Ejercicios: Media y desviación típica de la BIN

Un estudio reciente sobre hábitos digitales indica que el $85\%$ de los adolescentes españoles de entre 15 y 16 años utiliza la autenticación de dos factores en sus cuentas de videojuegos. Si seleccionamos una muestra aleatoria de $20$ adolescentes:

1. a) Identifica los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que modeliza esta situación.
2. b) Calcula el número esperado (media) de adolescentes que utilizan este sistema de seguridad en la muestra.

Una plataforma de streaming de música ha comprobado que la probabilidad de que un usuario "salte" una canción recomendada por el algoritmo antes de que termine es de $0,3$. Si una tarde escuchas una lista de $12$ canciones recomendadas:

1. a) Determina la media y la varianza del número de canciones que se espera que saltes.
2. b) Calcula la desviación típica e interpreta qué información aporta sobre la dispersión de los datos en este contexto.

En un centro de formación profesional, el $40\%$ de los estudiantes utiliza el transporte público para llegar a clase. Se toma una muestra de $50$ estudiantes del centro de forma aleatoria. Calcula la media y la desviación típica del número de estudiantes que usan el transporte público en dicha muestra.

Una jugadora de baloncesto profesional tiene un porcentaje de acierto en tiros libres del $80\%$. Si en un entrenamiento realiza una serie de $15$ lanzamientos:

1. a) ¿Cuál es el número medio de canastas que se espera que enceste?
2. b) Calcula la desviación típica. ¿Qué ocurriría con la desviación típica si su probabilidad de acierto fuera del $50\%$? Compruébalo con el cálculo.

Considera una variable aleatoria discreta $X$ que sigue una distribución binomial $B(n, p)$. Si sabemos que el número de experimentos es $n = 100$ y que la media de la distribución es $\mu = 60$:

1. a) Halla el valor de la probabilidad de éxito $p$.
2. b) Calcula la varianza de esta distribución.

En una fábrica de componentes para smartphones, se sabe que el $2\%$ de las pantallas táctiles salen con algún pequeño defecto estético. Las pantallas se envían a las tiendas en cajas de $250$ unidades.

1. a) Calcula el número medio de pantallas defectuosas que encontraremos en una caja.
2. b) Calcula la desviación típica de la variable "número de pantallas defectuosas por caja".

Se lanza un dado equilibrado de seis caras un total de $30$ veces y se anota el número de veces que sale el número "6".

1. a) Define la variable aleatoria y su distribución.
2. b) Calcula el valor esperado de la variable y su desviación típica. Redondea los resultados a dos decimales.

Un examen tipo test consta de $10$ preguntas con tres respuestas posibles cada una, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde todas las preguntas al azar:

1. a) ¿Qué valor tiene la media de aciertos?
2. b) Si el alumno necesita al menos $5$ aciertos para aprobar, ¿está el valor de la media por encima o por debajo del aprobado? Justifica tu respuesta.

En una conocida red social, se ha estimado que la probabilidad de que un usuario interaccione con una publicación de contenido cultural es $p = 0,18$. Si un "influencer" lanza una campaña que llega a un grupo de $n = 150$ seguidores:

1. a) Calcula el número esperado de seguidores que interaccionarán con la publicación y su desviación típica.

1. b) Si el coste de la campaña es de $50$ € fijos más $2$ € por cada interacción prevista (basada en la media), ¿cuál es el presupuesto esperado para esta acción publicitaria?

Una variable aleatoria discreta sigue una distribución binomial $X \sim B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 12$ y su desviación típica es $\sigma = 3$.

1. a) Determina los valores de los parámetros $n$ (número de ensayos) y $p$ (probabilidad de éxito).

1. b) Justifica si esta distribución podría aproximarse mediante una distribución normal, basándote en los valores obtenidos.

Dos jugadores de baloncesto, Alba y Bruno, practican tiros libres. Alba tiene una probabilidad de enceste de $0,8$ y realiza $50$ lanzamientos. Bruno tiene una probabilidad de $0,6$ pero realiza $80$ lanzamientos.

1. a) ¿Cuál de los dos jugadores tiene un mayor número esperado de encestes?

1. b) ¿Cuál de los dos jugadores presenta una mayor dispersión (desviación típica) en sus resultados? Interpreta qué significa esto en términos de regularidad en el juego.

Una empresa de logística utiliza drones para el reparto de paquetes en núcleos urbanos. La probabilidad de que un dron sufra un retraso debido a las condiciones meteorológicas es del $5\%$. Si en una jornada se realizan $200$ vuelos independientes:

1. a) Calcula el valor de la media y la varianza del número de vuelos que llegan con retraso.

1. b) El protocolo de mantenimiento se activa si en una jornada el número de retrasos supera el valor de $\mu + 2\sigma$. Calcula dicho valor umbral.

En una encuesta sobre hábitos de lectura realizada a $60$ adolescentes, se sabe que el número esperado de lectores habituales de prensa digital es de $21$.

1. a) Halla la probabilidad $p$ de que un adolescente elegido al azar sea lector habitual de prensa digital.

1. b) Calcula la desviación típica de esta distribución.

1. c) Si seleccionamos otra muestra donde el número de adolescentes se duplica ($n=120$), ¿cómo varía la desviación típica respecto a la muestra original? Justifica tu respuesta con el cálculo.

Se ha comprobado que el $40\%$ de los alumnos de un centro de idiomas se presentan al examen oficial de nivel B2. Si este año hay matriculados $100$ alumnos:

1. a) Determina los parámetros de la variable $X$ que define el número de alumnos que se presentan al examen.

1. b) En las distribuciones binomiales, se considera que los valores más "típicos" o probables se encuentran en el intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$. Calcula este intervalo para este caso concreto.

El departamento de control de calidad de una fábrica de bombillas LED sabe que la probabilidad de que una unidad sea defectuosa es $p = 0,02$. Las bombillas se empaquetan en cajas de $n$ unidades.

1. a) Si se desea que el número medio de bombillas defectuosas por caja sea exactamente $1,6$, ¿cuántas bombillas debe contener cada caja?

1. b) Con ese valor de $n$, calcula la probabilidad de que en una caja no haya ninguna bombilla defectuosa.

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución binomial. Si el número de ensayos es $n = 25$ y la varianza es $Var(X) = 4$:

1. a) Calcula los dos posibles valores de la probabilidad de éxito $p$.

1. b) Para cada valor de $p$ hallado, calcula su correspondiente media $\mu$.

1. c) Si sabemos que la distribución es asimétrica positiva (es decir, el éxito es menos probable que el fracaso), ¿con qué valor de $p$ te quedarías? Justifica tu respuesta.

Un creador de contenido en una red social sabe que la probabilidad de que un usuario nuevo se suscriba a su canal tras ver un "short" es de $p = 0,12$. El algoritmo le informa de que, en su última campaña, la media de nuevos suscriptores fue de $18$ personas.

1. a) Determina el tamaño de la muestra $n$ (número de visualizaciones) que ha analizado el algoritmo.
2. b) Calcula la desviación típica de esta distribución.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de suscriptores sea exactamente igual a la media?

Una empresa de logística utiliza drones para el reparto de paquetes en ciudades inteligentes. Se sabe que la variable $X$ que define el número de entregas fallidas en un lote de $n$ envíos sigue una distribución binomial. Tras un estudio interno, se ha comprobado que la media de fallos es de $4$ y la varianza es de $3,2$.

1. a) Calcula los parámetros $n$ y $p$ de la distribución.
2. b) Si se realiza un envío individual, ¿cuál es la probabilidad de que la entrega sea exitosa?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote de $n$ envíos no falle ninguno?

Un analista de ciberseguridad está estudiando ataques de phishing. La probabilidad de que un empleado haga clic en un enlace malicioso es de $0,005$. El analista quiere enviar una campaña de prueba a un grupo de empleados de tamaño $n$.

Calcula el número mínimo de empleados a los que debe enviarse el correo para que la probabilidad de que al menos uno de ellos haga clic en el enlace sea superior al $90\%$.

En un estudio sobre el uso de transporte sostenible, se ha observado que la desviación típica del número de alumnos que acuden al instituto en patinete eléctrico en grupos de $50$ personas es $\sigma = 3$.

1. a) Encuentra los dos posibles valores de la probabilidad $p$ de que un alumno use patinete eléctrico.
2. b) Si se sabe que el patinete es un transporte minoritario ($p < 0,5$), calcula la media de usuarios en una muestra de $100$ alumnos.

Un videojuego de estrategia tiene una probabilidad $p$ de obtener un "objeto legendario" al abrir un cofre. Un jugador abre $200$ cofres y observa que la desviación típica de su recompensa es el doble que si la probabilidad de éxito fuera de $0,01$.

1. a) Plantea una ecuación para hallar el valor de $p$.
2. b) Determina la media de objetos legendarios esperada en los $200$ cofres con dicha $p$.

Se lanza una moneda trucada $n$ veces. Se sabe que la probabilidad de obtener cara es $p$. Si la media de caras obtenidas es $15$ y la desviación típica es $\sqrt{10}$, calcula:

1. a) La probabilidad $p$ de obtener cruz.
2. b) El número de lanzamientos $n$ realizados.
3. c) La probabilidad de obtener exactamente $2$ caras en solo $5$ lanzamientos.

En un control de calidad de una fábrica de bombillas LED, se analiza el número de unidades defectuosas en cajas de un tamaño determinado. La varianza de bombillas defectuosas por caja es de $3,75$ y se sabe que la probabilidad de que una bombilla sea defectuosa es del $5\%$.

1. a) ¿Cuántas bombillas contiene cada caja?
2. b) Si el fabricante quiere reducir la desviación típica a la mitad, ¿cómo debería cambiar el número de bombillas por caja manteniendo la misma calidad de fabricación ($p$)?

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución binomial $B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 30$.

1. a) ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar su desviación típica? Justifica la respuesta razonando sobre los posibles valores de $p$.
2. b) Si la desviación típica es $\sigma = 5$, calcula la probabilidad de obtener algún éxito en una muestra de solo $3$ individuos de esa misma población.