Ejercicios: Números combinatorios

Para organizar la fiesta de graduación de 2º de Bachillerato, se debe elegir una comisión de festejos formada por $3$ alumnos. Si en la clase hay $20$ estudiantes voluntarios, ¿de cuántas formas distintas se puede elegir este grupo? Utiliza la fórmula de los números combinatorios:

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Calcula y simplifica el valor de las siguientes expresiones sin utilizar la calculadora, aplicando las propiedades de los factoriales:

1. a) $\frac{8!}{6!}$

1. b) $\binom{7}{2}$

1. c) $5! - 4!$

Antes de estudiar la distribución binomial, es fundamental distinguir el tipo de variable. Clasifica las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:

1. El número de "likes" que recibe una publicación de Instagram en una hora.

2. El tiempo exacto que tarda un estudiante en llegar al instituto.

3. El número de personas que dan positivo en un test de antígenos en una muestra de $50$ individuos.

4. La estatura de los jugadores de la selección española de baloncesto.

Un estudio afirma que el $70\%$ de los adolescentes españoles utiliza TikTok diariamente. Si seleccionamos al azar a un grupo de $8$ adolescentes de un instituto:

1. a) Identifica los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que sigue esta situación.
2. b) Define la variable aleatoria $X$ asociada a este experimento.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente los $8$ adolescentes utilicen la aplicación? (Expresa solo el planteamiento de la fórmula).

Sabiendo que para una distribución binomial $B(n, p)$, la probabilidad de obtener $k$ éxitos es:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Calcula la probabilidad de obtener exactamente $2$ caras al lanzar una moneda equilibrada $4$ veces.

En el apartado de números combinatorios, existe una propiedad de simetría que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

Comprueba esta propiedad calculando los valores de $\binom{10}{8}$ y $\binom{10}{2}$. ¿Qué conclusión obtienes respecto al esfuerzo de cálculo cuando $r$ es un número cercano a $n$?

Un examen de tipo test consta de $5$ preguntas con respuesta de verdadero o falso. Si un alumno responde al azar (es decir, $p=0,5$):

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta ($P(X=0)$)?
2. b) Utilizando el suceso contrario, plantea cómo calcularías la probabilidad de que acierte al menos una pregunta.

En una distribución binomial $X \sim B(100; 0,2)$, calcula:

1. a) La media o esperanza matemática ($\mu = n \cdot p$).
2. b) La varianza ($\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$).
3. c) La desviación típica ($\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$).

Explica brevemente qué significa el valor de la media en este contexto.

En un centro de alto rendimiento deportivo, se quiere seleccionar a un grupo de 4 atletas para representar a España en una competición internacional de relevos. Si en el centro hay 12 atletas disponibles (7 hombres y 5 mujeres), calcula:

1. a) El número total de formas diferentes en las que se puede elegir el equipo de 4 personas.
2. b) ¿En cuántas de esas combinaciones el equipo estaría formado exactamente por 2 hombres y 2 mujeres?
3. c) Utiliza las propiedades de los números combinatorios para demostrar, sin calcular el valor numérico, que:

$$\binom{12}{4} = \binom{11}{3} + \binom{11}{4}$$

Una joven emprendedora ha lanzado una aplicación de moda sostenible. Según sus estudios de mercado, el $35\%$ de los usuarios que descargan la app acaban realizando una compra en la primera semana. Si hoy se han registrado 10 nuevos usuarios independientes:

1. a) Define la variable aleatoria $X$ y justifica si sigue una distribución binomial, indicando sus parámetros.
2. b) Calcula la probabilidad de que exactamente 4 de esos usuarios realicen una compra.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, 2 usuarios compren en la primera semana?

Se sabe que el $15\%$ de los envases producidos por una planta de reciclaje de plástico no cumplen con los estándares de pureza requeridos. Un inspector de calidad selecciona al azar 8 envases para su análisis.

1. a) Calcula la probabilidad de que todos los envases seleccionados sean aptos (cumplan los estándares).
2. b) Calcula la probabilidad de que al menos uno de los envases sea defectuoso.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 6 envases aptos en la muestra?

Un examen de tipo test consta de 12 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada decide responder a todas las preguntas al azar.

1. a) Calcula el número esperado de respuestas correctas (media) y la desviación típica de esta distribución.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (obtenga al menos 6 aciertos)?
3. c) Si el examen tuviera 100 preguntas, ¿qué parámetros tendría la distribución binomial resultante? (No realices los cálculos de probabilidad).

En una campaña de vacunación en un instituto, se ha observado que el $10\%$ de los alumnos experimentan algún efecto secundario leve (como dolor en el brazo). Si se selecciona una clase con 25 alumnos vacunados:

1. a) ¿Cuál es el número medio de alumnos que se espera que tengan efectos secundarios?
2. b) Calcula la probabilidad de que el número de alumnos con efectos secundarios sea inferior a la media.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 alumnos tengan efectos secundarios?

Resuelve las siguientes cuestiones relacionadas con la combinatoria y los factoriales:

1. a) Halla el valor de $n$ en la siguiente igualdad:

$$\binom{n}{2} = 21$$

1. b) Simplifica la siguiente expresión dejando el resultado en función de $n$:

$$\frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!}$$

1. c) ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ si no se permite repetir ninguna cifra? ¿Cómo cambiaría el resultado si permitimos repeticiones?

Un creador de contenido en TikTok sabe que la probabilidad de que uno de sus vídeos se vuelva "viral" (supere las 100.000 visitas) es de 0,05. Si decide publicar un vídeo al día durante una semana (7 días):

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se vuelva viral ninguno de sus vídeos?
2. b) Calcula la probabilidad de que al menos 2 vídeos sean virales.
3. c) Representa gráficamente mediante un diagrama de árbol las posibilidades de éxito (V) y fracaso (N) para los primeros 3 días y asigna las probabilidades a cada rama.

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes en zonas rurales. Se ha comprobado que la probabilidad de que un dron tenga un error de precisión en el aterrizaje es de 0,12. Si un dron realiza 15 aterrizajes en una jornada:

1. a) Calcula la probabilidad de que tenga éxito en todos los aterrizajes.
2. b) Calcula la probabilidad de que tenga errores en más de 2 aterrizajes.
3. c) Si la empresa quiere que el número medio de errores por jornada sea como máximo 1, ¿cuántos aterrizajes debería realizar el dron al día siguiendo la misma tasa de error?

En un torneo de e-sports, la probabilidad de que un jugador profesional de "League of Legends" realice un "Pentakill" en una partida competitiva es de $p = 0,008$. Un equipo decide participar en una liga que consta de un número determinado de partidas $n$. Se sabe que la probabilidad de que el equipo no consiga ningún "Pentakill" en toda la liga es inferior a $0,6$.

1. a) Determina, utilizando logaritmos, el número mínimo de partidas que debe jugar el equipo para que se cumpla dicha condición.

1. b) Si finalmente juegan $120$ partidas, calcula la probabilidad de que consigan exactamente dos "Pentakills", expresando el resultado final con cuatro decimales. Para el cálculo del número combinatorio, utiliza la fórmula factorial: $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Una conocida red social está analizando el comportamiento de sus "stories". Se ha comprobado que la distribución del número de usuarios que interactúan con un anuncio sigue un modelo binomial. En una muestra de usuarios, se sabe que la media de interacciones es de $\mu = 12$ y la varianza es de $\sigma^2 = 7,2$.

1. a) Calcula el tamaño de la muestra $n$ y la probabilidad de interacción $p$ de cada usuario.

1. b) Una vez obtenidos $n$ y $p$, determina la probabilidad de que, en una nueva muestra del mismo tamaño, el número de interacciones sea superior a $2$ pero inferior o igual a $4$.

Una empresa de fabricación de componentes para smartphones realiza un control de calidad. Cada lote de producción de una pieza crítica contiene un $2\%$ de unidades defectuosas. Las piezas se empaquetan en cajas de $15$ unidades. Un cliente compra un cargamento de $100$ cajas.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja elegida al azar haya al menos $2$ piezas defectuosas?

1. b) Si el cliente devuelve la caja si esta contiene más de una pieza defectuosa, ¿cuántas cajas se espera que sean devueltas de las $100$ que compró?

En el departamento de matemáticas de un instituto se quiere formar un comité de graduación. Hay $12$ alumnos de Ciencias y $10$ de Ciencias Sociales.

1. a) ¿De cuántas formas se puede elegir un comité de $6$ personas si debe haber al menos $4$ alumnos de Ciencias Sociales? Utiliza las propiedades de los números combinatorios para simplificar los cálculos manuales.

1. b) Si el proceso de selección de cada miembro fuera independiente y la probabilidad de elegir a un alumno de Sociales fuera la proporción real en el grupo ($10/22$), ¿cuál sería la probabilidad de que en un comité de $6$ personas elegidas con reemplazamiento hubiera exactamente $3$ de cada modalidad?

Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes de 17 años afirma que el $70\%$ lee habitualmente en formato digital. Se seleccionan al azar $10$ adolescentes.

1. a) Calcula la probabilidad de que el número de adolescentes que leen en digital sea igual a la moda de esta distribución binomial. (Nota: La moda en una $B(n, p)$ es el valor entero $k$ tal que $(n+1)p - 1 \leq k \leq (n+1)p$).

1. b) Si se sabe que al menos $8$ de ellos leen en formato digital, ¿cuál es la probabilidad de que los $10$ lo hagan? (Probabilidad condicionada).

Demuestra, utilizando la definición de número combinatorio mediante factoriales, la siguiente identidad (conocida como la fórmula de las tres variables o propiedad de Stifel):

$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$

Aplica este resultado para calcular el valor de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sin calcular cada término por separado.

Un examen de recuperación consiste en $80$ preguntas tipo test con $4$ opciones cada una, de las cuales solo una es correcta. Un estudiante responde al azar a las $12$ preguntas que no sabía.

1. a) Sea $X$ la variable "número de aciertos en las $12$ preguntas". Define los parámetros de la distribución.

1. b) Calcula la probabilidad de que tenga más aciertos que fallos.

1. c) Si para aprobar esa sección necesita al menos un acierto, calcula la probabilidad de que suspenda.

Una aplicación de delivery tiene una probabilidad de retraso en la entrega de $p = 0,15$. Un repartidor realiza $20$ entregas en un turno de noche.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga exactamente $3$ retrasos? Expresa el número combinatorio como un producto de fracciones antes de operar.

1. b) Si el repartidor recibe una penalización si tiene más de $4$ retrasos, ¿cuál es la probabilidad de ser penalizado? (Plantea la operación utilizando el suceso contrario y justifica por qué es más eficiente en este caso).