Calcula el valor que debería tomar el parámetro $k$ para que exista el límite de la función en el punto $x = 0$. ¿Es posible asignar un valor a $g(0)$ para que la función sea continua en dicho punto? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de límites laterales e indeterminaciones.

En el análisis de la propagación de una noticia en una red social, se utiliza la función $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \cdot e^{-0,5t}}$, donde $P$ es el porcentaje de la población que conoce la noticia y $t$ el tiempo en horas.

• a) Calcula $\lim_{t \to \infty} P(t)$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.

• b) Si la velocidad de propagación viene dada por la derivada (que estudiaremos más adelante, pero supongamos que te dan la expresión simplificada del crecimiento relativo), analiza qué ocurre con la diferencia $100 - P(t)$ cuando $t \to \infty$.

• c) Determina razonadamente si la función tiene alguna asíntota vertical.

Calcula el límite de la siguiente expresión resolviendo la indeterminación $\infty - \infty$ mediante el uso del conjugado:

$$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - ax} \right)$$

Si el resultado del límite es $L = 4$, ¿cuál debe ser el valor del parámetro $a$? Compara este resultado con el límite de la misma función cuando $x \to -\infty$.

Analiza la jerarquía de los infinitos para resolver el siguiente límite, justificando cada paso según el orden de crecimiento de las funciones implicadas (exponenciales, polinómicas y logarítmicas):

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3^x + x^{10} - \ln(x^5)}{2 \cdot 3^{x-1} + \sqrt{x^{20} + 1}}$$

¿Cambiaría el resultado si la base de la exponencial del denominador fuera $e$ en lugar de $3$? Justifica tu respuesta basándote en la comparación de órdenes de magnitud.